극한(limit)에 관련된 학생들의 수학적 신념에 관한 연구

Abstract

The purpose of this study is to find which factor influences to limit concept study among students. This study is for high school students having belief to mathematics, studying limit concept understood by the students and finding relationship between these two. The research questions that are to be studied from the proposed unit are: 1. What limit concepts do students have prior to being taught about limits in a high school calculus course? 2. What are the pre-instructional unit beliefs of students about mathematics? 3. Do teacher directions or the problems given to students affect their beliefs about mathematics? 4. What limit definitions do students formulate? How do these compare to the formal mathematical definition? 5. Can students construct proofs of elementary limit problems and theorems using a mathematical definition of limit agreed upon in class during the instructional unit? 6. What are the post-instructional limit concepts of the students? 7.What are the post-instructional beliefs of students about mathematics? 8.What are the relationships between a student's beliefs about mathematics and his or her limit concept? 9. Are the beliefs of a student about mathematics and about the limit concept stable in the near future(i.e., 1-3 months after the conclusion of the unit)? Of particular interest me the students who experienced a change in their conception of limit during the instructional unit. For this study 254 high school students were participated to study limit unit. Before, after, and three month after limit unit study, three different questionnaires were conducted. As the result, it shows that more than 85 percents of students were "Unreachable" or "Approximation" at the limit study and how well majority students, whose recognized through limit concept study, remember. Ones who did not understand correctly confused at certain cases. When simple limit problem is provided, a few students understand meaning of the problem correctly, even though they could obtain limit vaule by using knowledge lerned from the study like formula. Analyzing an interrelation between student's belief toward mathematics and limit, we find that seven beliefs are closely connected with study of limit unit. Students' belief scores high on limit concept when they think mathematics as practical use, mathematics fact is identical to fact of life, mathematics is closely related with real life, positive thinking on mathematics, the best way of studying mathematics is to understand, mathematics can be solved in many ways, and actively deal with provided questionnaire and solve it. These beliefs did not change at the end of the limit unit even though three month after. Majority of students agreed that mathematics is closely connected with real life and an efficient way of studying mathematics is to understand it. Also, they are able to understand limit unit more accurately while continuously deal with limit from limit unit to differential unit on mathematics which is correlated real life. From the result of this study, we can find that it is necessary to reach belief related limit concept. Of course, school class should always emphasize students to remember the belief. Then we think that students will make limit concept easily and correctly when the concept is directly observed from limit unit.;본 연구는 고등학교 학생들의 수학에 대한 신념과 그들이 갖고 있는 극한개념을 파악하고 이 둘 사이의 관련 여부를 조사함으로써, 학생들의 신념 중 어떠한 것들이 극한개념의 학습에 영향을 미치는지를 발견하는데 그 목적을 두고 있다. 본 연구가 다루고 있는 연구문제는 다음과 같다. (1) 극한단원을 학습하기 이전에 학생들은 극한에 대해 어떠한 개념을 갖고 있는가? (2) 극한단원을 학습하기 이전에 학생들은 수학에 대해 어떠한 신념을 갖고 있는가? (3) 현행 교육과정에 따른 교수방법이 수학에 관한 학생들의 신념에 어떠한 영향을 미치는가? (4) 학생들은 극한에 대해 어떠한 개념이미지를 형성하며, 이 개념이미지는 공식적인 수학적 정의와 비교하여 어떻게 다른가? (5) 수업시간에 직관적으로 습득한 극한개념을 가지고, 초보적인 극한문제를 해결할 수 있는가? (6) 극한단원을 모두 학습한 이후의 학생들의 극한개념은 어떻게 변화하였는가? (7) 극한단원를 모두 학습한 이후의 학생들의 수학에 대한 신념은 어떻게 변화하였는가? (8) 수학에 관한 학생들의 신념과 극한개념 사이에는 어떠한 관계가 있는가? (9) 수학과 극한에 대한 학생들의 신념은, 가까운 장래에도 (예를 들어 수업 후 1~3개월 후) 변화됨이 없이 안정적일 것인가? 또한 미분법 단원의 수업도중에 극한개념이 변화된 학생이 있는가? 이 연구를 위해 고등학교 2학년 학생 254명을 대상으로 극한단원을 학습하기 전과 학습이 끝난 직후, 그리고 3개월이 지난 후의 3차례에 걸쳐 각각 설문조사를 실시하였다. 조사 결과, 극한에 대해 85%이상의 학생이 극한에 대해, "도발 불가능한 것" 또는 "근사값" 이라는 개념 이미지를 가지고 있는 것으로 나타났다. 또한 대다수의 학생들이, 학습을 통하여 습득한 극한개념은 어느 정도 기억하고 있으나, 이 개념을 정확하게 이해하지 못한 상태에서 상황에 따라 혼동을 일으키는 것으로 나타났다. 즉, 초보적인 극한문제를 제시하였을 때, 공식과 같이 학습과정에서 얻은 기술을 이용하여 극한값을 구할 수는 있으면서도, 그 문제의 의미를 정확히 이해하여 설명할 수 있는 학생은 소수에 불과했다. 수학에 관한 학생들의 신념과 극한에 대한 신념 사이의 상관관계를 분석한 결과, 다음과 같은 7가지의 신념이 극한개념의 학습과 밀접한 관련을 갖는 것으로 나타났다. 즉 수학을 실용적인 것으로 생각할수록, 수학적 사실이 실제사실과 동일하다고 생각할수록, 수학이 실생활과 관련이 있다고 생각할수록, 수학에 대해 긍정적일수록, 수학공부의 가장 좋은 방법을 이해라고 생각할수록, 문제푸는 방법은 다양하다고 생각할수록, 문제에 대해 능동적으로 대처하고 해결하려 할수록, 극한에 대한 신념점수도 높게 나타나는 것으로 밝혀졌다. 한편 이러한 신념들은 극한단원의 학습이 끝난 3개월 후까지 잘 변화하지 않았다. 다만 보다 많은 학생들이, 수학과 실생활이 관련성이 있다는 의견과, 수학을 효율적으로 공부하는 방법은 이해라는 의견에 대해, 동의하는 입장을 보였고, 아울러 극한개념에 대해 좀 더 정확한 이해를 하게 되는 등, 몇가지의 변화를 보였는데, 이는 극한단원에 이어지는 미분단원에서 극한을 계속 다루면서 실생활에 관련된 수학문제를 풀게 되기 때문인 것으로 보인다. 이 연구결과를 통해, 극한개념과 관련이 있는 신념을 도출하여 학습지도에 도입할 필요가 있다는 점을 발견할 수 있었다. 즉 평소 수학수업시간에 이러한 신념들을 학생들의 마음속에 심어줌으로써 나중에 극한단원에서 직관적으로 개념형성을 할 때, 학생들이 보다 쉽고 정확하게 극한개념을 형성할 수 있을 것이라고 생각된다.