Representations and mutation intertwiners of the Chekhov–Fock algebras

Abstract

The Teichmüller space of a non-compact Riemann surface has been an important object related to studying the three dimensional quantum gravity of physics since 1980’s. For any choice of an ideal triangulation of the surface, there is a global coordinate system, consisting of Thurston’s shear coordinate functions on the edges. The Chekhov-Fock algebras work as non-commutative quantum algebras for these functions. For quantization, we consider finite dimensional representations of the Chekhov-Fock algebras. Upon change of triangulations, one must construct an operator between vector spaces that intertwines these representations. In this thesis, we reformulate the mutation formula for the change of ideal triangulations to suit our situation. And we employ Faddeev-Kashaev’s quantum dilogarithm function to construct a part of an intertwining operator, and for the remaining part we give several tools, for instance a discrete version of the Fourier transformation, and its generalizations. In the future, these tools may be used to construct a full intertwiner.;논 콤팩트 리만 곡면의 타이히뮐러 공간은 1980년대 이후로 물리학의 3차원 양자 중력 연구와 관련된 중요한 주제이다. 곡면 위의 이상적인 삼각분할을 고르면, 이 삼각형들의 각 변마다 Thurston의 shear 좌표 함수를 대응시켜서 구성한 대역적 좌표계가 존재한다. Chekhov-Fock 대수는 이러한 함수들의 비가환적인 양자대수로서의 역할을 한다. 우리는 양자화를 위해서 Chekhov-Fock 대수의 유한차원의 표현들을 생각하고 또한 삼각분할을 변화시키는 것에 대한 표현들을 intertine하는 벡터공간 사이의 연산자인 intertiner를 정의해야 한다. 여기서 우리는 제시한 상황에 맞도록 이상적인 삼각분할의 변화에 대한 mutation 관계식을 다시 구성하고 이 관계식과 어우러지도록 두 부분으로 나누어 intertwiner를 만든다. 한 부분은 Faddeev-Kashaev의 양자 이중 대수 함수를 이용하여 만들고 남은 부분을 구성하기 위해 일반화한 이산 푸리에 변환 등과 같은 몇 가지 도구들을 제시한다. 향후에 이러한 도구들을 이용해서 intertwiner를 완성할 수 있을 것이다.