지수함수와 로그함수에 관한 오류 유형분석 및 교정지도

Abstract

Out of various scopes of mathematics, a function is the field required to define changing conditions of the nature and society by investigating and structurizing mathematical order or rule in them. An exponential function and a logarithmic function are kinds of function, and they are important not only by the concept themselves, but also their wide usage on general mathematical fields. Especially, many of social and natural conditions show an exponential increase and decrease, and the exponential function deals with this status. Therefore, the functions is a very important idea that can be applied to many studies such as natural science, economics, and sociology. However, a lot of students in classroom have difficulty in understanding the exponential function and logarithmic function. They learn the function in the first term of grade 11, and the students say that it is very hard although they have taken general lessons on the function in grade 10. They do not think that the exponential function and logarithmic function are on the same field, but accept them as separated areas of mathematics. This is why most students tend to memorize the concepts of function, instead of understanding the definition and characteristics of them. Because most students are accustomed to multiple-choice questions, they are lacking in the high level of creativity, flexibility, and thinking faculty. When they confront complicated and difficult questions, they tend to avoid the situation instead of trying to figure out the answer. Accordingly, quite a few numbers of errors are expected to occur when students answer those function questions. Therefore, this thesis established following research topics that investigate effective teaching methods so that students would not make errors when they study the function lesson. It would also analyze the patterns of errors that many students often make and this might lead students to acknowledge the importance of function on mathematics. 1. What kind of errors do students make when they study the exponential and logarithmic function? 2. What are the teaching methods to correct the errors that happen in the process of learning function? To classify the patterns of errors, a high school level-questionnaire dealt in present textbook was made, and the result was analyzed after testing grade 11 students. First, following statements were established to identify the classification patterns to scrutinize what kinds of errors students make by referring several preceding studies. Error pattern 1. Misunderstood theorem or definition Error pattern 2. Technical errors Error pattern 3. Unmatched solution Error pattern 4. Misinterpreted language Error pattern 5. Misused data Error pattern 6. Logically invalid inference Error pattern 7. Stopping of solving process The result showed that the most common error was Misunderstood theorem or definition, and the second reason came from Technical errors. The next ones were stopping of solving process, misused data, misinterpreted language, unmatched solution, and logically invalid inference. Based on the result above, students' correcting process was investigated through individual consultation with the five students, and it helped to solve the research question No. 2. According to the result of this survey, many students think that a function is very difficult and they don't understand what they have learned exactly. Also they are lacking the application power. According to results achieved by analysing the process of students' solving problems and individual consultation with the five students, many students are lacking in understanding of definition or theorem of exponential function and a logarithmic function and they don't utilize the condition of bass. This results in the stopping of solving process and descriptive errors from miscalculation. To find the solution of this problem, it is necessary to provide students with enough learning activities for better understanding. Not only that, instructers need to help a student to have habit checking if his or her answer is what the questions want when new ideas or definition come out. When instructors study textbooks, they need to take a close look at the section that students often make mistakes in. This way, students can minimize their errors by studying opponent examples, and they may be able to understand concepts and definitions correctly. Based on the investigation done above, following proposals can be made. First, this study tried changes in teaching and learning environment and used the consulting method to correct mathematical errors. Some of them were amended in this process, but deeper examinations on the understanding of new concepts and facts are required. In fact, diverse questions should be provided so that students can fully understand mathematical ideas. Learning activities to facilitate students' understanding in definitions and propositions are also important. Next, it is hard to generalize the result of this survey thoroughly because this study was performed on limited numbers of students and questions. Therefore, more research is needed to be done on a wide range of questions and students.;고등학교 2학년 수학Ⅰ에서 학습하게 되는 지수함수와 로그함수는 함수의 한 종류로, 그 개념 자체로서 중요할 뿐만 아니라, 수학 전반에 걸쳐서 광범위하게 응용되고 있다. 특히, 자연현상이나 사회현상의 아주 많은 부분이 지수적 증가 및 감소를 나타내고 있고, 이것을 다룰 수 있는 수단이 지수함수와 로그함수이므로, 자연과학이나 경제학, 사회학 등 수학의 여러 응용 분야에서 널리 필요로 하는 개념이다. 본 연구의 목적은 학생들이 지수함수와 로그함수를 접할 때 나타내는 오류의 유형을 분석하고 그 교정방안을 모색함으로써 지수함수와 로그함수 단원을 지도하는 교사의 수업계획안에 참고가 되고자 하는데 있다. 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 두 가지 문제를 설정하였다. 1. 지수함수와 로그함수 단원의 학습 과정에서 학생들은 어떠한 오류를 나타내는가? 2. 지수함수와 로그함수 단원의 학습 과정에서 발생하는 오류를 교정하기 위한 지도 방안은 무엇인가? 본 연구를 수행하기 위하여 연구자가 근무하고 있는 서울시 금천구에 소재하고 있는 고등학교를 선정하였으며, 오류유형검사를 위해 수업을 실시하고 있는 2학년 이공계열 84명을 연구 대상으로 선정하였다. 오류 검사지는 현행 고등학교 교과서에서 공통으로 다루어지는 교과서 수준의 문제로 구성되었으며, 학생들이 제시한 풀이과정을 통해서 지수함수와 로그함수에 관한 오류 유형을 분석하였다. 각 문항에 포함된 오류들은 선행연구에서 살펴보았던 김옥경과 Hadar와 Zaslavsky의 오류유형을 참고로 하여 다음과 같이 7가지로 분류하였다. 오류유형1. 정의나 정리의 부적절한 사용 오류유형2. 기술적 오류 오류유형3. 요구되지 않은 해답 제시 오류유형4. 언어의 잘못된 해석 오류유형5. 잘못 이용된 자료 오류유형6. 논리적으로 부적절한 추론 오류유형7. 풀이과정의 중단 검사지에 나타난 학생들의 풀이를 분석한 결과 오류는 위의 7가지 오류유형안에서도 다양하게 나타났다. 그 중 학생들이 평가 문항의 풀이과정에서 가장 빈번하게 나타내고 있는 오류들을 추출하였고 5명의 학생을 선정하여 교정을 실시하였다. 이와 같은 분석 결과로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 학생들은 지수함수와 로그함수가 밑의 조건에 따라 증가하거나 감소하는 성질을 이해하지 못하고 있었다. 이 경우 밑의 조건을 달리한 다양한 지수함수와 로그함수의 그래프를 그리게 하고 그래프들의 공통점을 찾게 하였다. 둘째, 지수의 곱의 법칙인 를 로 잘못 인식하고 있었고, 로그의 성질에 대해서도 상당수의 학생들이 혼동하고 있었다. 즉, 인 성질과 , 를 혼동하고 있었고 를 라고 생각하기도 하였다. 이와 유사하게 로그의 진수가 다항식으로 주어질 경우 하나의 진수로 보지 않고 각 항을 로그로 분배하는 사례도 의외로 많았다. 이를 해결하기 위하여 로그의 성질을 증명을 통해 이해하도록 하고 다양하고 구체적인 예를 제시하여야 한다. 셋째, 로그 방정식이나 부등식 문제를 해결할 때, 밑을 같게 하지 않고 진수만의 방정식이나 부등식으로 전환하여 풀이를 시도하는 것을 볼 때, 로그방정식이나 부등식 문제를 해결하는 방법을 알고 있지 못한 것으로 판단되어진다. 따라서, 로그방정식이나 부등식을 해결할 때에는 반드시 밑을 같게 만든 후 진수의 방정식이나 부등식으로 변형하여 해결할 수 있음을 강조하여야 한다. 넷째, 진수조건을 간과하거나 진수조건을 틀리게 인용하는 경우가 많았다. 진수조건을 틀리게 인용하는 경우는 진수가 양의 실수라는 것은 알고 있지만 방정식이나 부등식의 형태로 제시되었을 때, 각 항에 진수조건을 적용시키지 않고 여러 개의 항을 하나로 정리한 후 진수조건을 적용시키는 것을 볼 수 있었다. 이와 같은 오류를 최소화하기 위해 지수함수의 치역이 실수의 집합임을 이용하여 로그함수의 정의역이 양의 실수임을 강조하여야 한다. 또한, 항이 여러 개 일 경우 각 항에 대해 진수조건을 적용하고 그것들의 공통부분이 정의역임을 알도록 충분한 예를 제시해 주어야 한다. 다섯째, 지수 방정식과 부등식에서 임을 간과하여 인 경우에도 억지스럽게 해를 구하였는데 이는 음의 지수인 경우에 값이 음수가 나온다고 생각하기 때문이다. 즉, 임의의 양수 에 대하여, 로 잘못 인식하고 있었다. 여섯째, 학생들은 지수함수의 그래프는 비교적 잘 그리고 해석하는 반면, 로그함수의 그래프는 그렇지 못함을 확인할 수 있었다. 이를 해결하기 위하여 지수함수의 그래프를 그리게 하고 그래프로부터 성질을 유추하게 한 후, 지수함수의 역함수로 로그함수를 지도하였다. 일곱째, 지수함수의 최대값과 최소값을 구하는 문제에서 정의역의 양끝 값을 대입하는 경우가 많았는데, 지수함수 가 이면 증가함수라는 것이 항이 여러 개인 지수함수에도 똑같이 성립한다고 판단하기 때문으로 보여 진다. 여덟째, 많은 학생들은 함수와 방정식 사이의 관계를 이해하지 못하고 있었다. 학생들은 함수문제를 접하면 습관적으로 방정식 문제로 풀이하는 경향이 강했다. 따라서, 함수와 방정식 사이의 관계를 설명함에 있어서 세심한 배려가 필요할 것 같다. 이 외에도 학생들은 정의역이나 치역을 표현할 때 집합기호를 생략하거나 지수가 포함된 식을 로그를 이용해서 해결할 때 로그를 식의 한쪽에만 적용시키는 등 다양한 형태의 오류가 나타났다. 이러한 오류를 교정하기 5명의 학생과 개별적으로 면담을 실시하였고, 그 결과 오류가 어느 정도 교정되긴 하였으나 수행과제를 살펴본 결과 교정지도 후에도 기존의 인지구조에 강하게 각인된 오류는 계속해서 남아있었다. 이상의 연구결과를 바탕으로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 본 연구에서는 이미 형성된 수학적 오류들에 대한 교정을 위해 면담이라는 방법과 학생들이 개별적으로 과제를 해결하는 학습을 통해 교수학적 환경의 변화를 시도하였다. 이 과정에서 기존의 오류들이 어느 정도 교정되기도 하였으나, 다양한 교수학적 환경에서 학생들의 개념이나 사실의 이해에 대한 고찰이 더 이루어져야 한다. 특히, 새로운 개념이나 용어를 지도할 때에는 그 의미를 충분히 이해할 수 있도록 다양한 문제 상황을 제시함으로써 개념이나 용어의 이해, 정의나 정리의 이해를 돕는 학습활동을 구성하여야 한다. 둘째, 교사들은 교재 연구를 하거나 수업을 준비할 때, 학생들이 오류를 범하기 쉬운 내용들을 충분히 연구하여 학생들에게 미리 반례를 들어 보임으로써 학생들의 오류를 최소화해야 한다. 셋째, 교수-학습 과정에서 교과서에서 제시한 문제와 동형의 문제들을 다양하게 제시하고 풀 수 있는 기회를 제공함으로써 연습과 반복 학습의 기회를 제공해 주어야 한다. 넷째, 교사들은 학생들이 자신의 풀이과정이 올바른지, 자신의 답이 문제에서 요구하는 것과 일치하는지 검토하는 습관을 길러주고, 적절한 형성평가를 통해 오류가 고착되지 않도록 수시로 점검해 주어야 한다. 다섯째, 연구자들은 연구 대상과 검사문항의 수를 특성에 따라 다양하게 분류하고 표집수도 확대하여 오류에 대한 연구 및 교정 방안을 모색해야 한다.