삼각함수 단원의 교과서 내용 진술 고찰 및 그래프 활용 수업효과

Abstract

삼각함수는 공학이나 역학 등 실생활과 직결되는 중요한 단원이다. 고등학교에서 제시되는 삼각함수의 정의는 일반적인 함수 정의의 교과서적인 흐름과 다르며 흔히 함수가 두 변량 와 사이의 함수관계로 두 변량사이의 직접적 관계가 언급되는 것이 보편적인데 비해 삼각함수에서는 각의 변화에 따라 여러 가지(동경의 x, y좌표, 반지름r)가 변화하고 , sinθ=y/r, cosθ=x/r, tanθ=y/x를 정의함으로 함수 정의의 파라다임이 기존 방식과 약간 다르고 한꺼번에 여러 함수를 다룬다. 또한 교과서에 제시된 삼각함수 단원은 다른 단원보다는 외우는 단원이 많이 나오고 삼각함수가 쓰인 현실적인 상황을 쉽게 찾기도 힘들다. 따라서 삼각함수가 외우는 단원이 아니라는 것을 느끼게 해주기 위해서는 교사는 우리 주변에서 최대한 많은 예를 찾아 제시해주는 것도 필요하지만, 교과서에 제시된 기존 삼각함수의 내용의 올바른 분석을 통해 학습자가 이해할 수 있도록 번역해주는 것도 중요한 과제이다. 따라서 본 연구에서 제기된 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 7차 교육과정의 10-나 수학 교과서의 삼각함수 단원의 소단원별 내용 진술 순서와 방식의 차이점은 무엇인가? 둘째, 삼각함수의 성질을 삼각함수의 정의를 이용해 학습한 학급과 그래프를 이용해 학습한 학급간의 기억의 지속성에 차이가 있는가? 셋째, 삼각함수의 성질을 삼각함수의 정의를 이용해 학습한 학급과 그래프를 이용해 학습한 학급간의 학습자의 이해도에 차이가 있는가? 첫 번째 연구문제는 고등학교 1학년 학생들이 배우는 13종의 7차 수학교과서의 삼각함수 단원을 소단원별로 내용진술 순서와 방식의 차이점을 분석하였다. 두 번째와 세 번째 연구문제는 교과서 분석 결과 진술 순서에 가장 많은 차이를 보이는 삼각함수의 그래프와 성질단원에 대해 삼각함수의 공식을 삼각함수의 그래프에 담아내어 직관적으로 학생들이 이해 할 수 있는 실제 학교 현장에 적용 가능한 수업 절차를 고안하였다. 서울 소재 M고등학교 1학년 4개 반을 대상으로 기존의 방식대로 삼각함수의 정의를 통해 삼각함수의 성질을 학습한 통제반(2개반)과 삼각함수의 그래프를 활용하여 그래프에서 삼각함수의 성질을 이해하는 실험반(2개반)의 수업을 실시하였다. 마지막으로 학습자 기억의 지속성 및 이해도의 효과를 독립 표본 t검정으로 확인하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫 번째 연구 문제는 진술 방식과 진술 순서에 따라 두 가지로 나눌 수 있다. 먼저, 삼각함수 단원의 소단원별 내용 진술 방식의 차이점은 7차 교육과정의 특징을 반영한 단원이라 생각되는 삼각함수의 도입부분, 삼각함수의 그래프의 두 부분으로 살펴보면 다음과 같다. 삼각함수의 도입부분은 주기운동과의 연관성을 이용하여 도입하는 방법이 6종, 실생활의 필요성을 예시하며 도입하는 방법이 4종, 수학사를 이용하는 방법이 2종, 각의 방향을 예제로 도입하는 방법이 4종으로 나타났다. 이는 7차 교육과정의 특징인 자연현상의 이해와 예측, 실생활의 소재를 통해 기본적인 개념, 원리, 법칙 등 을 이해할 수 있도록 구성한 것이라 할 수 있다. 삼각함수의 그래프 단원에서는 삼각함수의 그래프를 지도함에 있어서 중학교 과정인 수학 9-나에서 예각의 삼각비에 대한 그래프를 지도하지 않음을 감안할 때, 현행 교과서의 지도 방식은 상당히 성급함을 알 수 있다. 즉, 삼각함수의 그래프를 학생들은 이곳 수학 10-나에서 처음 배우게 된다는 점을 염두에 두고 지도를 해야 한다. 4종의 교과서를 제외한 9종의 교과서는 단위원에서 삼각함수의 그래프를 바로 제시하는 방식을 취하였다. 당연히 그래프를 처음 배운다면 순서쌍을 구하도록 한 다음 이들을 좌표평면에 한 점씩 적당한 간격으로 찍어가며 그래프의 개형을 추측하는 가운데 진정 그래프의 개형이 완성될 수 있으며, 이를 학생들이 처리하고 해석하는 활동이 중심이 되는 것이 바람직하다. 둘째, 삼각함수 단원의 소단원별 내용 진술 순서의 차이점은 삼각함수 성질과 그래프의 진술 순서인데 교육과정에서 제시된 그래프 지도 이후에 성질을 지도하는 교과서는 적게 나타난 것에 비해 대부분을 교과서는 삼각함수의 정의 이후에 성질을 지도하고 공식으로 암기 하도록 되어있다. 학생들의 개념에 대한 이해를 우선으로 고려한다며 삼각함수의 정의로 통해 그래프를 그린 후 그래프를 통해 성질을 학습 하는 것도 학습자의 심리성과 준비성을 반영하는 지도 순서가 될 수 있을 것이다. 두 번째 연구문제에서는 삼각함수의 그래프를 활용하여 삼각함수의 성질을 학습 한 학급이 삼각함수의 정의를 이용해 삼각함수의 성질 지도한 학급보다 학습자 기억의 지속성 이 더 오래 유지됨을 알 수 있었다. 실험 집단의 평균이 통제집단의 평균보다 약 2.3점 높으며 이 차이는 t값이 -2.46, p값이 .015로 유의수준 .05에서 유의미한 결과가 나타났다. 세 번째 연구문제에서는 삼각함수의 그래프를 활용하여 삼각함수의 성질을 학습 한 학급이 삼각함수의 정의를 이용해 삼각함수의 성질 지도한 학급보다 학습자 이해도가 더 높음을 알 수 있었다. 실험 집단의 평균이 통제집단의 평균보다 약 11.5점 높으며 이 차이는 t값이 -1.99 p값이 .048로 유의수준 .05에서 유의미한 결과가 나타났다. 즉, 삼각함수의 그래프라는 시각교재조직자를 통해 평행이동과 대칭이동을 이용하여 삼각함수의 성질을 지도하는 것이 단위원이라는 시각교재조직자를 이용하는 것보다 기억의 지속성 및 이해도에 더 효과적이라 하겠다. 본 연구를 바탕으로 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫째, 삼각함수는 자연현상의 파동이나 주기운동, 실생활과 밀접한 단원임에도 불구하고 아직까지 7차 수학 교과서에 나타난 실생활의 활용 소재는 미비하다. 교과서에 다양한 소재를 통해 학생들에게 삼각함수의 현실적인 상황과 가까운 내용을 많이 제시해주어야 한다. 둘째, 수학 내용의 논리적 배열이 교육과정의 단원 배열순서나 교과서 단원배열 순서와 다를 때, 학습자의 개념의 이해에 비약(gap)이 된다면 학습자의 개념 이해를 우선하는 형태로 과감히 개발 연구되어할 것을 제언한다. 셋째, 본 연구에서는 삼각함수의 기본 성질을 삼각함수의 그래프를 통해 학습했을 때, 학습자 이해와 기억의 지속성 검사를 10차시의 수업 후 2주 후에 조사하였다. 이 실험에서는 기억의 지속성을 1번 시험으로 측정하였는데 일정한 간격을 두고 실험을 반복한다면 다른 결과도 가능하리라 생각된다. 넷째, 실험집단은 학교에서 과제형반으로 대부분의 교과 성적이 우수한 집단이었다. 따라서 하위, 중위 집단에서의 이해와 기억의 지속성의 실험도 고려해 볼 필요가 있다고 하겠다.;Trigonometric function is a very important chapter because it is directly related to our real life. The time when 3rd-year students learn trigonometric ratio, however, is not appropriate, and, therefore, many of them go to high schools without its basic concept. Even though the relation between two variables x and y is mentioned generally, the definition paradigm of a trigonometric function is slightly different from it. In a chapter of the trigonometry function of the highschool mathematics, there are many sub-chapters to be memorized, and it is not easy to find its real applications. Therefore, it is fairly important for teachers to interpret and deliver it correctly to students. Raised problems in this thesis is the followings. First, what is the difference between content explanation sequences and methods of a 10-나 mathematics textbook in 7th education curriculum and their problems? Second, is there any difference between the learning achievements of a class taught by means of definition of a trigonometric function and a class taught with graphs in terms of learner's memory endurance? Third, is there any difference between the learning achievements of a class taught by means of definition of a trigonometric function and a class taught with graphs in terms of learner's comprehension? Research problem 1 is the analysis of the content explanation sequences and methods of 10-나 step in 13 textbooks reorganized by 7th education curriculum. The reflection of features of 7th education curriculum and differences and problems of textbook content methods are analyzed. Also, comparing teaching sequences proposed and organization according to the curriculum of textbooks, the efficient order for the comprehension of students is considered. Research problem 2 and 3 is the test of a teaching method using graphs and the analysis. It is tested onto 4 1st-year classes (70 students for test classes and 74 students for controlled classes) of M highschool in Seoul, Korea where the writer is working. Using SPSS Windows version 10.0, the learning achievement score is analyzed by t-test. The conclusion of this thesis is the followings. First, research problems can be classified into two types according to explanation method and sequence. Four parts of a trigonometric function chapter in textbooks (introduction, characteristics of trigonometric function, their graphs, and trigonometric equation and inequality) are compared in terms of the difference of content explanation method of their sub-chapters. All of the introduction may well reflect the characteristic of the 7th education curriculum. In the characteristic chapter, most of textbooks introduce the unit circle for understanding and formulae to be memorized. The direct introduction of a unit circle in the chapter of trigonometric graphs of 9 textbooks is inappropriate 9 textbooks explained the unit circle and graph together in the trigonometric equation and inequality solution. Due to reduction of curriculum, general solution is not handled. Second, most of the textbooks explained the definition of trigonometric functions and provided formulae to be memorized instead of teaching graphs and characteristics, as the education curriculum proposes. For explanation sequence and method of sine, cosine and the area of triangle, all textbooks except type 1 textbooks has the same sequence (sine's law ⇒ cosine's law ⇒ the area of triangle). The explanation method of sine's law using the angle at the circumference is different from the explanation method using sine's law using the area of a triangle. In the research problem 2 and 3, the class which has been taught about the characteristics of trigonometric functions by using their graphs shows better learning achievement than that of the class which has been taught by using their definition in terms of learner's comprehension and memory endurance. Therefore, a visual text organizer, the graphs of trigonometric functions, is more efficient for comprehension and memory endurance than the other visual text organizer, the unit circle. Based on the above conclusion, the followings are proposed. First, the various examples of trigonometric functions close to the real life should be provided to students. Second, if logical arrangement of the education contents is different from the order of chapters in a textbook, and learner's comprehension of concept has gap, it is proposed that it should be developed and studied for the configuration of which priority is the learner's comprehension of the concept. Third, if the test measuring the comprehension and memory endurance for learning achievement of mathematics study has been done repeatedly several times rather than once, this may reveal the different result. Forth, the test group, the assignment type class in the school, is high score group generally. The achievement of middle and low score groups should be considered. This thesis has the following limitation. First, if the more textbooks are analyzed on the sequence and method of content explanation of trigonometric functions, the analysis result would be different. Second, even though it is difficult to expect any big change of learner's memory endurance by a short-time treatment, the test conducted for relatively short time (three weeks). Third, the examination to ask the basic nature of trigonometric functions is designed by four teachers including the writer, and, therefore, the subjectivity of the writer may be involved.