초등학생들의 비구조화된 문제 해결 과정에서 나타나는 공간 추론 능력과 문제 해결 능력 연구

Abstract

본 연구의 목적은 초등학교 6학년 수학 도형 영역과 관련한 비구조화된 문제를 개발하고 적용함으로써 학생들의 공간 추론 능력과 문제 해결 능력을 분석하고 평가하는 것이다. 또한 공간 추론 능력과 문제 해결 능력을 각각 네 가지 유형과 요소로 세분화하여 다양한 특징과 의미를 맥락적으로 해석해보고자 한다. 이러한 연구의 목적에 따라 설정한 본 연구의 연구문제는 다음과 같다. 1. 초등학교 6학년 학생들의 비구조화된 문제 해결에서 나타나는 공간 추론 능력(내적-정적 추론 능력, 내적-동적 추론 능력, 외적-정적 추론 능력, 외적-동적 추론 능력)은 어떠한가? 2. 초등학교 6학년 학생들의 비구조화된 문제 해결에서 나타나는 문제 해결 능력(문제 이해 및 전략 탐색, 계획 실행 및 반성, 협력적 문제 해결, 수학적 모델링)은 어떠한가? 연구문제를 해결하기 위하여 연구자는 6학년 2학기 수학 공간과 입체 단원을 바탕으로 비구조화된 문제 두 가지를 개발하고, 문제의 타당성을 높이기 위해 사전연구와 전문가 검토를 실시하여 문제를 보완하였다. 강남구 소재 Y초등학교 6학년의 한 학급(전체 21명, 남 12명, 여 9명)을 연구 대상으로 선정하였고, 연습문제를 포함하여 총 11차시의 비구조화된 문제 해결 수업을 실시하였다. 학생들의 비구조화된 문제 해결 과정에서 나타나는 공간 추론 능력과 문제 해결 능력을 평가 및 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 초등학교 6학년 학생들의 비구조화된 문제 해결 과정에서 나타나는 ‘공간 추론 능력’은 본 연구에서 설정한 3점 척도의 상, 중, 하 단계를 기준으로 평균 2.4점으로 중상수준에 주로 분포하였다. 하위 요소 간 점수 차는 크지 않았으나 학생들은 내적-정적 추론과 내적-동적 추론에 비해 외적-정적 추론, 외적-동적 추론활동을 더욱 수월하게 해결하였다. 또한 학생들은 공간 추론 활동에서 직관적 추론과 분석적 추론을 모두 활용하였다. 특히 공간의 정보를 연산과 측정 등 다른 수학 영역의 기능을 활용할 때 분석적이고 더 높은 수준의 추론 능력을 보여주었다. 이는 공간 추론 능력을 향상시키기 위해 수학 내적, 외적 연결성이 높은 기하 학습이 필요하다는 점을 보여준다. 둘째, 초등학교 6학년 학생들의 비구조화된 문제 해결 과정에서 나타나는 ‘문제 해결 능력’은 본 연구에서 설정한 3점 척도의 상, 중, 하 단계를 기준으로 평균 2.2점으로 중수준에 가깝게 분포하였다. 학생들은 개성 있는 방법으로 문제를 해결하였으나 공통적으로 문제 전략 탐색 과정에서 다수의 오류가 발견되었으며 반성 과정이 미흡하게 나타났다. 협력적 문제 해결 요소는 대면과 비대면의 수업 방식에 따라 참여도, 상호작용의 양과 질 등에서 차이가 나타났다. 하지만 모둠별로 더 나은 문제 해결 과정을 보여준 학습 상황은 각각 달랐다. 학생들은 마지막 요소인 수학적 모델링을 대체로 성공적으로 수행하였고 모둠별 격차도 가장 작게 나타났다. 셋째, 모둠별로 문제 <1>과 <2>에서 공간 추론 능력과, 문제 해결 능력 점수 변화는 다음과 같은 양상을 보인다. 1모둠, 4모둠, 5모둠은 두 능력의 점수가 문제 <2>에서 하락했으나 2모둠과 3모둠은 문제 <2>에서 점수가 상승했다. 이 결과에 영향을 미친 맥락적 요인으로서 대면, 비대면 학습 상황, 개별 학생의 영향력, 그리고 오류나 오개념 여부 등을 들 수 있다. 점수가 상승한 모둠은 대면 수업으로 이루어진 문제 <2>에서 더욱 활발하게 의사소통하고 협력했으며, 모둠원의 참여도가 높아 원활한 문제 해결을 이끌었다. 반면, 문제 <2>에서 점수가 하락한 모둠은 비대면 상황에서도 문제 해결에 어려움이 없어 문제 <1>에서 높은 점수를 받았지만, 문제 <2>에서 조건에 대한 오개념이나 해결 과정에서 오류가 발생하였고 이를 수정하지 못한 경우 문제 해결에 어려움을 겪었다. 또한, 수학 성취도가 특별히 높거나 낮은 학생이 문제 해결 활동에 얼마나 개입하고 어떤 영향을 미치느냐에 따라 문제별로 공간 추론 능력과 문제 해결 능력이 다르게 나타났다. 이상의 연구 결과를 바탕으로 도출한 결론은 다음과 같다. 첫째, 교사는 공간 추론의 네 가지 유형에 대한 이해를 바탕으로 학생들에게 부족한 추론 유형을 파악하고 도움을 줄 수 있다. 이를 위해 수학 내·외적 연결성이 높은 기하 학습을 제공한다면 공간 추론 능력의 향상에 도움이 된다. 둘째, 문제 해결 능력의 증진을 위해 특히 반성단계에 대한 연습이 충분히 이루어져야 하고, 문제 해결 능력 향상을 위해 비구조화된 문제를 활용하는 것의 긍정적인 효과를 확인하였다. 셋째, 비구조화된 문제 해결 과정에서 학생들이 보이는 여러 가지 오류와 오개념은 수학 학습에 의미 있는 교수·학습 자료가 될 수 있다. 본 연구의 결과를 교실 상황과 비교해 보고 학생들에게 적절한 비계를 제공할 수 있다. 넷째, 학생들의 문제 해결 과정에 큰 영향을 미치는 온·오프라인 수업 방식에 대해 재고할 필요가 있다. 본 연구에서는 초등학교 수학수업에서 쌍방향 온라인 수업 상황에서 문제 해결 활동이 충분히 적용 가능하다는 것을 확인하였다. 본 연구는 초등수학 도형 영역을 기반으로 비구조화된 문제를 개발하고 이를 적용하며 학생들의 공간 추론 능력과 문제 해결 능력을 평가 및 해석하였다는 데에 의의가 있다. 하지만 표본의 수가 적고 연구자의 관점에 의해 현상을 해석했기에 연구 결과를 일반화하는 데에 어려움이 있다. 또한 활동과 평가가 모두 모둠 단위로 이루어져 모둠의 점수가 전체 학생의 점수를 완전하게 대표하지 못한다는 제한점이 있다. 이를 바탕으로 후속연구에 대해 다음과 같이 제안하고자 한다. 먼저 더욱 다양한 실생활 맥락의 도형 영역 비구조화된 문제의 개발과 연구가 필요하다. ‘공간’이라는 소재는 학생들의 삶과 맞닿아 있어 다양한 비구조화된 문제로 개발될 가능성이 무궁무진하다. 또한 공간 추론 능력과 문제 해결 능력의 관련성을 밝힌다면 기하 학습에서 비구조화된 문제 해결 활동의 효과를 다시 한 번 확인할 수 있을 것이다. 본 연구에서는 두 능력 간의 관련성을 발견하였지만 그 정도가 약하고 표본의 수가 작아 뚜렷한 정적 관계를 확신할 수 없었다. 마지막으로, 온라인 기반 학습의 특징이나 문제 해결에 미치는 효과에 관한 후속연구가 필요하다. 이는 온라인 학습 환경이 확대될 것으로 예상되는 미래 교육현장에 중요한 시사점을 제공할 것이다.;Ill-structured problems based on real-life problems have drawn attention in that they can enhance problem-solving skills, which are essential in future societies. Especially, geometry can be a valuable content of them because it is closely related to student's life. Since spatial reasoning is a key standard in geometry, the need for ill-structured problems using spatial reasoning ability is raised. The purpose of this study is to analyze and evaluate students' spatial reasoning and problem solving abilities by developing and applying ill-structured problems related to the mathematical geometry of sixth graders. We also want to segment spatial reasoning and problem solving capabilities into four types and elements, respectively, to interpret various features and meanings in context. The research questions of this study are as follows. 1. What about the spatial reasoning ability (Intrinsic-Static reasoning, Intrinsic-Dynamic reasoning, Extrinsic-Static reasoning, Extrinsic-Dynamic reasoning) that emerges in the solution of ill-structured problems of sixth graders in an elementary school? 2. What about problem-solving skills (understanding problems and exploring strategies, executing plans and reflecting, collaborative problem-solving, mathematical modeling) that appear in ill-structured problem-solving? To solve the research questions, the researcher created two ill-structured problems based on the unit of sixth grade ‘three dimensional space’, and then conducted preliminary research and expert review to enhance the validity of tasks. A class of 6th grade (total 21 students, 12 boys, and 9 girls) of B Elementary School in Gangnam-gu was selected for the study, and a total of 11 ill-structured problem-solving lessons were conducted, including exercise questions. The results of the evaluation and analysis of students' spatial reasoning ability and problem solving ability in the process of solving ill-structured problems are as follows. First, spatial reasoning ability of sixth-graders was mainly distributed at the mid-upper level with an average of 2.4 points based on the three-point scale set in this study. Students solved the extrinsic reasoning activities more easily than the intrinsic reasoning activities. Also, spatial reasoning ability works both in intuitive and analytical way. In particular, analytical and higher level of reasoning are shown when students applied functions of other mathematical domains, such as computation and measurement. This shows that geometric learning with high internal and external connectivity is necessary to improve spatial reasoning ability. Second, the 'problem-solving ability' was mainly distributed at the median level with an averaged of 2.2 points. Students were able to find various strategies and solutions. But at the same time, there were some errors in the process of exploring problem strategies. Deficiencies in the reflection factor were found. Cooperative problem-solving factors differed in participation level and the quantity and quality of interaction depending on traditional and web-based learning environment. Also, mathematical modeling element was generally performed successfully and the gap between groups was smallest. Third, in problem <1> and <2> by group, spatial reasoning ability and problem solving ability score changes show the following aspects. Scores of group number 1, 4, and 5 fell from the problem <2>, but scores of group number 2 and 3 rose. Contextual factors that have influenced this result include face-to-face or web-based learning situations, the influence of individual student, and whether they had errors or misconceptions. The conclusions derived based on the above findings are as follows: First, teachers can help students by understanding four types of spatial reasoning and identifying which type is lacking. Providing geometry learning with high connectivity in mathematics helps student to improve spatial reasoning ability. Second, in order to enhance problem-solving skills, sufficient practice on the reflection is necessary, and ill-structured problem-solving activities are valuable to improve problem-solving skills. Third, various errors and misconceptions shown in this study will be meaningful when teachers provide students an appropriate scaffolding based on them. Fourth, it is necessary to consider web-based learning environment that greatly affect students' problem-solving processes. This study is meaningful in that it created and applied ill-structured problems based on the geometry and evaluated and interpreted students' spatial reasoning and problem-solving skills. However, it is difficult to generalize the results because the number of samples is small and the phenomenon was interpreted from the researcher's perspective. There is also a limitation that the group's scores do not fully represent the overall student's scores. Based on this, subsequent studies can be proposed as follows. First of all, development and research of the ill-structured geometry problems in more diverse real-life contexts are needed. Furthermore, revealing the relevance between spatial reasoning ability and problem solving ability is needed. Finally, follow-up studies are needed on the characteristics or effects of online-based learning. Research in this regard will provide important implications for future education.