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近代數學의 形成過程에 關한 硏究

Title
近代數學의 形成過程에 關한 硏究
Other Titles
(The) Study on formation process of modern mathematics : The relationship between the backgrounds of times and thoughts in 19th century and mathematics
Authors
김정민.
Issue Date
1981
Department/Major
교육대학원 수학교육전공
Keywords
근대수학19세기 사상근대사상
Publisher
이화여자대학교 교육대학원
Degree
Master
Abstract
本 論文은 19世紀의 社會的 및 思想的 배경이 數學에 미치는 영향을 살펴보고 現代數學 기초로서 形成된 數學的 槪念과 構造를 硏究하여 數學基礎論의 形成을 誘導케 하는 과정을 살펴본다. 18世紀末부터 19世紀末까지의 약 100年間을 편의상 近代라 하겠다. 이 시기는 그 前의 어느 시기보다도 유럽의 政治, 經濟上의 큰 변화를 겪었다. 잇따른 社會的 변동은 學問의 內容을 변화시켰고 數學의 基本思想에도 큰 변화가 생기게 되었다. 이 시대의 思想的 측면에서는 「로만티즘」의 정신을 모체로 하여 자유로운 思考가 태어나고 이것이 數學에도 반영되어 數學的 思考의 自由性이라는 基本 입장이 마련되었다. 近代數學의 특징은 以前의 數學을 理論的으로 더욱 엄밀하게 다듬었다는 점이다. 解析學은 數學的 엄밀성을 지니게 되었고 數의 領域을 실수로부터 복소수까지 解析的으로 확대함으로써 일반함수론(복소수함수론)의 기초를 닦았다. 이렇게 하여 解析學의 새世界를 原理的으로 개척하게 되었다. 代數學에서도 기호를 中心으로 하는 代數學이 발달하게 되었으며 群(group), 體(field)와 같은 연산구조에 대한 槪念이 具體化 되어 數學이 점차 抽象化되어 갔다. 幾何學은 유클리트 空間을 넘어서 비유클리트 空間을 形成하게 되었고 空間의 本質을 규명한 空間의 學問으로 無限空間을 數學化하여 幾何學을 數學의 일부분이 되게 하였다. 비유클리트 幾何學의 발달은 藝術, 宗敎, 數學, 自然學 등에 새로운 양상을 띠게 하였고 射影幾何, 解析幾何를 거쳐 位相幾何로 발전하게 된다. 희랍 이래 數學의 대상은 世界가 有限의 연장 또는 그들의 결합만으로 생각되어 온 限界를 전제로 한 有限存在論에 기초를 두고 있는데 비해 近代에는 無限의 입장에서 주관적으로 空間을 설정하는 無限存在論의 思想에 바탕을 두고 있다는 점이다. 니이체의 無神論 思想과 때를 같이하여 Cantor는 "數學의 本質은 自由에 있다."고 말하고 過去의 數學으로부터의 과감한 탈피를 주장하였다. 당시 많은 學者들이 그 本質을 드러내길 꺼려하던 無限이 Cantor에 의해 밝혀지고, 많은 반발 속에서도 硏究되어졌다. 이러한 無限思想의 出現은 近代의 合理主義의 위기를 알리는 암시였으며 時代精神의 고뇌를 상징하는 것으로 여겨진다. Cantor는 구체적인 現實 속에서의 無限을 硏究했고 濃度(Power)의 槪念을 도입하여 無限集合의 체계를 세웠다. 그는 證明위에 證明을 쌓아올려 마침내 超限代數學(transfinite arithematic)을 수립하였다. 이로써 20世紀 數學에 심오한 영향을 미쳤을 뿐 아니라 새로운 數學의 기틀을 마련하였다. Hilbert를 集合論을 現代數學의 중요한 바탕으로 여기고 無限槪念을 보다 체계적으로 발전시켰다. 그는 公理主義라는 이름으로 數學을 재구성하였고 抽象的인 數學을 발달시켜 位相空間을 形成했고 位相幾何學이라는 새로운 幾何學이 탄생하게 되었다. 점차 數學은 構造를 중요시하는 學問으로 되어져 오늘날 數學은 모든 分野에서 公理主義的으로 규정하며 다른 學問과 연관지어져 硏究되고 抽象化되어가고 있다. 이제 우리는 學問 사이의 相互依存性을 관련시켜보는 새로운 눈을 가져야 할 때다. 단순한 전문지식이 아닌 知的 統一體로서의 學問인 數學을 발견해야 한다. 本 論文에서는 近代數學에서 現代數學으로 이어지는 19世紀末의 文化的, 思想的 배경이 數學의 발달에 미친 영향을 考察하여 時代的, 社會的 배경과 學問의 발달을 絶對로 분리해서 생각할 수 없음을 강조한다. 1. 近代數學의 발달동기 1) 時代的 배경 2) 思想的 배경 2. 近代數學의 특징 1) 無限의 幾何學 2) Cantor의 集合論 3) 近代思想이 現代數學에 미친 영향;This paper intends to examine the influence of the social and thought backgrounds in the 19th century to mathematics and the formation process of the theory of basic mathematics by studying the mathematical concepts and structures built as the bases of modern mathematics. In this paper, as a matter of convenience, the period from the end of the 18th to the 19th century is called the modern times. This period suffered much more political and economic changes than ever before in Europe. Continuous social changes transformed the concepts of science and there were numerous changes in the basic thoughts of mathematics. Romanticism brought about a liberal way of thinking and this had an effect on establishing the basic phase in the liberalization of mathematical thoughts. A mark of modern mathematics is that it arranged the mathematics so far more precisely in theory. Analysis became to have mathematical precision and the basic theory of general function (complex variables) was built by enlarging the numper system from the real to the complex. Thus, a new world of analysis was studied in principle. Algebra dealt mainly the symbols and the operational structures as group and field was shaped up and hence mathematics became abstract little by little. Geometry beyond the Euclidean space formed non-Euclidean space and, as a special field identifying the essence of space, became a part of mathematics by mathematicalizing the infinite space. The development of non-Euclidean geometry made it possible to wear a new appearence in such fields as arts, religion, mathematics, and natural sciences and it was developed to the topological geometry through projective and analytic geometry. Objects of mathematics since the Greek had been based on the finite existance theory under the hypothesis that the space was the enlargement of finites or the limitation of their combination, whereas in recent times they were placed on the infinite existance theory which located the space in one's own with infinite attitude. At the same time of Nietzsche's atheism, Cantor claimed that the essence of mathematics lies in liberty and insisted on brave breaking away from the past mathematics. The infiniteness, which many scholars had been unwilling to reveal its essence, was unlocked and studied in spite of numerous protests. The appearance of this thought on infiniteness was considered to mean the danger of rationalism and the trouble of the times. Cantor established the infinite set theory by introducing the concept of power. By giving a proof over a proof, he finally achieved the transfinite arithmatic. He, thus, affected drastically the 20th century's mathematics, and prepared for the basis of new mathematics. Hilbert, regarding the set theory as an important basis of modern mathematics, improved the concept of infinite more systematically. He reconstructed mathematics by the name of Benthanism and formed a topological space by improving abstrat mathematics. Thus, new geometry, called topology, was born. Mathematics has gradually become a field signifying the structure and nowadays it is modified according to Benthanism in every field, studied in relation to other fields and is becoming to be abstracted. In this paper, it is emphasized that the development of mathematics should not be considered separately, from the background of times and society without going over the effects which the background of culture and thought of the end of the 19th century gave to the improvement of mathematics so that they connected the past mathematics to modern one.
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