'식의 계산' 단원에서 학업성취수준에 따른 오류분석과 교정에 관한 연구

Abstract

대수는 문자식의 조작이며 나아가 문자식은 기하와 해석을 포함한 모든 수학의 언어로서 수학을 학습하기 위해 없어서는 안되는 기초가 됨은 물론이고 수학을 이용하는 다른 제분야의 학습의 기초가 되는 매우 중요한 내용이다. 본 연구의 목적은 중학교 학생들이 '식의 계산'단원(이하 지수법칙)의 문제해결과정에서 보이는 오류 유형의 성취수준별 특징을 조사하여 분석하고 그 교정과정을 밝힘으로써 문제해결능력을 함양시키기 위한 교사의 수업 계획안에 참고가 되고자 하는데 있다. 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 세 가지 문제를 설정하였다. 1. 성취수준(상, 중, 하)에 따른 중학교 2학년 학생들이 지수법칙의 문제해결 과정에서 보이는 오류의 유형을 설정해서 분류할 수 있는가? 2. 중학교 2학년 학생들이 지수법칙의 문제해결과정에서 보이는 오류의 유형에 따른 오류의 원인을 찾아볼 수 있는가? 3. 중학교 2학년 중위집단 학생들의 지수법칙의 문제해결과정에서 흔히 범하는 오류의 교정과정을 밝혀낼 수 있는가? 본 연구를 수행하기 위하여 서울시에 소재하는 중학교를 선정하였으며, 오류 유형검사를 위하여 1학년 2학기 수학성적과 수학평균을 기초로 상, 중, 하위집단으로 분류하여 총 135명을 연구대상으로 선정하였다. 오류 검사지는 중학교 2학년 5종교과서에서 공통으로 다루어지는 교과서 수준의 난이도로 만들었다. 검사지는 지수법칙 유형별로 총 23문항으로 구성되었으며, 학생들이 제시한 문제풀이과정을 통해서 지수법칙에 대한 오류 유형과 원인을 분석하였다. 각 문항에 포함된 오류들은 문헌연구에서 살펴보았던 이스라엘의 수학자 Movshovitz-Hardar의 오류 모델과 김옥경이 제시한 오류 유형을 참고로 하여 개념적 지식과 관련된 오류, 절차적 지식과 관련된 오류로 나누었다. 개념적 지식과 관련된 오류는 기본지식의 결여, 부정확한 공식의 사용으로 인한 오류로, 절차적 지식과 관련된 오류는 기술적 오류, 문제에 적합하지 않은 해, 풀이과정의 생략으로 총 다섯가지 유형으로 다시 분류될 수 있다. 지수법칙유형과 학생들의 성취수준(상, 중, 하위)별로 정답률과 오류를 백분율로 나타내었다. 또한 오류교정과정을 수행하기 위해 오류검사지를 통해 대표적인 오류를 나타내고 비슷한 유형의 오류(부정확한 공식의 사용, 기본적 지식의 결여)를 범한 학생 3명을 중간집단에서 선정하여 교정을 실시하였다. 이와 같은 분석 결과로 다음과 같은 결론은 얻을 수 있다. 첫째, 성취수준에 따른 오류의 빈도수는 상위집단의 학생이 하위집단의 학생들에 비해 오류를 발생하는 회수가 적었으며, 오류의 발생빈도를 살펴보면 상, 중, 하위집단에 상관없이 부정확한 공식의 사용과 풀이과정의 생략에서 오는 오류가 가장 많았고 실수나 부주의로 인한 오류도 흔히 범하게 되는 오류임을 알 수 있다. 둘째, 상위집단의 학생들은 풀이과정에서 산술적 계산을 잘못하거나, 문제를 풀기 위해 옮겨 쓰는 과정에서 어떤 세부항목을 잘못 옮겨쓰거나 빠뜨리는 경우, 괄호밖의 음수기호에 대한 처리가 미숙, 풀이과정없이 답만 제시한 경우가 많았다. 셋째, 중위집단의 학생들은 나눗셈의 결합법칙이 성립하지 않음을 몰랐고, 나눗셈을 곱셈으로 변형시킬 때 역수를 잘못 곱하였으며, 분수계수를 가진 항에서 문자를 분모로 취급하여 약분하고, 지수법칙의 계산에서 (ab)^(m)=ab^(m), (ab)^(m)=(a×m)b^(m)(a는상수)와 같이 상수와 문자의 연산에 대한 개념적 이해가 부족하여 연산처리가 부정확했으며, 곱셈·나눗셈연산에서 부호결정에 대한 미숙함, 주어진 문제의 해결과정은 올바르나 최종적인 답이 문제에서 요구한 답이 아닌 경우를 제시한 경우가 있었다. 넷째, 하위집단의 학생들은 전반적으로 문자의 의미와 대수적 기호표현이 서툴렸으며, 덧셈과 곱셈연산에서 적용해야 할 성질, 법칙들에 대한 이해가 부족, 거듭제곱에서 밑과 지수에 대한 이해가 부족해서 밑과 지수의 관계를 곱셈의 관계로 파악하여 계산, 특히 음의 기호를 포함한 지수법칙 (-a)^(짝수)=-a^(짝수), (-a^(짝수))^(홀수)=a^(짝수)에 대한 혼동이 많았다. 또한 구성되어진 개념 중에서 오개념이 많다는 것은 수학적 오류를 유발하므로 이를 수정하기 위해 개념에 대한 변화를 목적으로하게 되는데, 그 학습방법으로 원리발견 학습모형, 인지갈등 학습모형 통해 교정지를 구성하였다. 학생들은 오류를 나타낼 때, 교사의 안내를 받아 가면서 학생 스스로 능동적으로 올바른 문제의 풀이과정에 다가가도록 유도한 결과 문제에 대한 개념 이해를 바탕으로 교정해나감으로써 성공적으로 문제를 해결 할 수 있었다. 그리고 면담을 통해 학생들의 오류 교정과정을 살펴본 결과 학습자들은 문자식의 계산을 접하고 해결함에 있어서 복잡하다는 마음을 가지고 있으며, 학생들은 그들이 배운 정리나 정의를 확실하게 이해하지 못하고 이를 활용할 수 있는 능력이 부족했다. 이를 해결하기 위해서는 단계적이고 체계적인 알고리즘을 확립하게 해주어야 할 것이다. 즉, 새로운 개념이나 용어를 학생들에게 지도할 때는 그 의미를 충분히 이해 할 수 있도록 학습활동을 제시하여야 하며, 자신의 풀이과정이 올바른지, 자신의 답이 문제에서 요구하는 것과 일치하는지 검토하는 습관을 길러주어야 한다. 또한 교재연구시 학생들이 오류를 범하기 쉬운 내용들을 충분히 연구하여 미리 학생들에게 반례를 들어 보임으로써 학생들의 오류를 최소화 해야 하며, 올바른 개념의 정립이 되도록 충분한 개념학습을 강조하여 이를 활용할 수 있는 지도에 중점을 두어야 한다. 수학에서 문자의 사용은 수학적인 문장을 간결히 표현하고 의사 소통을 원활히 할 수 있게 해 준다. 또, 문자에 상징성을 부여하여 의미있는 내용 표현을 가능하게 해 준다. 따라서, 수학적 의사소통이나 문제해결을 위해서 문자의 도입이나 식의 활용의 취급은 수학의 기초로 대단히 중요하다. 즉, 문자와 기호를 능숙하게 사용하여 일상 생활 속에서 접하는 문제를 수학적으로 해결하는 능력을 배양하는 것은 중학교 수학 교육에서 매우 중요한 일이므로 현장에서 학생들을 지도하는 교사에게는 오류원인의 분석을 통해 학업 성취수준별 오류 유형에 대한 연구 및 결과가 학생을 이해하는데 도움이 되고 다음 지도계획을 적절히 구성할 수 있으므로 필수적으로 요구된다.;Algebra is manipulation of letter expression, letter expression is the essential basis for mathematics as it is the language of all mathematics including geometry and analysis as well as the groundwork for studies in various fields. The main purpose of this study is to research the types of errors on the calculation of numerical formula(law of exponential) in mathematics textbook of the second year middle school students, to analyze the reasons of those errors, and further to show possible answers. For this purpose, three questions were set as follows; (1) To analyze the types of errors shown in the learners' attainment level divided into three groups of high, middle, and low achievers in solving the law of exponential in the middle school mathematics textbook. (2) To analyze the reasons of those errors and to suggest the better solutions by analyzing the cause of those errors in various types. (3) To find the correcting process of the errors commonly seen in the second year middle school students solving procesures of exponential law. For performing this research, 135 students of middle schools in seoul were selected as the subjects, and they were divided into three groups such as high, middle, and low groups on the basis of their mathematics grades at the final examination of the second semester in 2002. The research paper for error types was designed by considering the degree of difficulty of 5 textbooks used in the middle school. It consisted of 5 types of law of exponential, and total has 23 questions. After the students were tested with those questions, the types and reasons of errors were analyzed in details, on their answer sheets. Error models fall into five divisions, that of basic knowledge' lack, that of not using proper principles, that of technical skill, that of explanation process' omission, and that of ineligible solution for a problem. For error correction, we chose three students who made similar errors and correct errors. Following is the summary of the results discovered through this research. In terms of the error frequency, the high proficiency group had less errors than the lower(middle and low) groups did and as for the error types, the high achievers showed the high rate of technical errors caused from slips or mistakes in the process of calculation whereas the students in the middle group tended to have more errors caused from inappropriate uses of theorem, definitions and those in the low group more errors of basic knowledges. Second, many high-level students made mistakes in calculation. Third, middle-level students, didn't have exact concept about some rules in division. Fourth, low-level students often didn't understand the meaning of questions and they also were not sure about the signs, expecially minus signs in calculation. And wrong concepts can lead to errors. To prevent that, the correction of these concepts is needed. So we made correction paper using basic theory of discovery model. In addition, it was shown from the process of students' error correction through interviews that students found calculating and solving literal arithmetic complex and that they did not surely understand the theorem and definitions they had learned and fell short of abilities to apply them. To solve the problem, gradual and systematic algorism should be established in them. When students make mistakes, teachers should help them to solve problems voluntarily. With these efforts, they can solve problems successfully. so it is necessary that the students feel familiar with Mathematics along with concept learning and have confidence in solving even applied questions. On the basis of the above results, following is suggested for the sake of effective learning and teaching for the students with such errors. Firstly, new concepts and terms have to be introduced with students' proper learning activities so that they can be understood thoroughly. Secondly, students should be led to cultivate the habit of making sure if their answers correspond with what the questions require. Thirdly, students' errors should be minimized by exemplifying the prior errors students tend to have through research. Students come across various difficulties showing a lot of types of errors in the process of solving questions. Analysing such errors enables teachers to find out what errors students have in the process of question solving. As it is very important in terms of education of middle school Mathematics to cultivate the ability to solve the problems of daily life mathematically by using letter and symbols proficiently, teachers should guide students with a great concern about the errors that they have.