유리수 계산에서 나타나는 오류의 現象的 분석

Abstract

본 논문의 목적은 우리 나라 초등학교에서의 유리수 계산에서 볼 수 있는 오류 유형을 찾아 분류하고, 그 원인을 추적해 보는 것이다. 아동들은 자연수에 대해서는 친숙한 느낌을 가지지만 유리수에 대해서는 친숙한 느낌을 가지지 못한다. 이러한 심리적 거리감이 유리수 교수-학습 특히 유리수 계산에서는 중요한 요인으로 영향을 미친다. 아동들은 유리수 계산을 위한 여러가지 알고리즘을 학습하게 되는데, 그러한 알고리즘에는 유리수 계산 원리가 있다. 그러나 이러한 유리수 계산 원리는 대부분 자연수 계산 원리와 같지 않으며 학교에서 이러한 유리수 계산 원리의 교수 학습에 충분한 시간을 할애하는 것도 아니다. 그 결과 아동들은 원리를 충분히 이해하지 못한 채 계산 알고리즘을 접하게 된다. 당장에는 이러한 알고리즘을 외워 사용할 수 있지만 개념적 이해에 바탕을 두지 않았기 때문에 이내 잊혀지고 만다. 따라서 유리수 계산을 하는 경우 아동들은 기억이 나지 않는 유리수 계산 알고리즘 대신 자신들에게 익숙한 계산 알고리즘을 원용(擺履)하게 된다. 부적절한 알리즘의 사용이 유리수 계산에서 체계적 이면서 규칙적인 오류를 만들어 내게 되는 것이다. 본 논문은 초등학교 6학년 학생들에게 나타나는 유리수 계산 오류를 알아보기 위한 것으로 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 첫째, 초등학교 6학년 학생들이 분수 계산에서 보이는 오류 유형은 무엇인가? 둘째, 초등학교 6학년 학생들이 소수 계산에서 보이는 오류 유형은 무엇인가? 셋째, 초등학교 6학년 학생들이 보이는 분수 계산 오류 유형의 원인은 무엇으로 해석 할 수 있는가? 넷째, 초등학교 6학년 학생들이 보이는 소수 계산 오류 유형의 원인은 무엇으로 해석할 수 있는가? 위의 연구 문제를 조사하기 위해 초등학교 교육과정에서의 분수와 소수 단원을 분석하였다. 선행연구 및 단원 분석을 토대로 인천에 소재한 B초등학교 6학년 학생 2학급에게 유리수 계산에 관한 예비 검사를 실시하였다. 본 검사는 유리수 계산 20문제로 인천 소재 초등학교 6학년 학생 191명을 대상으로 실시되었다. 이상의 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 분수 계산에서 보이는 오류의 유형은 대분수 변환 오류, 가분수 변환 요류, 통분 요류, 약분 오류, 역수 오류, 분수 구성 오류, 덧셈 오류, 계산 순서 오류, 기술적 오류, 자연수 계산 오류의 9가지 유형으로 분석하였다. 둘째, 소수 계산에서 보이는 오류의 유형은 분수 변환 오류, 분수 계산 오류, 자연수 지배 오류, 자릿값 오류, 소수점 오류, 계산 순서 오류, 기술적 오류, 자연수 계산 오류의 8가지 유형으로 분석하였다. 셋째, 분수 계산 오류 유형의 원인은 분수의 비동치(比同値)를 비롯한 분수의 다양한 개념 이해 이해 부족과 이로 인한 무의미한 단편적 알고리즘 사용에 의한것으로 볼 수 있다. 넷째, 소수 계산 오류 유형의 원인은 분수와 소수 상호 관계의 이해 부족, 분수 개념 이해부족과 소수 개념 이해 부족으로 볼 수 있다. 특히 자릿값과 소수 계산 원리의 이해 부족으로 소수 계산에서의 받아올림, 받아내림, 곱셈, 나눗셈의 오류가 가장 많았다. 또한 소수점 찍기 알고리즘에 치중한 결과 많은 오류가 발생하였다. 결국 유리수 계산에서 나타나는 오류 유형은 유리수 개념의 불완전한 이해로 인한 미성숙한 형식주의에서 기인한다고 볼 수 있다. 본 연구 결과로 학생들이 형성하는 부정확한 알고리즘의 원인을 밝힘으로써 초등학교 아동들이 유리수 계산에서 보여주는 오류의 원인을 이해하고, 그리고 그러한 오류를 극복하게 하는데 도움이 될 것이다.;The aim of this paper is to ascertain and classify the types of errors which can be seen in the calculation of rational numbers in elementary mathematics classrooms in Korea. Children seem to understand natural numbers, but they do not seem to understand rational numbers. This disparity has a negative effect on the teaching and learning of rational numbers, especially, on the calculations of rational numbers. Children tend to learn algorithms druing the calculations of rational numbers. And there are laws governing the calculations of rational numbers in those algorithms. However, these algorithms are much different from algorithms involving natural numbers. And there is not sufficient time allotted for the learning and teaching of the laws used during the calculations of rational numbers. So, children are introduced to algorithms without adequately understanding the laws governing calculations involving rational numbers. They can use these algorithms from memory. But those algorithms are easily forgotten, because students' understanding is not based on conceptual understanding. So, in situations involving the calculation of ratonal numbers, instead of relying upon forgotten algorithms, children modify the algorithms using calculations of national numbers with which they are familiar. These modified algorithms cause numerous systematic and regular errors. The goal of this paper is to find out which errors sixth graders make when performing calculation involving rational numbers. Firstly, what kind of errors do they make when doing in calculations involving fractions? Secondly, what kind of errors do they make when doing in calculations involving decinals? Thirdly, what are the causes of their errors when using fractions? Fourthly, what are the causes of their errors when using decinals? Analysing the data garnered during the survey fur this paper and related references, I previewed the rational calculations for sixth graders in elementary school 'B' located in Inchon. The survey for this paper consisted of 20 tests per?performed by 191 sixth graders in Inchon. As a result I conclued that First, in the calculation of fractions, there are 9 patterns of errors as followings : transformation errors involving mixed fractions : transformation errors involving improper frations ; reduction errors involving common denominators ; reduction errors inverse number errors ; fraction construction errors calculation order errors ; and technical errors. Secondly, in the calculation of decimal fractional, errors can be classified according to 8 patterns as followings : fraction transformation errors, natural number domination errors. natural number calculation errors. Thirdly, the causes of the fraction calculation error are the lack of the conceptual fraction knowledge and the meaningless use of algorithms. Fourthly, the causes of the decimal calculation errors are the lack of the relation between fraction and decimal knowledge. So, the errors which could be seen in the calculation of rational numbers is caused the premature formalism. These classifications can help elementary teachers understand the causes of errors in the calculation of rational numbers, and to help children overcome their errors.