확률분포에 관하여

Abstract

본 논문에서는 추측통계학에서 자주 나타나는 중요한 확률분포 사이의 수리적관계인 다음과 같은 사실을 밝혔다. a) 모집단이 매우 크면 초기하분포는 이항분포에 접근한다. b) 이항분포는 μ=np=일정, n→∞ (따라서 p→0) 일 때 Poisson분포에 접근하며, 크기 n→∞일때 정규분포에 접근한다. C) Poisson분포는 n→∞일때 정규분포에 접근한다. d) n개의 변수 X_(1), X_(2)……X_(n)이 서로 독립으로 정규분포 N(μ, δ^(2)) 할 때, ◁수식삽입▷(원문을 참조하세요)으로 표시되는 양은 자유도 n인 χ^(2)_(n)분포 한다. e) X가 정규분포 N(μ, δ^(2))을 하고, χ^(2)_(n)이 X와 독립으로 자유도 n인 χ^(2)_(n)분포할 때, ◁수식삽입▷(원문을 참조하세요)는 자유도 n인 t분포를 한다. f) χ^(2)_(m), χ^(2)_(n)이 서로 독립인 확률변수이고, 각각 자유도, m, n인 χ^(2)분포를할 때 ◁수식삽입▷(원문을 참조하세요)는 분자의 자유도 m, 분모의 자유도 n인 F분포를 한다. g) T가 자유도 n인 t분포를 하면 T^(2)의 분포는 분자의 자유도 l, 분모의 자유도 n인 F분포를 한다. 위의 각 확률분포 사이의 수리적관계를 다음과 같은 도식으로 그려서 나타낼 수 있다. ◁그림 삽입▷(원문을 참조하세요);In this paper we prove the following theorems : a) We approximate the Hypergeometric probabilities with the probabilities of the Binomial distribution whenever n is large. b) We approximate the Binomial probabilities with the probabilities of the Poisson distribution whenever n is large and p is small. c) We approximate the Binomial probabilities with the probabilities of the Normal distribution when n approches to ∞. d) We approximate the Poisson probabilities with the probabilities of the Normal distribution when n approches to ∞. e) Let X_(1), X_(2)....... X_(n) denote a random sample of size n from a distribution which is N(μ, σ^(2)), the random variable ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) has a chi-souare distribution with n degrees of freedom. f) If U is normally distribution with N(0, 1) and V^(2) has a x^(2) distribution with n degree of freedom, and if U and V are independently distributed, then the variable t = u√n/v has student's t - distribution with n degrees of freedom given by f(t) = C(l+t^(2)/n)^(-n+1/2) g) If X^(2)m and x^(2)n possess independent x² distributions with m and n degrees of freedom, respectively, then F = (X^(2) m/m)/(X^(2) m/n) has the distribution with m and n degrees of freedom by f(F) = CF^(m-2/2) (n+mF)^(-m+n/2) From the above theorems we have the following diagram among various distributions. ◁그림 삽입▷(원문을 참조하세요)