테크놀로지를 활용한 중학교 수학 일차 함수의 이해

Abstract

Modern society is society of knowledge and information. Meeting the demands of the tomes, Korean 7th curriculum, NCTM standards 1989 and Standards 2000 urge to use appropriate technology in teaching and learning mathematics. Understanding of function is very important in school mathematics, but lots of students have difficulty in understanding of function. So it is expected that technology plays a role in experience dynamic function concept by processing and visualizing complex real-life data. Therefore, the study was conducted by real-time data collecting device, CBR(Calculator-Based Ranger) for the purpose of understanding dynamic function concept and graphs in introductory stage, Excel program for studying required learning factor presented in curriculum using 1 person - 1 computer in working stage at computer lab, Web Q&A board and performance evaluation of project to check students' understanding of function generally in arrange stage. Research question are suggested for the study is as follows; 1. Are there meaningful differences in mathematical attitudes(interest, participation, concentration, and confidence between the experimental group using technology and the controlled group? 2. Are there meaningful differences in understanding of linear function(understanding of graphs, finding and estimating algebraic expression, understanding of essential factor in linear function, and solving applied problems) between two groups? 3. How are analyses of questionnaire about using technology, Web Q&A board and Video tape on CBR lesson? 4. Are there meaningful differences in performing a project demanding general understanding of linear function between the two groups? In this study, 191 students were selected from 'I' girls' middle school in Inchon, Korea and they were divided into two groups randomly, 115 students in 3 classes for experimental group and 76 students in 2 classes for controlled group. And two groups were composed of small groups of 4 students for collaborative learning. Experimental group was taught by concept-oriented learning(개념위주의 학습) in using multiple technology like CBR, Excel, and Web assigning 3 classes of all 4 classes a week at computer lab and I class at classroom practicing to solve exercise in the textbook and controlled group was taught same topic with experimental group assigning all 4 classes a week by pencil and paper-oriented learning at classroom. Two group have 16 classes for 4 weeks from April 1, 2003 to May 7, 2003. All of the 191 students were tested on mathematical attitudes and technology experience before the experiment. And using CBR lesson for 3 classes, Excel program lesson for 12 classes and presentation of the project for 2 classes were conduced. And then all of the students were tested on mathematical attitudes, the effect of using technology and understanding of linear function after the experiment. And all 115 questions and 258 answers on web Q&A board, Video tape recorded 1 class using CBR and the project report and presentation of 30 of experimental group and 20 of controlled group were analyzed by frequency analysis and qualitative case study analysis. All analyses were conducted by SPSS 10.0 for windows. The results of this study are as follows; First, no statistical differences on mathematical attitudes(interest, participation, concentration, and confidence) were found between two groups. But in the case of concentration, the score of controlled group were decreased. Additive survey about the reason why not being concentrated and preference of teaching and learning method were carried out, it is presumed that difficulty of understanding linear function itself and construction of small group for the study are likely to be one of the reason. Second, statistically meaningful differences for understanding of graphs were found as experimental group scored higher than controlled group. This can be interpreted that multiple technology, especially using CBR technology had positive effect in that it helps student to distinguish linear graph of graphs and interpret the meaning of graph. Otherwise, statistically of linear function in the curriculum were found as experimental group scored lower than controlled group. This can be interpreted that experimental group had not enough time to practice exercise and the test was presented in pencil and paper type in spite of experimental group was taught mainly using technology. Third, experimental group showed positive reply in survey about effect of using CBR, Excel, Web technology and using computer in teaching and learning of mathematics. And using Web Q&A board and CBR played a positive role in understanding linear function. Forth, using multiple technology in teaching and learning mathematics were helpful to perform a project needed to understand concept of linear function, graphs and essential learning factor in the curriculum. In conclusion, introduction of technology in mathematics education is concerned to not content of mathematics but the way of doing mathematics and it is important to "when" and "how" introduce technology in teaching and learning mathematics. From the study, in related to "when" to introduce technology, it was appropriate to use CBR at introductory stage, Excel program at working stage and Web ar arrange stage. And in related to "how" to introduce technology, it was appropriate to use CBR as a tools for understanding graphs, Web as a tools for understanding linear function generally and Excel program as a tools for understanding essential learning factor in the curriculum. But in the case of using Excel program, it is needed not only to do concept learning but also to prepare pencil and paper test. As results of this study, some recommendations about developing teaching and learning method using multiple technology are suggested; First, students participated in this study have not learned computer subject as an optional subject, it was hard to manipulate technology, so it is recommended to carry out this study to students who have technology experience. Second, experimental group has 3 classes regularly of all 4 classes a week in learning with technology at computer lab and 1 class in practicing exercise ar classroom because of the short experimental period of 4 weeks. So it is recommended to have long experimental period and execute 1 class regularly in learning with technology at computer lab and 3 classes in practicing exercise in classroom. Third, the classes of experimental group as well as controlled group composed of lots of students, it is hard to do concept, -oriented teaching and learning, so it is recommended to develop effective way to use technology in environment where students is many in a class. Forth, guidebook about "when" and "how" to use technology is needed.;현대는 정보를 효율적으로 수집, 분석, 종합하여 효과적으로 활용할 수 있는 정보처리 기술과 필요에 따라 새로운 정보를 창출하고 활용할 수 있는 정보생산 능력이 중시되는 지식정보사회이다. 이러한 시대의 요구를 반영하여, 우리나라의 7차 교육과정 및 미국 수학교사 협의회(NCTM)의 Standards 1989, Standards 2000이 제정되었는데, 여기서는 수학 교수학습이 기존의 지필 위주의 학습에서 벗어나 다양하고 적절한 테크놀로지를 활용할 것을 권고하고 있다. 또 현재 학교 수학에서 함수가 차지하는 부분은 매우 큼에도 학생들은 함수를 이해하는 데 큰 어려움을 겪고 있는데, 바람직한 함수교육은 실생활의 변화현상을 기술하고 해석하는 경험으로부터 출발하여야 하는바, 테크놀로지가 현실의 복잡한 데이터를 처리하고 시각화하여 역동적인 함수를 경험하는데 긍정적인 역할을 할 것으로 기대된다. 그러나 지금까지 테크놀로지를 함수지도에 활용하는 구체적인 방안의 제시가 없었으며, 수학 교수-학습 방법을 개선하기 위하여 어느 단원에서 언제 어떻게 테크놀로지를 도입하여 활용하여야 하는가의 문제에 대한 연구는 거의 없는 실정이다. 이에 연구자는 관련 소프트웨어가 가장 많이 개발되어 있는 함수단원을 택하여, 단원의 도입단계에서 역동적인 함수개념의 이해 및 그래프의 이해를 목적으로 실시간 자료수집장치인 CBR(Calculator-Based Ranger)을 학생 탐구활동 중심으로 활용하며, 단원의 전개 기간 동안 교육과정상의 일차함수의 필수학습요소를 탐구하는 도구로 Excel을 활용하여 전산실에서 학생 1인당 1대의 컴퓨터로 학습하고, 단원 마무리에 Web Q&A게시판을 활용하여 일차함수에 대한 학생들이 전반적인 이해를 알아보고, 프로젝트형 수행평가를 통해 일차함수의 이해를 확고히 하는 연구를 수행하였다. 본 연구에서 제기된 연구문제는 다음과 같다. 첫 째, 테크놀로지를 활용해 일차함수를 학습한 집단은 교실에서 일차함수를 학습한 집단과 비교하여 수학 학습 태도(흥미, 참여도, 집중력, 자신감)에 차이가 있는가? 둘 째, 테크놀로지를 활용해 일차함수를 학습한 집단은 교실에서 일차함수를 학습한 집단과 비교하여 일차함수의 이해(그래프의 이해, 관계식 찾기 및 예측하기, 필수학습요소의 이해, 응용문제의 풀이)에 차이가 있는가? 셋 째, 일차함수의 학습에 테크놀로지를 활용하는 것에 대한 설문 및 웹 Q&A 게시판, CBR 활용 수업의 비디오 분석은 어떠한가? 넷 째, 다양한 테크놀로지(CBR, Excel, Web)를 활용해 일차함수를 학습한 학생들은 일차함수의 전반적인 이해가 필요한 프로젝트형 수행과제 해결에서 교실에서 학습한 학생들과 차이가 있는가? 인천 소재 I 여자중학교 2학년 5개 반을 대상으로 3개 반은 CBR, Excel, Web등 다양한 테크놀로지를 활용해 일차함수를 학습하는 실험반(115명)으로, 2개 반은 교실에서 학습하는 통제반(76명)으로 실험반과 통제반 모두 일차함수 단원을 학습하기에 효과적이라고 생각되는 4인 1조의 이질소집단으로 구성하여 4주(2003. 4. 1.~ 2003. 5. 7.)에 걸쳐 정규 수학 수업 시간을 이용해 실험연구가 수행되었다. 실험반은 주당 4차시의 수학 수업 중 일정하게 3차시 동안 전산실에서 개념학습 위주의 수업을 실시하고, 1차시는 교실에서 교과서 문제풀이 위주로 학습을 하고, 통제반은 실험반과 같은 주제로 학습하되 각종 테크놀로지를 활용하는 대신 지필 위주로 4차시 모두 교실에서 수업하였다. 사전에 수학학습태도, 테크놀로지 활용 경험여부에 관한 설문조사를 실시하고 이전 학년의 학업성취도를 분석하였으며, CBR을 활용한 탐구활동을 2차시, Excel을 활용한 탐구활동을 12차시, 일차함수에 관한 프로젝트 발표를 2차시 운영한 후, 사후 수학학습태도, 테크놀로지 활용 효과에 관한 설문조사와 일차함수의 이해도 검사를 실시하여 통계처리 전용 프로그램인 SPSS 10.0 for Windows를 활용하여 분석하였다. 태도 검사지는 Cronbach α 계수를 이용하여 문항 내적 일관성 신뢰도를 확인하고 요인분석을 통해 내용 타당도를 확보하였으며, 일차함수의 이해도 검사지 역시 Cronbach α 계수를 이용하여 문항 내적 일관성 신뢰도를 확인한 후 사용하였다. 수학 학습 태도와 이전 학년 학업 성취도에 관해 사전 실험반과 통제반의 동질성을 독립표본 t 검정을 통해 확인하였으며, 실험 처치 후, 수학 학습 태도와 일차함수의 이해도에 관해 실험반과 통제반 간의 전체적인 평균의 차이와 항목별 평균의 차이를 독립표본 t 검정을 이용하여 확인하고, 실험반과 통제반 내에서의 변화는 종속표본 t 검정을 실시하여 전체적인 변화와 항목별 변화를 살펴보았다. 웹 Q&A 게시판의 모든 115개의 질문과 258개의 답변에 대해 빈도분석 및 질적 사례분석을 실행하였으며, CBR을 활용한 수업의 1차시 분 비디오 테잎은 TIMSS의 비디오 연구를 바탕으로 분석하였다. 프로젝트형 수행평가는 실험반 30개, 통제반 20개의 보고서 및 발표를 유형별로 나누어 빈도분석 및 질적 사례 분석하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫 째, 테크놀로지를 활용해 일차함수를 학습한 집단은 교실에서 일차함수를 학습한 집단과 비교하여 수학 학습 태도(흥미, 참여도, 집중력, 자신감)에는 차이가 없었는데, 단 집중력 면에서 통제반의 경우 집중력의 저하를 보였다. 이의 원인을 명확하게 규명하기는 어려우나, 추가적인 설문을 분석한 결과 학생들이 이전 단원과 비교하여 함수단원을 어렵게 생각한 것과 실험을 위해 이질 소집단을 구성해 교수 학습한 것이 한 원인이 될 것으로 생각된다. 둘 째, 일차함수의 이해와 관련해서는 테크놀로지를 활용해 일차함수를 학습한 집단이 그래프의 이해 면에서 통제반과 비교하여 우수한 것으로 나타났는데, 이는 다양한 테크놀로지의 활용 특히, CBR 활용 수업의 결과라고 예측할 수 있는데, CBR이 그래프의 이해에 효과적이라는 다수의 선행연구의 결과와 본 실험 중 실시한 CBR 활용 수업의 Video 분석 결과에서 실제로 학생들이 그래프에 대한 직관을 얻는 장면들을 관찰할 수 있었다. 따라서 CBR을 활용한 수업이 학생들이 함수의 그래프 및 일차 함수의 그래프를 더 잘 판별해 내고, 그래프의 의미를 더 잘 해석하는데 기여하는 것으로 판단된다. 반면 8-가 단계 함수 단원의 필수 학습 요소에 대한 평가에서는 실험반이 통제반보다 낮은 성취를 보였는데, 이는 실험반은 다양한 테크놀로지를 활용해 개념위주의 수업을 하였으나, 이 평가 항목은 학습 요소에 대한 지식위주의 질문으로 이루어졌고, 평가 자체가 지필 평가 여서 테크놀로지를 활용해 수업을 받은 학생들에게는 불리한 형태로 되어 있기 때문인 것으로 판단된다. 셋 째, 일차함수의 학습에 테크놀로지를 활용하는 것에 대한 설문에서 학생들은 CBR, Excel, 웹 활용 수학수업과 전산실 수학 수업 전반에 대해 보통 이상의 긍정적인 반응을 보여 주었다. 웹 Q&A 게시판의 경우, 학생들은 질문과 답변 활동에 활발하게 참여하여 의견을 교류하였고, 교사는 학생들의 질문을 통해 학생들이 모르고 있는 부분을 알아내고, 답변을 통해 학생들의 이해의 정도를 파악할 수 있었다. 또 CBR활용 수업의 경우, 대집단 수업의 결과 교사 주도의 발언이 많았지만, 교사-학생간 활발한 질의응답 활동을 통해 학생들의 능동적인 참여를 이끌어 일차함수의 개념을 획득해 가는 모습을 보여 주었다. 넷 째, 다양한 테크놀로지(CBR, Excel, Web)를 활용해 일차함수를 학습하는 것은 일차함수의 개념, 그래프, 필수 학습요소 등 일차함수의 전반적인 이해가 필요한 프로젝트형 수행과제의 해결에 크게 기여함이 실험반에서의 30개의 프로젝트 보고서 및 발표, 통제반에서의 20개의 프로젝트 보고서 및 발표의 분석에서 밝혀졌다. 테크놀로지를 수학 교수-학습에 활용할 때는 다음과 같은 점에 주의를 기울여야 한다. 첫 째, 다양한 테크놀로지를 수학 교수-학습에 활용할 때는 보다 세심한 주의를 기울여야 한다. 다양한 테크놀로지 중 가르치고자 하는 수학개념을 가장 잘 교수-학습할 수 있는 테크놀로지를 선택해야 하겠다. 그리고 수학교수-학습과정에 반드시 테크놀로지를 활용해야 만 효과적인 것은 아니므로 테크놀로지의 활용 효과 여부를 생각하기 이전에 과연 테크놀로지의 활용이 필요한지의 여부에 대한 판단이 먼저 이루어져야 하겠다. 둘 째, 어떤 종류의 교수-학습 방법이나 다 그러하듯이 테크놀로지를 활용한 교수-학습도 물질적인 투자와 더불어 지속적으로 관심을 갖고 단계적으로 교수-학습에 투여하는 것이 바람직하다. 셋 째, 테크놀로지의 시각적인 면만 부각시켜 흥미위주의 활용이 되어서는 안되겠다. 개념학습을 위한 도구로 테크놀로지를 활용했을 때는 제시되는 학습자료의 외양에만 주목할 것이 아니라, 전달하고자 하는 학습 개념을 담는데 충실해야 하겠다. 넷 째, 수업의 질은 교사의 질에 달려있다는 말이 있듯이 테크놀로지를 학교 현장에 적용할 교사에 대한 구체적이고 지속적인 교육이 반드시 필요하다고 하겠다. 현재 학교 현장의 교사 대상 연수는 그 수가 적을 뿐 아니라 단기적이며, 테크놀로지 활용을 위한 구체적인 교수-학습 모델을 제시하지 못하여 실제 학습현장에의 적용이 미비한 바, 이의 시정이 반드시 필요하다고 하겠다. 본 연구를 바탕으로 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫 째, 본 연구는 선택과목으로 컴퓨터를 선택하여 배운 적이 없고, 테크놀로지를 수학이나 다른 과목의 교수-학습에 활용해 본적이 없는 학생들을 연구대상으로 하였기 때문에 학생들은 테크놀로지의 조작과 관련하여 어려움을 겪고, 본질적인 수학적 지식의 교수학습에 집중하는 것을 방해받았는데, 컴퓨터를 선택과목으로 수강한 학생들을 대상으로 실험하였다면 다른 결과를 이끌어냈으리라 생각된다. 둘 째, 본 연구에서는 짧은 실험기간 상 실험반의 경우 주당 4차시의 수학수업 중 일정하게 3차시를 주로 전산실에서 학생 1인당 1대의 컴퓨터로 개념 위주로 학습하고, 나머지 1차시는 교실에서 교과서 문제풀이 위주로 학습하였는데, 교실에서 문제풀이를 연습할 충분한 기회를 갖지 못해 지필식 시험에서 필수학습요소의 이해면에서 낮은 성취를 보이는 문제점을 야기하였다. 학교 현장에서의 성취도 평가는 상당부분 지필 환경으로 되어 있으므로 문제풀이 기능의 숙달은 중요하고 이에 한 학기 또는 1년 정도의 시간적인 여유를 갖고 주당 4차시의 수학 시간 중 3차시는 교실에서 교과서 위주로 수업하고, 나머지 1차시를 정기적으로 전산실에서 학생 1인당 1대의 컴퓨터로 학습 할 것을 제언한다. 셋 째, 본 연구는 개념위주의 수업을 계획하였지만 현재의 다인수 학급의 환경에서는 목적하는 바대로 개념위주의 수업을 이끄는데 어려움이 있었다. 따라서 다인수 학급 체제에서 테크놀로지를 활용해 개념위주의 학습이 가능한 방법을 고려 해 볼 필요가 있다. 넷 째, 본 연구에서는 단원의 도입, 전개, 마무리 단계에 따라 동일한 일차함수 단원에 다른 테크놀로지를 적용하였는데, 다양한 테크놀로지를 교수-학습의 각 단계에 적절하게 적용하는 것 또는 개개의 수학 개념 이해에 가장 적절한 테크놀로지를 찾는 것에 관한 연구가 필요하다. 또 이에 관한 학교 현장에 직접 적용 가능한 안내서(guide book)가 제작·보급되는 것이 필요하다. 본 연구는 다음과 같은 제한점이 있다. 본 연구는 선행연구의 고찰을 통해 다양한 테크놀로지를 적시에 최적의 방법으로 일차함수의 이해를 위한 교수-학습 방법에 도입하기 위해 수학 학습 태도, 일차함수의 이해도에 관한 객관적인 양적 연구방법과, 웹 게시판의 Q&A 분석, CBR 활용 수업의 비디오 분석, 프로젝트형 수행평가 분석 등의 질적인 연구방법을 병행하였음에도 불구하고 다음과 같은 제한점이 있다. 첫 째, 수학 학습 태도와 같은 정의적인 영역의 경우, 단기간의 처치로 태도의 변화를 기대하기 어려움에도 비교적 짧은 기간(4주)동안 연구가 이루어졌다. 둘 째, 연구 결과의 해석에서 연구자의 주관이 많이 개입되었다. 질적 연구 방법의 경우, 그 객관성을 보장받기 위해 다양한 연구 방법을 함께 활용하여 연구하는 삼각연구법(triangulation)이 활용되고 있으나, 본 연구의 경우, 수학교육전문가에게 체계적인 분석을 의뢰하는 등의 다양한 견해를 수렴하는 것 없이 본 연구자의 논문의 심사위원의 조언을 들어 연구자 1인이 반복하여 결과를 해석하였기 때문에, 웹 Q&A분석, CBR활용 비디오 분석, 프로젝트 보고서 및 발표 분석등 질적 사례 분석의 과정에서 연구자의 주관이 많이 개입되었다. 셋 째, 본 연구는 반 당 40인 가량으로 구성된 보통의 다인수 학급을 대상으로 실험하여 개개의 학생들이 함수개념을 획득하는 과정을 면밀히 살펴보는 것이 불가능했고, 연구자가 목적한 바대로 개념위주의 학습으로 학생들을 이끄는 것이 어려웠다.