대수 문장제 해결을 위한 학생들의 비형식적 전략 분석 및 지도 방향 탐색

Abstract

본 연구의 목적은 대수를 배우기 직전의 학생들에게 대수적 문장제를 풀게 하여 그들이 사용하는 비형식적 전략과 오류를 분석하고, 그 비형식적 전략들을 대수와 연결시켜 대수식을 만드는데 활용할 수 있는 방법을 모색하는데 있다. 본 연구는 이러한 방법으로 구조-표현을 강조한 문장제 해결학습을 제안한다. 따라서 일차방정식에 관한 문장제를 해결할 때, 구조-표현을 강조한 학습을 실제로 수업에 적용한 결과, 학생들의 문장제 해결능력이 향상되었는지, 또한 이 과정에서 학생들이 범하는 오류를 분석하여, 그 교수학적 효과를 탐구하는 것 또한 목적으로 한다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 대수를 배우기 직전 중학생들의 일차방정식에 관한 문장제 해결을 위한 비형식적 전략의 유형을 알아보고, 문장제 유형에 따른 학생들의 비형식적 전략과 그 분포를 분석한다. 2. 대수를 배우기 직전 중학생들의 비형식적 전략을 사용한 일차방정식에 관한 문장제 해결과정에서의 오류의 유형과 분포를 분석한다. 3. 일차방정식에 관한 문장제를 해결할 때, 구조-표현을 강조한 학습을 실제로 수업에 적용한 결과, 학생들의 문장제 해결능력에서 유의미한 차이가 있는가를 알아본다. 또한 이 과정에서 학생들이 범하는 오류를 분석하였을 때, 그 교수학적 효과는 어떠한지와 구조-표현 강조 학습에 대한 선호도를 알아본다. 본 연구 문제 1, 2를 수행하기 위하여 중학교 1학년 학생들 240명을 대상으로 선정하였으며, 검사지를 작성하여 검사한 후, 문장제 유형별 비형식적 전략과 오류를 분석하였다. 본 연구 문제 3을 수행하기 위하여 앞의 비형식적 전략 분석을 바탕으로 구조-표현을 강조한 학습지를 개발한 후, 1학년에서 비교집단 2학급과 실험집단 2학급을 선정하여 동질 집단 여부를 확인하고 4차시의 교수 실험을 실시하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들이 문제해결을 위하여 사용하는 비형식적 전략들의 유형은 표를 이용한 추측과 검산, 거꾸로 풀기, 그림 그리기, 비례식, 예상과 확인으로 범주화 될 수 있으며, 문제 유형에 따라 학생들이 많이 사용하는 전략들도, 성공률이 높은 전략들도 각각 달랐다. 그러나 대체로 표를 이용한 추측과 검산의 성공률이 가장 높았으며, 예상과 확인 전략과 그림 그리기 전략의 성공률도 높은 편이었다. 둘째, 비형식적 전략을 사용한 문장제 해결과정에서 나타난 오류의 범주는 문맥에 대한 이해 부족, 잘못된 예상과 확인, 적절하지 않은 식, 계산 오류, 선행 지식의 부족으로 구분되었다. 문제 유형에 따라 차이는 있으나 대부분의 오류는 적절하지 못한 식을 세운 경우와 잘못된 예상과 확인, 문맥에 대한 이해 부족이었다. 셋째, 학생들의 비형식적 전략들 중 문제 유형에 따라서 학생들에게 친숙하고 성공적이며 대수로의 전이가 용이한 전략의 구조를 도식화시켜 활용하는 구조-표현을 강조한 학습을 실시한 결과 구조-표현 학습을 실시하지 않은 학급의 학생들보다 일차방정식을 활용한 문장제 해결 능력이 향상되었다. 그리고 오류 분석 결과 구조-표현 방법을 활용한 학생들의 구조 파악 능력이 상대적으로 높은 것으로 나타났다. 이상에서 대수 문장제의 해결능력을 향상시키고, 산술에서 대수로 단절되지 않고 이행하기 위하여, 문장제의 구조를 이해하는데 도움이 되는 학생들의 비형식적 전략을 파악할 필요가 있다는 것을 알 수 있다. 이를 바탕으로 차후에 비형식적 전략들의 분포에 대한 원인을 살펴보는 연구나 비형식적 전략에서 형식적 전략으로 바뀌어 가는 사고과정에 대한 질적 연구 등이 이루어질 수 있겠다. 또한 구조-표현 강조 학습 이외에도 학생들의 문장제 해결 능력을 향상시킬 수 있는 또 다른 효과적인 교수 학습 방법에 대한 다양한 연구가 필요하다는 것을 알 수 있다.;The purposes of this study are to analyze informal strategies and errors that students, who have not taken a formal Algebra course, use for the word problem solving of linear equation, and to search for the way to use informal strategies for making algebraic equation. For this purpose, this study suggests students' learning to solve word problems through a structure- representation instruction. Also, another purpose of this study is to find if there is any improvement of students' word problem performance, and to find instructional effects through analyzing errors that they have made, after learning to solve word problems of linear equations through structure- representation instruction, based on the informal strategies. For these purposes, the following research questions are set: 1. Find informal strategies that middle school students, who have not taken a formal Algebra course, use for the word problem solving of linear equation, and analyze the types and distribution of informal strategies which students have used by the types of word problems. 2. Analyze the types and distribution of error that middle school students who have not taken a formal Algebra course, make in the word problem solving of linear equation. 3. Find if there is any improvement of students' word problem performance and find instructional effects through analyzing errors that they have made, after they learned to solve word problems of linear equations through structure-representation instruction based on the informal strategies. Also, investigate students' preference of structure-representation instruction. The subjects for the research question 1 and 2, consist of the 240 1st-grade students from the two middle schools in Seoul. In order to carry out the research question 1 and 2, paper-and-pencil tests were conducted. After tests, the informal strategies and the error patterns were analyzed by the types of word problems. For the research question 3, based on the informal strategies analysis, structure-representation method program was developed and input to two random groups in 1st-grades of a middle school. After applying the program, the word problem solving ability tests were performed, and the result were analyzed. The findings are as follows: First, the types of informal strategies used by middle school students, can be categorized into five types; guess and check making a table, working backward, drawing a diagram, proportion, and trial and error. Guess and check making a table is the most successful strategy. Drawing a diagram, and trial and error are both the next successful strategies. Second, errors made by students in word problem solving with informal strategies also can be categorized into five types; lack of understanding context, wrong trial and error, inadequate formula, calculation errors, and lack of prior knowledge. Regardless of the types of word problems, most error patterns are due to inadequate formula, wrong trial and error, and lack of understanding context. Third, a structure-representation instruction using students' informal strategies improved students' word problem solving performance. And error analysis results indicate that students of the group instructed by the structure- representation approach show higher ability of understanding structure of problem. The results of this study indicate that we need to investigate middle school students' informal strategies helpful to understand the structures of word problems, in order that they can enhance their algebraic word problem solving ability and successfully transfer from arithmetic to algebra. In addition, based on this study, there should be a series of studies on developing another effective teaching-learning methods to enhance students' word problem solving ability.