중학생의 운동(motion) 표현 과정에서 나타나는 메타표현능력의 구성적 자원 분석

Abstract

실생활과 관련된 수학 학습의 강조는 수학 학습의 목적이 지식을 습득하는 것 이상으로 물리적, 사회적 현상을 해석하고 이해하여 문제 상황을 해결하는 데 있음을 말해주며, 이런 과정에 있어 수학적 표현은 중요한 역할을 한다. 특히, 그래프는 수학뿐만 아니라, 다른 교과와 사회 현상 속에서도 그 중요성이 크지만 학생들은 그 표현과 활용을 힘들어하고 자연스럽게 구사하지 못하는 경향이 있다. 이를 극복하기 위해 학생의 표현을 구체적으로 바르게 이해할 필요가 있고, 외부적 표현의 구성과 사용에 관하여 학습자들이 갖고 있는 풍부한 능력의 범위를 정리할 필요가 있다(이양미, 전평국, 2005). 이에, 이미 연구된 메타표현능력과 구성적 자원, 그래프 발견 단계를 활용하여 표현 능력을 분석하고자 한다. 메타표현능력이란, 표현을 선택하고 생산하고 사용하는 능력, 비평하고 표현을 수정하고 완전히 새로운 표현을 고안하는 능력을 말한다. 구성적 자원이란 새로운 표현의 발견으로 들어갈 수 있는 몇 가지 기초적 아이디어를 포함해서, 표현을 발견하는 학생들의 능력에 원인이 되는 핵심 능력이다. 그래프 발견 단계란 형식적인 학습 전에 학생이 스스로 수학적인 그래프 표현을 할 수 있고, 그래프를 분석 적용하게 되는 전이미지, 이미지, 그래프 표현, 그래프 분석, 그래프 적용의 5단계이다. 본 연구는 이를 토대로, 학생들의 충분한 이해가 가능하고 교육 과정에서 부족한 그래프에 대한 질적 접근을 유도하며 선 그래프 학습과 관련되는 운동(motion) 표현 과제를 제시하였고 그 과정에서 어떤 구성적 자원이 나타나고 있는지 알아보고, 그 특징을 분석하며 표준적인 그래프와 비교해 보고자 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 첫째, 학생들이 운동(motion)의 언어적 표현을 그림으로 표현하는 데 나타나는 메타표현능력의 구성적자원은 어떤 것들이며 특징은 무엇인가? 둘째, 다른 형태의 각 운동(motion) 과제에 대하여 구성적 자원으로 구분 된 학생들의 결과물은 그래프 발견 단계를 어느 정도 보여주고 있는가? 셋째, 학생들이 발견한 표현들을 구성적 자원을 토대로 형식적 그래프와 비교할 때 유사점과 차이점은 무엇인가? 이들 연구문제를 해결하기 위해, 본 연구에서는 학생들의 활동지 결과물을 토대로 구성적 자원을 분석하기 위하여 질적 연구 중 코딩을 통해 유형 분류와 분석을 하였고 2006년 봄 학기에 형식적인 함수와 그래프 단원을 학습하기 전인 1학년 4개 학급을 대상으로 자료를 수집하였다. 총 5개의 활동지가 각각 20분 정도로 수업시간에 실시되었고 과제 내용은 선행연구를 바탕으로 본 연구자가 재편성하고 개발한 것으로 하였다. 그에 따른 결과를 살펴보면, 첫째, 운동 과제를 그림으로 표현하는 데 나타나는 메타표현능력의 구성적 자원들을 6개영역으로 나누었다. ‘Drawings(그림)’은 일반적인 묘사, 주석, 점, 화살표, 아이콘 형태로 일반적인 그림과 화살표가 많이 활용되었다. ‘Letters & Symbols(글자와 기호)’는 글자, 부호 표현으로 부호는 사용이 적었고, 글자 표현은 모든 과제에서 꾸준히 나타났다. ‘Temporal sequences(시간의 연속)’는 시간에 따른 배열, 만화적 구성, 한 장면 묘사, 공간․시간의 혼합된 묘사로, 점차 시간에 따른 배열이 많이 나타났다. ‘A line segment(선분)’은 선분의 길이, 기울기, 두께로 속도를 표현하는 유형들로 사용이 점차 늘었다. ‘A curve line(곡선)’은 진동의 조밀성, 스프링 모양의 조밀성, 곡선의 고저에 따라 속도를 표현하는 유형으로 상징적인 표현에서 주로 이용되었다. ‘Graph-like representation(그래프 같은 표현)’은 선 그래프, 막대 그래프 같은 표현, 수직선 표현으로 선 그래프 같은 표현이 마지막 과제에서 주로 나타났다. 둘째, 긴 문장의 자동차 움직임을 표현하는 과제에서 전이미지 단계가 많이 나타났고, 유사 과제가 주어진 다음에도 전이미지 단계가 많이 나타났다. 세 개의 운동 묘사의 공통점을 찾는 과제에서 비수학적인 요소를 배제하도록 유도했을 때 이미지 단계가 많이 나타났고, 그래프가 문항에 나타난 과제에서 그래프 표현 단계가 많이 나타났다. 그래프 분석․적용 단계는 많이 나타나지 않았다. 학생들은 그래프 발달 단계를 따라 표현이 발전되는 경우도 있었지만, 개인 간의 차이가 큰 편이며 그 도약에 있어서도 차이가 있었다. 그래프 발달 단계로 확연히 구분 할 수 없는 표현 상태도 나타났고, 그래프 표현을 본 과제에서도 자신 고유의 상징적인 표현만 계속 강조하는 학생들도 있었다. 셋째, 학생들이 발견한 고유 표현에서 사용되는 구성적 자원들 중 화살표, 점, 글자, 곡선의 높낮이, 시간에 따른 배열, 그래프 같은 표현들은 표준적인 그래프에서 축, 축의 눈금과 라벨, 자취 등 그래프 요소들과 유사한 형태들이지만 사용에 있어 속도의 크기를 나타내는 상징적 형태로만 주로 이용되었다. 공간을 함께 표현하는 유형이나 선분 길이로 속도를 표현하는 사례 중에는 표준적인 그래프의 오류, 오개념에 등장했던 표현들과 유사한 것도 있었다. 전반적으로 표준적인 그래프에서 나타나는 구성 요소들이 학생들 고유의 상징적 표현에서 나타나고 있지만 그 사용에 있어서는 표준적인 그래프에 비해 다양한 방법으로 단순히 속도를 나타내는 일차원적인 표현으로 나타났다. 이상에서 살펴 본 연구 결과를 토대로 연구의 제한점을 밝히면 다음과 같다. 첫째, 학생들이 과제를 할 수 있는 시간이 짧아, 충분히 생각을 표현할 기회를 갖지 못하여 자신의 고유 표현을 확연히 나타내지 못한 학생들이 있었고, 다양한 과제를 제시하지 않아 다른 표현 유형들을 살필 수 없었다. 둘째, 짧은 연구 기간으로 주어진 과제에 대한 학생들의 결과만으로 표준적인 그래프와 비교 분석을 하였기에 교사나 다른 학생들과의 상호작용에서 나타나는 표현 발견 학습의 효과를 살필 수 없었고, 표준적인 그래프 학습과의 차이점을 논할 수 없었다. 마지막으로 연구 결과 및 제한점에 근거한 제언 및 후속 연구 제안은 다음과 같다. 첫째, 학생들 스스로 표현을 발견하는 과제에 대하여 수학에 자신감이 부족하고 학습 의욕이 저조한 학생들도 대부분 흥미롭게 참여하는 것을 알 수 있었다. 같은 과제에 대해서도 표현 학습으로 과제가 제시될 때 좀 더 친숙하게 학생들이 다가서는 것으로 보아 객관적인 사례를 보여줄 표현 발견 학습에 대한 정의적 영역에서의 흥미, 태도 검사가 후속 연구로 필요하다. 둘째, 메타표현능력을 강조한 표현 발견 학습이 학생들의 능력을 긍정적으로 보는 장점이 있으나 표준적인 그래프 학습으로 연결시키는 데 효과적이지 못할 수 있기에 메타표현능력을 강조한 그래프 발견 학습과 기존 그래프 학습의 함수와 그래프 단원에서 학업 성취도와 그래프 개념과 이해에 대한 비교가 후속 연구로 필요하다. 셋째, 운동 표현 과제에서 나타난 메타표현능력의 구성적 자원들은 특수한 과제에 대한 구성적 자원이므로 다른 수학적 표현 과제에서 구성적 자원들은 어떤 유형으로 나타나는지 조사한다면, 학생들의 표현 능력과 학습의 연계성에 대한 좀 더 다양하고 일반적인 이론을 발견할 수 있을 것이다.;Emphasis on mathematics study related to our actual living tells that mathematics study purpose is not only knowledge acquisition but to analyze comprehend physical social phenomena so as to solve problem condition, in which process the mathematical representation plays important role. Particularly although graph has importance not only in mathematics but also in other curricular subjects and social phenomena, there is tendency that students feel it difficult to represent use therein and cannot naturally command thereof. In order to overcome this, there is need both of concretely correct understanding of students’ representation and of our arrangement of scope of students’ abundant capability (Yang Mi Lee and Pyung Kook Jeon, 2005). Wherefore now I am to analyze (their) representation competence by my using of meta-representation competence, constructive resources, and graph discovery steps that have priorly been researched. Meta-representation competence signifies ability to select produce use representation, to criticize amend modify representation, and to devise completely new representation. Constructive resources are beginning from several basic ideas to be able to enter into discovery of new representation so as to be core ability that constitutes cause to students’ faculty of representation discovery. Graph discovery steps comprise 5 steps of Pre-imaging, Imaging, Graph representation, Graphing analysis, and Graphing application where student would approach to be able to make mathematical graph representation by her〔him〕self before formal lesson and developedly would come to a condition to be able to apply graph with her〔his〕analysis. Upon this basis, this my research presented theme of motion representation that is feasible of sufficient understanding by students, and that is inductive of qualitative approach to graph which is insufficient in education curriculum lesson, and so that is related to linear graph study, while therefore this research has set the following research problems in order to investigate what constructive resources appear in said process, to analyze characteristics therein, and to compare with standard graph. Firstly, what are constructive resources of meta-representation competence that appear when students represent linguistic representation of motion into figure and what are their features? Secondly, in how much degree do the students’ result objects classified in constructive resources for each theme of motion different in form from one another show the graph discovery stages? Thirdly, when we compare representations discovered by students with formal graph upon basis of constructive resources, what are similarities and what are differences between those? For solution of these research problems in this my research, mode classification and analysis have been performed by way of coding during qualitative research in order to analyze constructive resources upon basis of students’activity paper result material while data were collected from object of 4 classroom students of freshmen before their formal course lesson of function and graph units of study course in spring semester of 2006. Total 5 units of activity papers were implemented about each 20 minutes in lesson hours while investigation contents were taken from what I reorganized developed upon basis of prior research. For our overview now to accordant result, firstly I divided into 6 areas the constructive resources of meta-representation competence that appear when representing motion problem. ‘Drawings’ signify representation modes into ordinary delineation, note, dot, arrow mark, and icon, in which category there appeared comparatively much utilization of ordinary depiction and arrow mark from among said mode formats. ‘Letters & Symbols’ signify representation into letters symbols, in which category the use of symbols was few whereas the expression by letters steadily appeared. ‘Temporal sequences’ were for mixed expression of space and time, for expression of a scene, for cartoon-like conformation, and arrangement by time sequence, wherein this mode of arrangement by periodical sequential order gradually increasingly appeared. ‘A line segment’ was used for mode to represent speed by means of line segment length, slope, thickness, numbers. ‘A curve line’ is mode to express speed in accordance with high or low curve as well as to express vibration density and spring form density, which mode was mainly used for symbolic expression. ‘Graph-like representation’ was shown to be expressions like linear graph, histogram, and vertical lines, wherein the main appearances were expressions like line graph in last subject problem. Secondly, Pre-imaging st데 appeared frequently when first there was given task to represent automobile motion of long sentence, and as well the Pre-image step appeared also by many students even after a similar task was given. Afterwards many appeared as Imaging step when there was induced to eliminate non-mathematical elements in task to find common points of three motion representations. While Graph representation step appeared by many students in task where graph appeared within problem paragraph. Meanwhile there appeared not many students of Graph analysis or application steps. Though cases were shown to develop in representation by students through normal defined Graph development steps, there is tendency of large differences by individuals as well there are shown differences also in jumping therewith. There appeared also representation status which can be clearly sorted in graph development stages and there were students who insistently emphasized their own respective peculiar symbolic representations even in task where they viewed graph representation within. Thirdly, though representations such as arrow, dot, letter, curve height, curve depth, array in sequential order of time, and graph among constructive resources used in peculiar representations discovered by students are similar forms with graph elements of axis, gradation of axis and label, trajectory etc. in standard graph, those students’ representations were used in symbolic forms to represent speed magnitude differently in use from forms in standard graph. Among exemplary cases of representing the speed by line segment length or among cases of mode to represent altogether with spaces, there were also those similar to representations which appeared in error and misconcept in standard graph. Generally compilation elements appearing in standard graph are appearing also in students’ peculiar symbolic representations whereas, in use of those compilation elements, these students’ representations came up as one dimensional representations simply representing speed in various methods in contrast to standard graphing. If I clarify limitation points of my this research onbasis of investigation result deliberated as above, the following may be raised. Firstly, as students were given only short times to deliberate on given subjects, they were not fully given sufficient chances for expression of their thoughts, so there were students who could not clearly manifest their own respective particular representations, as well as other representation modes could not be inquired at diverse subjects were not presented. Secondly, I could not discuss difference points from standard graph study lesson and could not closely inspect effect of representation discovery study coming up by interaction with teacher and with each other of students? I executed comparative analysis with standard graph lesson by means of only the students’ results to given tasks where I made use of only a short research period. Finally my propositions based on these research results and limitations along with my suggestion of succeeding research are as follows. Firstly, it was made known that even most students who are defective in confidence on mathematics and are low in study intention participated herein interestedly on heuristic subject of finding the representations by themselves. Investigation in definitive aspect on their attitude interest to representation discovery lesson which may show objective example for effect is needed as a succeeding research ? I could see that students approach closer with a little more familiarity in case when task is presented with representation study for even identical task. Secondly, succeeding research is needed of comparison of scholastic achievement degree along with understanding on graph concept between my asserted graph discovery study emphasizing the meta-representation competence and the existing curricular function and graph units focused on graph study? the said graph discovery study emphasizing the meta-representation competence might be ineffective in linking to standard graph study though this discovery study has merit to esteem students’ competence. Thirdly, because constructive resources of meta-representation competence shown in motion representation task subject are those for a specific subject, if there would be investigated what formats the constructive resources would be shown in other mathematical representation task subjects, it would be feasible to find somewhat more diversified generalized theory about correlativity between students’ representation competence and normal study.