고등학생들의 수학 문제의 이해에 관한 연구

Abstract

현대 사회에서 문제 해결력의 향상은 중요한 교육 목표가 되고 있으며, 우리나라의 2015 개정 수학과 교육과정은 문제 해결을 6개 교과 역량의 하나로 들고 있다(교육부, 2015). 이때, 문제 해결 과정은 크게 문제의 이해와 실행의 단계로 구분할 수 있는데, Polya(1973)는 “문제를 해결하기 위해서 우리가 해야 할 바로 그 첫 번째 일은 문제를 이해하는 것이다.”(p.222)고 하여 문제 해결 과정에서 문제의 이해를 강조하였다. 따라서 문제 해결에서 이해를 다루는 연구는 중요하다. 그러나 문제의 이해는 문제의 이해는 수학 문제의 보편적인 특성을 바탕으로 논의될 때 보다 수학적 의미를 갖게 될 것으로 보았다. 따라서 본 연구는 수학 문제의 구조적 특성을 파악하기 위한 분석틀을 마련하고, 고등학생들의 문제 이해의 행동특성을 분석하며, 연구 결과를 바탕으로 수학 문제 이해의 지도 모델을 마련하여 이를 통한 문제의 이해는 어떠한지 살펴보고자 한다. 이에 본 연구자는 이와 같은 필요성과 목적에 따라 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제 1. 고등학교 수학 교과서의 수학 문제는 어떠한 특성을 갖는가? 연구 문제 2. 고등학생들은 수학 문제를 어떻게 읽고 이해하는가? 연구 문제 3. 수학 문제 이해 모델(TBP)은 문제의 해결 과정에 어떠한 영향을 미치는가? 연구 방법은 다음과 같다. 우선, 연구 문제 1인 고등학교 수학 교과서의 수학 문제의 구조 특성을 알아보기 위하여 구조주의 기호학을 바탕으로 설계한 분석틀에 따라 분석하였다. 연구 문제 2를 위해서는 이론적 고찰을 통해 마련한 수학 문제 이해의 행동특성에 대한 개념적 틀에 따라 다섯 가지 범주로 분석하였다. 그리고 연구 문제 3인 수학 문제 이해 모델(TBP)에 따라 설계된 활동지가 문제 해결에 어떠한 영향을 미치는지를 알아보기 위하여 검사지 B의 활동 결과를 분석하였다. 검사지 B와 관찰 및 면담 영상을 근거로 코딩 분석법을 적용하여 연구 문제 2를 위한 실험 결과와 비교･분석 하였다. 각 연구 문제에 대한 결과는 다음과 같다. 연구 문제 1인 고등학교 수학 교과서에 수록된 문제들의 구조적 특성은 첫째, 교과서마다 문제에 사용되는 표현 형식이 편중되는 경향이 있다. 또한 시각 자료가 포함된 문항이 매우 적었으며, 설사 시각 자료가 제시되더라도 대부분은 문제의 이해를 높여주고 체감 난이도를 낮춰주기 위한 보조 장치로 사용되는 데 그치고 있었다. 둘째, 암시-복합형 제약자의 문항은 매우 드물고 대부분은 명시형 제약자로 구성되어 있음을 알 수 있다. 분석 대상 세 교과서의 모든 단원은 난해도가 낮은 문항 위주로 구성되어 있음을 알 수 있다. 연구 문제 2의 주요 결과는 첫째, 명시형 문항을 성공적으로 해결한 연구참여자들은 다섯 가지의 행동특성 즉, 구성 요소의 파악, 내적연결, 제약자의 이해, 이해의 구조화, 계획하기가 모두 나타났다. 둘째, 암시형 문항을 성공적으로 해결한 연구참여자는 자료 및 구할 것을 인식하고 필요한 지식을 상기하며 문제의 제약자를 감지하고 그 의미를 해석하였으며 자료와 제약자, 그리고 구할 것 사이의 관계를 구조화하고 문제 해결의 경로를 예상하고 시작점을 정하여 문제를 이해해 나갔다. 암시형 문항을 해결한 연구참여자와 해결하지 못한 연구참여자 간에 나타난 행동특성의 차이는 제약자 감지 및 해석하기에 있다. 제약자를 감지하고 그 의미를 올바르게 해석한 연구참여자는 문제를 이해하였으나 그러지 못한 경우 즉, 제약자를 감지하였는데 의미를 해석하지 못한 경우나 제약자를 감지조차 못한 경우에는 문제의 답을 구하지 못하는 것으로 나타났다. 연구 문제 3의 주요 결과는 첫째, 암시형에 비하여 명시형의 문제를 이해할 때 제약자를 감지하고 그 의미를 올바로 파악하는 행동특성이 더 잘 나타났다. 둘째, 연구참여자들은 문제의 자료와 제약자, 구할 것 사이의 전체적인 관계를 파악하는 이해의 구조화를 가장 어려워하였으며 이는 명시형보다 암시형에서 더 두드러졌다. 셋째, 문제의 올바른 답을 구한 참여자에게서 나타난 행동특성은 제약자의 이해 및 올바른 경로 예상하기였다. 넷째, 상위권 학생 및 중위권 학생은 문제의 요소들을 빠짐없이 수집하고 문제 해결에 필요한 개념 및 공식을 떠올리는 데에는 어려움이 없으나 요소들 간의 관계 파악이나 문제 해결의 경로를 계획하는 데 어려움을 가지므로 요소 간의 관계에 대한 이해를 시각적으로 나타내거나 문제 해결의 출발점 및 경로에 대하여 생각해보도록 하는 활동이 도움이 된 것으로 분석되었다. 반면 하위권 학생은 문제 해결에 필요한 개념 및 공식을 상기하고 문제의 중요한 조건인 제약자를 파악하는 것을 어려워하는데 문제 해결에 필요한 지식들을 떠올려보도록 하고 문제의 중요한 조건을 찾도록 하는 활동이 도움이 되는 것으로 나타났다. 위의 분석 결과들을 종합하여 볼 때 본 연구의 주요 결론은 다음과 같다. 고등수학 교과서의 문제를 살펴보면 문제의 난해도가 낮은 편이고 해결 절차가 정형화된 문제들이 많아서 문제의 이해 학습을 위해서는 암시형 제약자를 포함하는 보다 고차원적인 문제들이 더 많이 다루어질 필요가 있다. 그리고 문제의 이해 및 해결력을 기르기 위해서는 관계적 이해를 바탕으로 제약 구조를 파악하는 학습이 중요함을 알 수 있으며, 선수지식의 활성화와 제약자의 이해를 중심으로 이해의 과정을 점진적으로 안내하는 문제 이해의 지도 방안을 마련하는 것이 필요하다고 하겠다. 이와 같은 연구 결과와 함께 본 연구자는 수학 문제 이해 모델(TBP)의 교수학적 적용 방안으로서 문제의 이해 과정을 여러 단계에 걸쳐 체계적으로 안내하는 이해형 문항의 개발, 문제 이해의 지도를 위한 교사의 담화 전략, 그리고 동료 간 협동학습을 위한 학습 지도에서의 활용을 제안하였다. ;In modern society, the improvement of problem-solving ability has become an important educational goal. The 2015 Revised Mathematics Curriculum in Korea includes problem solving as one of the six curriculum competencies (Ministry of Education, 2015). The problem-solving process can be largely divided into stages of understanding the problem and executing it. Polya(1973) emphasized the understanding of the problem in the process of problem solving because if you misunderstand the problem, you will give the wrong answer(p.222). Accordingly, studies dealing with the understanding in problem solving is important. However, the understanding of the problem will have mathematical meaning only when it is discussed based on the universal characteristics of the mathematical problem. Therefore, this study prepares an analytical framework to understand the structural characteristics of mathematical problems, analyzes the behavioral characteristics of high school students' understanding of problems, and prepares a guidance model for understanding mathematical problems. For it the subjects for inquiry would be as followings; Firstly, (Research Question 1) the mathematical problem’s characteristics of high school students’ mathematical textbook to be investigated; (Research Question 2) high school students’ way to read and understand a mathematical problem to be found; (Research Question 3) the effect that the Mathematical Problem Understanding Model (TBP) acts on the process of problem solving to be studied through a case study. The studying method was as follows; Firstly, for the Research Question 1, an analysis framework was prepared based on semiotics of structuralism, and the relative frequency of the form, constraints, form-constraints, and difficulty level of understanding of the problem. was analyzed. Secondly, for the Research Question 2, five categories were analyzed: identification of components, internal connection, understanding of constraints, structuring of understanding, and planning according to the conceptual framework for the behavioral characteristics of understanding mathematical problems. Thirdly, for the Research Question 3, the activity results of test sheet B were analyzed to find out how the activity sheet designed according to the Mathematical Problem Understanding Model (TBP) had an effect on problem solving. The result for this subject of inquiry is as followings: 1. The structural characteristics of the problems included in high school mathematics textbooks, which are Research Question 1, are: First, the expression format used for the problem in each textbook tends to be biased. In addition, there were very few questions that included visual data, and even if visual data were presented, most of them were only used as an auxiliary device to increase the understanding of the problem and lower the difficulty level of understanding. Second, it can be seen that the items of implicit-complex type constraints are very rare and most of them consist of explicit type constraints. Also, it was found that the variance in difficulty level of understanding(DU) was very large in all units of the three textbooks to be analyzed. 2. The main results of Research Question 2 are as follows: First, the participants who successfully solved the explicit questions exhibited all five behavioral characteristics, that is, identification of components, internal connection, understanding of constraints, structuring of understanding, and planning. Second, The difference in behavioral characteristics between the research participants who solved the test problems and those who did not, lies in the detection and interpretation of constraints. Research participants who sensed the constraints and interpreted their meanings correctly understood the problem but did not, that is, when they sensed the constraints but failed to interpret the meaning or did not even detect the constraints, they were unable to find an answer to the problem. 3. The main results of Research Question 3 are: First, the behavioral characteristics of detecting the constraints and correctly grasping their meaning were better when understanding the problem of the explicit type compared to the implicit type. Second, the research participants had the most difficulty in structuring their understanding of the overall relationship between the data in question, the constraints, and the unknown, and this was more prominent in the implicit type than in the explicit type. Third, the behavioral characteristics of participants who found the correct answer to the problem were understanding the constraints and predicting the correct path. Fourth, the upper and middle ranks have no difficulty in collecting all the elements of the problem and coming up with the concepts and formulas necessary for solving the problem, but they have difficulty understanding the relationship between the elements or planning the path to solve the problem, so they understand the relationship between the elements. It was analyzed that activities that visually displayed or made people think about the starting point and path of problem solving were helpful. On the basis of above investigation result followings can be concluded; Firstly, Looking at the problems in high school mathematics textbooks, the difficulty of the problems is low and there are many problems with standardized solution procedures, so more high-level problems including implicit constraints need to be dealt with in order to understand and learn the problems. Secondly, in order to develop problem understanding and solving skills, it can be seen that learning to understand the structure of constraints based on relational understanding is important. Considering the above analysis results, the main conclusions of this study are as follows. Looking at the problems in high school mathematics textbooks, the difficulty of the problems is low and there are many problems with standardized solution procedures, so more high-level problems including implicit constraints need to be dealt with in order to understand and learn the problems. In addition, in order to develop problem understanding and solving skills, it can be seen that learning to understand the structure of constraints based on relational understanding is important. It is necessary to prepare teaching methods for understanding a mathematical problem which guides the process of understanding step by step. Along with the results of this study, this researcher developed an understanding-type item that systematically guides the process of understanding the problem in several stages as a method of applying the mathematical problem understanding model (TBP) as a pedagogical application, and teacher's guidance for understanding the problem. A discourse strategy and its use in the design of learning maps for cooperative learning among peers were proposed.