STUDY ON GROUP OF ORDER ｐ-(n) ｑ-(m)

Abstract

본 논문에서는 위수가 P^(n), q^(m) (p, q : 솟수, n,m∈{자연수})인 유한군의 여러 가지 성질, 즉 가환(abelian), 가해성(solvability), 순회(cyclic), 정규(normal)부분군이 존재성 등과 그의 응용에 관하여 연구하였다. 이 논문에서는 다음과 같은 사실을 밝혔다. (a) 위수가 솟수의 멱으로 표시되는 모든 군은, 적어도 그 솟수의 원소만큼 nontrivial center를 갖고, 가해이다. (b) P가 솟수일 때 위수가 P^(2)인 군은 가해이다. (c) q<q이고 서로소인 p, q에 대하여, 위수가 p·q인 군 G는 위수가 q인 부분군을 단 한 개 갖고 이 부분군은 군 G에 정규이다. 만약 q가 P를 법(modulo)으로 하는 1에 합동이 아니면 군 G는 가환이고 순회이다. (d) P와 q가 서로소일 때, 위수 P·q인 군은 가해이다. (e) m<P이고 P가 솟수일 때, 위수가 P^(nm)인 군은 simple이 아니다. (f) P>q이고 P와 q가 서로소일 때, 위수가 P^n·q인 군은 가해이다. (g) P와 q가 서로소일 때, 위수가 P^(2)·q인 군은 가해이다. (h) P와 q가 서로소일 때, 위수가 P^(2)·q^(2)인 군은 정규 Sylow 부분군을 갖는다. (i) P와 q가 서로소일 때, 위수가 P^(2)q^(2)인 군은 가해이다.;In this paper, we will study the properties and applications of finite groups of order p^(n). q^(m), where p and q are distinct primes and m and n are natural numbers. We will show the following main facts in this paper; (a) Every finite p-group has a nontrivial center of at least p elements. (b) Every finite p-group is solvable. (c) For a prime number p, every group G of order p^(2) is abelian. (d) If p and q are distinct primes with p< q, then every group G of order p.q has a single subgroup of order q and this subgroup is normal in G. Hence G is not simple. If q is not congruent to 1 modulo p, then G is abelian and cyclic. (e) The group G of order pq, where p and q are distinct primes, is solvable. (f) There is no simple group of order p^(r)·m, where p is a prime and m < p. (g) The group G of order p^(n)·q, where p and q are distinct prlmes and p >q, is solvable. (h) The group G of order p^(2)·q, where p and q are distinct primes, is solvable. (i) If G is a group of order p^(2)q^(2) with p and q distinct primes, then G has a normal Sylow subgroup. (j) Every group G of order p^(2)q^(2) is solvable, where p and q are distinct primes.