Clairaut의 <기하학 원론>에 근거한 7-나 단계 작도단원의 학습자료 개발 및 적용에 관한 사례 연구

Abstract

본 연구는 <7-나 단계> 작도 단원의 의미 있는 학습을 위하여, 수학의 역사 속에서 자연스러운 발생을 바탕으로 하고 작도문제 해결을 분석에서 시작하여 확인 및 탐구하는 사고 활동을 강조하는 Clairaut의 <기하학 원론>을 기반으로 한 학습 자료를 개발하고 이를 활용한 수업에서 나타나는 학습 과정의 특징을 분석하는데 그 목적을 둔다. 이러한 연구 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. Clairaut의 <기하학 원론>에 근거하여 <7-나 단계> 작도 단원의 학습 자료를 어떻게 구성할 것인가? 2. 개발한 학습 자료를 활용한 수업 과정에서 나타나는 특징은 무엇인가? 가. 학생들의 수학적 사고 활동이 이루어지는가? 나. 학습자의 수업에 대한 흥미 및 태도는 어떠한가? 연구문제 1을 해결하기 위하여, 현행 16종 교과서의 작도 단원에 대한 분석과 <7-나 단계>를 마친 중학교 2학년 학생들을 대상으로 작도 단원에 대한 기초 소양 및 교수-학습의 문제점을 조사하고자 설문조사를 하였으며, 문헌검토를 통하여 역사발생적 원리와 Clairaut의 <기하학 원론> 및 기하학적 작도에 대해 살펴봄으로써 학습자료 개발을 위한 이론적 근거를 마련하였고, 전문가와 현장교사들의 조언을 받아 <7-나 단계> 작도단원에 대한 5차시 학습 자료를 개발하였다. 연구문제 2를 해결하기 위하여 성취도별로 6명의 학생을 표집하여 해석적 사례연구를 실시하였다. 연구 자료에는 수업을 오디오 녹음과 비디오 녹화하여 전사한 자료, 수업 관찰 노트, 면담 자료, 수업 일지, 학습지 등이 포함된다. 본 연구를 통하여 얻은 결과를 요약하면 다음과 같다. 역사발생적 원리에 입각하여 쓴 Clairaut의 <기하학 원론>에 근거하여 개발한 5차시 분량의 학습 자료는 발생 당시 발견자들이 경험한 방식 즉, 필요에 의해 시작하고 점차적으로 형식화하는 전개 방식으로 인간의 정신에 거스르지 않는 자연스러운 방식으로 제시하였다. 또한 작도문제 해결 과정에서 작도 방법 탐구를 위한 분석이 선행되어 자연스러운 사고 활동으로 작도 방법을 발견하고 작도의 타당성을 밝히는 확인, 작도 결과를 일반화하는 반성의 단계를 강조하여 의식적으로 실행할 수 있도록 구체화 하였다. 개발한 학습 자료를 활용한 수업에서 나타나는 특징은 다음과 같다. 첫째, 학생들은 실생활 맥락에서 수학적 개념의 필요성을 인식하고 문제 상황의 해결을 위한 유용한 도구로서 작도 방법을 탐구하며 재발명하고 있다(발췌문 1, 2, 3, 4). 둘째, 학생들은 작도문제 해결을 분석에서 시작하여 작도 방법을 추측하고 발견하며 다양한 작도 방법에 대한 탐구를 하였다(발췌문 5, 6, 7). 셋째, 학생들은 얻어진 작도가 문제의 요구 조건을 충족시키는가를 확인하며 작도 과정을 논리적으로 설명하였다(발췌문 8, 9, 10). 넷째, 학생들은 작도 활동을 반성적으로 사고하며 도형의 성질을 발견하고 다양한 조건의 변화에 의한 상황을 탐구하였다.(발췌문 11, 12, 13). 다섯째, 학생들은 창조된 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 수학 내의 응용성을 경험하고 수학적 개념들 사이의 관계를 이끌어낼 수 있었다(발췌문 14, 15). 여섯째, 수업에 대한 흥미와 태도의 측면에서 학생들은 작도 문제해결에 대해 흥미를 가졌으며 학생들의 사고 활동을 강조하고 다양한 작도 방법에 대해 탐구하는 활동을 유용하게 생각하였다. 또한 수업에 적극적으로 참여하고 활발한 의사소통이 이루어 졌으며 자신감을 가지고 학습 과제를 해결하였다. 위 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론과 제언을 할 수 있다. 첫째, Clairaut의 <기하학 원론>을 근거하여 학습 자료를 구성함으로써 수학적 개념을 발생되는 것으로 보고 학습자의 구성적 활동을 유도하며 실생활 문제의 해결 방법으로서 접근하여 수학적 개념의 직관적 요소와 정당한 추론이 자연스럽게 조화를 이룰 수 있도록 할 수 있다. 둘째, 학생들이 작도 문제해결을 의미 있게 학습하고 흥미를 느낄 수 있도록 실생활 맥락에서 유용한 도구로서 필요함을 인식시킬 수 있다. 셋째, 작도 문제해결 과정에서 역사발생적 원리에 따라 분석에서 시작하여 학생들 스스로 탐구하고 추측하고 발견하며 작도 과정의 타당성을 논리적으로 설명하고 확인, 반성하는 사고 활동으로 수학적 사고력을 향상시킬 수 있다. 넷째, 작도 문제해결 과정을 강조한 수업은 상&#8226;중&#8226;하 수준의 학생들 모두에게 효과가 있으나 하수준의 학생들은 수학적 지식의 결여로 의미 있는 분석 및 반성 등 수학적 사고 활동에 어려움이 있으나 Clairaut의 <기하학 원론>의 인간의 정신에 거스르지 않는 자연스러운 전개 방식으로 작도 방법을 탐구하고 수학적 개념을 확장시킬 수 있다.;For a meaningful learning of the Construction Unit in 7-B Grade, this study aims to develop learning materials on the basis of Clairaut's Elèments de Gèomètrie, which is grounded on a natural generation derived from the history of mathematics and emphasizes students' inquiry activity and reflective thinking activity, and to analyze the characteristics of learning process shown in classes which use the application of learning materials. For this study's objectives, research questions were set as follows: 1. Based on Clairaut's Elèments de Gèomètrie, what makes up the learning materials of the Construction unit in 7-B Grade? 2. What are the characteristics of the courses in which developed learning materials are utilized? 1) What are the characteristics in the aspect of mathematical thinking attitudes? 2) What are the characteristics in the aspect of a learner's interest in and attitude toward a class? Mathematical thinking attitude means an ability to logically infer and discover principles and rules for oneself, to consciously reflect one's or others' mental mathematical activities, and to apply and adapt creative concepts to new problems. In order to deal with Research Problem 1, the Construction unit in the currently used 16 kinds of textbooks were analyzed; a survey was conducted for second-year middle-school students who completed 7-B Grade in order to investigate basic knowledge on the Construction Unit and any issues on teaching and learning. Through literature review, the Histo-Genetic Principle and Clairaut's Elèments de Gèomètrieas well as geometric construction were examined to provide a theoretical foundation for the development of learning materials. Also, with the advice from experts and school teachers, the 5-lesson amount of learning materials for the Construction Unit in 7-B Grade were developed. For Research Problem 2, six students were sampled by gender and performance and an interpretive case study was conducted. Research data includes transcripts of audio and video recoding of classes, class observation notes, interview data, class journals, and workbooks. A summary of the findings of this study is the followings: Learning materials for five sessions developed on the basis of Clairaut's Elèments de Gèomètriegrounded on the Histo-Genetic Principle was presented in the way that a finder experiences at the time of generation; that is to say, in a way of development to be initiated by necessity and to be gradually formulated, a natural method not to go against human mentality was suggested. Construction was specified so as to be consciously executed with emphasis on an analysis to enable one to discover construction techniques for oneself from a standpoint of problem solving, a justification to reveal the validity of construction, and a step of reflection to generalize the results of construction. Characteristics of classes which utilize the developed learning materials are the followings. First, students recognized the necessity of mathematical concepts in the context of practical life, and inquired and reinvented construction techniques as useful tools to solve problematic situations (Excerpts 1, 2, 3, and 4). Second, students inferred and discovered construction techniques through active communications and inquired a variety of construction techniques (Excerpts 5, 6, and 7). Third, students confirmed if the obtained construction satisfied the requirements of problems, and logically explained and justified construction process (Excerpts 8, 9, and 10). Fourth, students discovered the properties of figures by reflectively considering construction activities and inquired the situations changed by different conditions (Excerpts 11, 12, and 13). Fifth, student experienced the application in mathematics by applying created concepts to new problems and drew the relationship among mathematical concepts (Excerpts 14 and 15). Sixth, in terms of interests in and attitudes toward classes, students showed interests in solving problems on construction and considered the opportunity to emphasize students' thinking activities and to think of various methods as useful. Also, students began to actively participate in class and to form lively communication and they solved learning exercises with confidence. From the findings of this research, the following conclusions and suggestions were drawn. First, it was possible to make students perceive the necessity of construction as useful tools in the context of practical life so as to have a meaningful learning of and be interested in solving construction problems. Second, through class culture where lively discussions can happen in the process to solve construction problem, students are provided with an opportunity to inquire, infer, and discover for themselves. Third, with an emphasis on the attitude to logically explain and justify the validity of construction process and the reflective thinking activity, students were able to acquire mathematical thinking attitude. Fourth, while classes which stressed four steps to solve construction problems had the effects on all students on the high, middle, and low levels, the students on the low level lacked mathematical knowledge so they had difficulties in meaningful analysis and reflective activities; but, it is possible to expand mathematical concepts with a teacher's appropriate comments and instruction.