고등학교 미적분 단원에서의 그래픽 계산기의 활용

Abstract

Modern society's technological changes require those of mathematics education. Recent trend of mathematics education focuses on the use of practical problem, opportunity of exploration, the emphasis on mathematical connection, dynamic visualization and communication and graphic calculator is proposed as powerful utility that becomes a catalyst of such changes. The purpose of this study is to investigate that using of graphic calculator in the highschool calculus strength recent trend of mathematics education. Therefore, this study suggests five research questions: 1. Does the use of the graphic calculator enable the attention to shift from simple algorithmic operations to translating practical problem into a mathematical model and interpreting the results and does that enable the students understand better the concepts and principles and feel the usefulness of mathematics? 2. Does the use of the graphic calculator stimulate the posing of new questions and the generalization of problems and change the attitude with respect to mathematics from passive performance to active investigation? 3. Does the use of the graphic calculator encourage the integration of geometric and algebraic contents and continually stimulate the student to create links between the various aspects of mathematics? 4. Is the use of the graphic calculator ideal for visually illustrating the changing behavior of magnitudes in their mutual relation and does the encourage a dynamic manner of observing analytical models? 5. Does the use of the graphic calculator enable to shift from isolated activity to problem solving throughout various communication? With the qualitative case study, I took six task-based activities with eight student who are in S girl's high school. This activities focused on the use of practical problem, the opportunity of exploration, mathematical connection, dynamic visualization and communication. And the graphic calculator is integrated the entire activities. I also carried out interview, former discussion and observation in order to investigate the research questions. This is the result of this study. First, the use of the graphic calculator enables the attention to shift from simple algorithmic operations to translating realistic problem into a mathematical model and interpreting the results. Because the graphic calculator performed complex calculation, students felt usefulness of mathematics through mathematical modeling and interpretation of the friendly everyday experiences. Second, the use of the graphic calculator stimulates the posing of new questions and the generalization of problems and changes the attitude with respect to mathematics from passive performance to active investigation. Because the graphic calculator can perform the various algebraic operations and drawing graphs quickly, students could investigate and compare various examples in short time and could conjecture the conclusions. Students could strengthen their mathematical abilities throughout such a exploratory process. Third, the use of the graphic calculator encourages the integration of geometric and algebraic contents and continually stimulates the student to create links between the various aspects of mathematics. Students who participated in this activity said that they knew the various approach methods for problem solving because they always had studies algebraic contents with graphs. Fourth, the use of the graphic calculator is ideal for visually illustrating the changing behavior of magnitudes in their mutual relation and that encourages a dynamic manner of observing analytical models. Studies with visual materials enables the better meaningful learning. The visualization of the graphic calculator has the bigger effect because of its dynamic visualization. Fifth, the use of the graphic calculator enables attitude of students to shift from isolated activity to problem solving throughout various communication. The graphic calculator stimulate students to think together. Therefore students could experience the various aspects of learning process by asking questions to each other, discussing their thinking, correcting mistakes to each other, hearing friend's thinking. From the results of study, I can conclude that the use of the graphic calculator in high-school calculus has effect on the use of practical problem, opportunity of exploration, mathematical connection, dynamic visualization and communication. So, it is necessary to study concretely about integration of graphic calculator and mathematics teaching. For this, mathematics teachers and researchers must be sensitive to change technology and the mathematics textbook and the methods of assessment must be changed with this trends.;현대 사회의 과학 기술적 변화는 수학교육의 강조점을 변화시키고 있다. 수학교육의 최근 동향은 실제적 문제의 사용, 탐구 기회의 제공, 수학적 연결성의 강조, 역동적인 시각화의 제공, 의사소통의 강조에 초점이 맞춰지고 있는데, 그래픽 계산기는 이러한 변화의 증폭제 역할을 할 수 있는 강력한 도구로 제시되고 있다. 이 연구에서는 현재 고등학교의 미적분 수업이 기계적인 알고리즘의 학습에 치우쳐 학생들이 그 핵심을 이해하지 못하고 형식주의에 빠지는 단점을 극복하기 위하여, 고등학교 미적분 수업에 그래픽 계산기를 활용함으로써 수학 교육의 최근 동향에 발맞추어 나갈 수 있음을 보여 주고자 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 그래픽 계산기의 사용이 미적분 수업을 단순한 알고리즘의 조작에서 실제적 문제의 수학적 모델링과 해석으로 초점을 변환시켜 학생들이 개념과 원리를 더 잘 이해하고 수학의 유용성을 느끼는 것을 가능하게 하는가? 2. 그래픽 계산기의 사용이 문제의 제시와 문제의 일반화를 고무하여 학생들의 활동을 수동적인 수행에서 적극적인 탐구로 변화하게 하는 것을 가능하게 하는가? 3. 그래픽 계산기의 사용이 기하적 내용과 대수적 내용의 통합을 고무하고 학생들이 수학의 다양한 영역간의 연결을 만들도록 고무하는 것을 가능하게 하는가? 4. 그래픽 계산기의 사용이 상호 관계에 있는 변화하는 행동을 시각적으로 보여줌으로써 분석적 모델의 관찰에 대한 역동적인 방법을 고무하는 것을 가능하게 하는가? 5. 그랙픽 계산기의 사용이 학생들의 태도가 고립적인 활동에서 다양한 의사소통을 통한 문제해결로 변화하는 것을 가능하게 하는가? 이러한 연구 문제를 해결하고자 이 연구에서는 서울시 소재 S여자 고등학교 2학년 학생 8명을 대상으로 약 6주에 걸쳐 6회에 걸친 활동 수업을 실시하였다. 학생들이 수행한 활동 수업은 실제적 문제의 사용, 탐구, 연결성, 시각화, 의사소통에 역점을 두어 제작한 것으로 그래픽 계산기가 활동전반에 통합되어 각 연구 문제의 증폭제 역할을 할 수 있도록 제작되었다. 학생들의 활동 수행의 관찰과 사전 설문조사, 사후 공식 면담 등의 분석 결과로서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 그래픽 계산기의 활용은 미적분 수업을 단순한 알고리즘의 조작에서 실제적 문제의 수학적 모델링과 해석으로 초점을 변환하게 하는 것을 가능하게 한다. 이 때, 계산이나 절차의 복잡성을 그래픽 계산기가 해결해줌으로써 학생들은 활동에 도입된 친숙하고 일상적인 경험의 수학적 모델링과 해석을 통해 학습에 활동적으로 참여함으로써 수학의 유용성과 아름다움을 느낄 수 있었으며 미적분의 근본적인 개념과 원리도 더 잘 이해할 수 있었다. 둘째, 그래픽 계산기의 활용은 새로운 문제의 제시와 문제의 일반화를 고무하여 학생들의 활동을 수동적인 수행에서 적극적인 탐구로 변환하게 하는 것을 가능하게 한다. 그래픽 계산기는 빠른 시간 내에 다양한 식의 계산과 그래프 그리기를 수행해줄 수 있기 때문에 학생들은 짧은 시간에도 다양한 례를 조사·비교해보고 결론을 유추할 수 있었는데, 학생들은 이를 이용하여 스스로 가설을 세우고 검증하는 탐구 과정을 거치면서 자신의 수학적 능력을 한층 강화시킬 수 있었다. 셋째, 그래픽 계산기의 활용은 기하적 내용과 대수적 내용의 통합을 고무하고 학생들이 수학의 다양한 영역간의 연결을 만들도록 고무하는 것을 가능하게 한다. 실험에 참가한 학생들은 미적분의 학습 과정에서 항상 그래프와 함께 대수적 내용을 학습함으로써 수학의 문제 해결에는 한 가지 방법만 있는 것이 아니라 다양한 방법으로 접근할 수 있음을 느꼈다고 하였다. 넷째, 그래프 계산기의 활용은 상호 관계에 있는 변화하는 행동을 시각적으로 보여줌으로써 분석적 모델의 관찰에 대한 역동적인 방법을 고무하는 것을 가능하게 한다. 시각적 자료를 통한 학습은 학생들로 하여금 그 지식을 직접 눈에서 확인할 수 있게 함으로써 훨씬 의미 있는 학습을 가능하게 하는데, 그래픽 계산기에서의 시각화는 정적이지 않은 역동적인 시각화로서 그 효과가 더 크다고 볼 수 있다. 다섯째, 그래픽 계산기의 활용은 학생들의 태도가 고립적인 활동에서 다양한 의사소통을 통한 문제 해결로 변화하는것을 가능하게 한다. 그래픽 계산기는 학생들이 항상 머리를 맞대고 같이 생각하도록 고무함으로써 서로간에 질문을 하고, 생각을 토의하고, 실수를 지적하고, 다른 친구의 생각을 들으면서 학습 과정의 여러 가지 측면을 경험할 수 있도록 하였다. 이상의 연구 결과로부터 고등학교 미적분 단원에서의 그래픽 계산기의 활용이 수학 교육의 최근 동향에 비추어 실제적 문제의 사용, 탐구, 연결성, 시각화, 의사소통의 측면에 효과가 크다는 결론을 내릴 수 있었다. 따라서 앞으로 현재의 교육과정을 보완하고 긍정적인 효과를 주기 위해서 그래픽 계산기로 교실 수업에 어떻게 통합하여 활용할 것인지를 좀 더 구체적으로 연구할 필요가 있다고 보이며 이를 위하여 수학 교사들과 수학 교육 연구자들은 항상 변화하는 테크놀로지에 민감해야 하며 교과서와 평가 방식도 이에 발맞추어 변화될 필요가 있을 것이다.