고등학교 수열의 극한에서 나타나는 오류와 오개념 분석

Abstract

오늘날 수학뿐만 아니라 사회 ·과학 분야에 널리 응용되는 미적분학은 극한의 개념을 기초로 하고 있다. 극한의 개념은 수학사에서도 살펴볼 수 있듯이 쉽게 이해하기 어려우며 여러 가지 장애가 생기기 쉬운 수학 단원 중의 하나이다. 본 연구는 수열의 극한 단원을 학습함에 있어서 학생들이 가질 수 있는 오류나 오개념을 분석하여 교사들에게 학생들의 올바른 개념 학습을 위한 가치있는 정보를 제공해 줄 수 있을 것이다. 본 연구는 고등학교 2학년 인문계열 학생들에 대하여 다음과 같은 문제들을 살펴보았다. 첫째 수열의 극한에 관한 문제 풀이 과정에서 발생하는 오류 유형을 분석하고, 둘째 학업성취도에 따른 상수준과 중수준 학생들이 수열의 극한에 관한 문제 풀이 과정에서 나타나는 오류 유형에는 차이가 있는지 살펴보았다. 셋째 수열의 극한 개념 정의에 대하여 학생들이 갖고 있는 오개념을 살펴보고, 넷째 학업성취도의 수준에 따른 상수준과 중수준의 학생들은 수열의 극한 개념 정의에 차이가 있는지 살펴보았다. 이를 위하여 본 연구자가 근무하는 서울시 소재의 여자고등학교 2학년 인문계열의 학생 213명을 대상으로 수열의 극한에 관한 오류와 오개념을 파악할 수 있는 조사 문제지 검사를 실시하였으며, 이 중에서 조사 문제지의 진술만으로는 오류나 오개념을 명확하게 확인하기 어려운 10명의 학생과 개별면담을 실시하였다. 조사 문제지 검사 결과에서 나타난 전체 학생들의 오류 유형은 기술적인 오류(30.5%)가 가장 많았으며, 풀이과정의 생략(19.7%), 정의나 정리의 부적절한 사용(17.7%), 논리적으로 부적절한 추론(15.9%), 잘못 해석된 언어(9.6%), 잘못 이용된 자료(4.4%), 오류의 애매 모호성(2.2%)의 순으로 나타났다. 상수준과 중수준의 차이 비교에서는 두 집단 모두 기술적인 오류가 많이 나타났으며, 상수준은 정의나 정리의 부적절한 사용, 풀이과정의 생략, 논리적으로 부적절한 추론의 순으로, 중수준은 풀이과정의 생략, 논리적으로 부적절한 추론, 정의나 정리의 부적절한 사용의 순으로 오류 유형이 많이 나타났다. 그러나 두 집단의 오류 유형 동질성 검사 결과 유의미한 차이는 나타나지 않았다. 조사 문제지 검사와 개별면담의 결과 수열의 극한에 관한 개념 정의에서 학생들이 갖고 있는 오개념은 다음과 같았다. 첫째, 수열의 항을 나열하여 수열의 극한을 구할 수 있다. 둘째, 수열의 극한은 0이나 1과 같이 정수의 값만을 갖는다. 셋째, 수열의 극한 개념 정의에서 사용되는 ‘가까워진다’는 용어를 수학적인 의미가 아닌 일상적인 용어의 의미와 혼동하여 사용한다. 넷째, 교대수열은 항의 크기에 상관없이 발산한다. 다섯째, 수열의 극한에는 수렴하는 경우와 발산하는 경우가 있다. 즉 무한대를 수열의 극한값이라 생각한다. 그 밖에도 수열을 실수에서 실수로의 함수로 이해한다든지, 선행 지식의 부족으로 인하여 분수의 계산이나 무리식의 계산에서 오개념을 갖고 있는 경우 등이 있다. 조사 문제지에 나타난 수열의 극한 개념 정의에 관한 상수준과 중수준의 차이를 비교한 결과 몇 가지 항목에서 유의미한 차이가 나타났다. 상수준의 학생들은 중수준의 학생들에 비하여 직관적인 정의만으로 수열의 극한을 도입하여 학습했음에도 불구하고 엄밀한 의미의 수열의 극한 정의를 이해하고 있는 것으로 나타났다. 본 연구의 결론은 다음과 같다. 첫째 교사는 수열의 극한에 관한 개념 정의에 충분한 시간을 할애하여 학생들의 이해를 돕고 나서, 극한값의 계산으로 이행될 수 있도록 수업을 구성해야 한다. 둘째 학생들은 수열의 극한에서 사용되는 수학 용어를 일상적인 의미와 혼동하여 오개념을 갖는 것으로 나타났다. 이를 극복하기 위하여 교사는 극한의 용어를 도입할 때 일상적으로 사용되는 의미와 수학적으로 사용되는 의미의 유사점과 차이점을 학생들이 인식할 수 있도록 지도해야 한다. 셋째 수열의 극한 개념 정의에서 사용되는 전형적인 예들에 의하여 학생들이 오개념을 갖고 있었으므로, 이를 극복하기 위하여 교사는 학생들이 스스로 수열의 극한에 관한 개념 정의를 할 수 있도록 비전형적이고 다양한 충분한 예들을 제시해 주어야 한다. 넷째 직관적인 정의만으로 학습한 결과 학생들이 오개념을 갖게 되었으나, 직관적인 정의조차 제대로 이해되지 않은 모든 학생들에게 엄밀한 정의를 도입하는 것은 잘못이다. 본 연구결과 상수준과 중수준의 개념 이해 정도에 차이가 있었으므로, 직관적인 정의의 문제점을 인식한 상수준의 학생들을 대상으로 엄밀한 정의를 심화학습의 내용으로 제시하는 것이 바람직하다. 본 연구에서는 수열의 극한 문제 풀이 과정에서 나타나는 오류의 유형이나 수열의 극한에 관한 개념 정의에서 학생들이 갖고 있는 오개념들을 토대로, 이를 보완하는 지도방법과 교수자료가 개발되어야 할 것이다. 또한 오류나 오개념이 피할 수 없는 부분이라면 일선 학교에서 활용할 수 있도록 오류와 오개념을 진단하고 교정할 수 있는 교재를 개발하는 연구가 실시되어야 한다.;Nowadays, calculus applied to not only the field of mathematics but also that of various natural or social sciences is on the basis of the conception of limit. The conception of limit, however, is too difficult for high school students to understood it, so has brought about errors and misconceptions. As errors and misconceptions about concept of limit can be analysed, this research can offer teachers some meaningful informations on their establishing right concept of limit to students. This research covers some purposes for second-grade high school students as follows; Firstly, It is to analyse types of errors owing to solving problems about limit of a sequence, secondly, to analyse the distinction on types of errors about limit of a sequence between Upper level student group and Middle one, dividing students groups to three according to school records of students, thirdly, to examine the misconceptions about the definition of limit of a sequence and lastly, to analyse differences on definition of limit between Upper level student group and Middle one. In this study, data for understanding errors and misconceptions about limit of a sequence consist of the following: (1) questionaries of 213 second grade students in liberal high school in Seoul, (2) individual interview 10 students of them. The results of this research can show the various types of errors such as technical errors(30.5%), omission of solving process(19.7%), misunderstood theorem or definition(17.7%), logically invalid inference(15.9%), misinterpreted langage(9.6%), misused data(4.4%) and ambiguity of error(2.2%) in descending order. Though each group has high rates of technical errors in common, the result of comparative study between Upper and Middle group shows a subtle difference. Upper group shows misunderstood theorem or definition, omission of solving process, logically invalid inference in descending order. Middle group shows omission of solving process, logically invalid inference, misunderstood theorem of definition in descending order. However, Chi-Square test for types of errors between each group cannot reveal any meaningful differences. Owing to the results of questionaries and individual interviews, many students have various types of misconceptions about the definition of limit of a sequence as follows; (1) The limit of a sequence can be estimated by their enumerating each term of sequence. (2) The limit values of a sequence is only composed of integers such as 0 or 1 (3) The definition of the term "Approaching" not to mathematical conceptions but to ordinary conceptions. (4) Alternation always oscillates bearing no relation to variety of each term of this sequence. (5) The limit of a sequence is always composed of "convergence" and "divergence", that is, infinity is limit value of any sequence. Also, there are many extra misconceptions such as confounding sequence and function, miscalculating fractions and irrational equations, and so forth. The results of comparative study on definition of limit between Upper and Middle group shows some differences. Although all group have learned intuitive definition of limit, Upper group could understand strict definition of limit rather than Middle group could not understand it. The final results on this research is as follows ; (1) Teachers have to form a systematic teaching plan to support the understanding of definition on limit of sequence for a sufficient time, thereafter they have to induce their students to solve the value of limit. (2) Students always have a certain misconception as confusing limit of sequence as mathematical term with general term. To overcome this problem, teachers must help their students to recognize similarity and radical distinction between the meaning as a mathematical term and the meaning as a general term. (3) Students' misconception has been caused by typical examples for definition on limit of a sequence. As teachers would offer atypical and various examples to get over this problem, they help their students to define the concept of limit by themselves. (4) Although teaching intuitive definition of limit cause some misconceptions to students, most students cannot fully understand it. Therefore, it is not proper that all students must learn a mathematically strict definition of limit. As shown the results of this research, there revealed some differences between Upper and Middle group for understanding concept of limit in a certain degree. That is, it is desirable that teachers offer a mathematically strict definition of limit to Upper group students possible to recognize the critical point of intuitive definition. Also, based on types of errors and misconceptions, reasonable teaching process and instruction material must be developed. Furthermore, if not avoiding the errors and misconceptions, the manuals able to diagnose and correct them must be developed.