예 만들기 활동 수업에서 나타나는 초등학생의 수학적 추상화 및 수학적 의사소통에 관한 연구

Abstract

나날이 새롭게 발달해나가는 지능정보기술의 향상에 따라 현대사회에서 요구하는 미래인재의 복합적인 역량의 양상도 다양해지고 있다. 이제는 지식수용을 답습하고 정보를 단순히 처리하는 능력보다 고차원적으로 사고하고, 타인과 상호작용을 하며 민주적으로 문제를 해결하는 창의·융합형 인재의 요구가 커지고 있다. 합리적으로 사고하고, 기존의 체계를 넘어서 예측 불가능한 문제를 창의적으로 해결할 수 있는 인간을 필요로 하는 현대사회의 요구에 부응하기 위해서 우리는 학생들의 수학적 사고와 의사소통 능력을 확장시켜줄 수 있는 예 만들기 활동을 교육현장에 적용하는 방안을 생각해볼 수 있다. 예 만들기 활동은 학생들이 수학적 대상과 관계, 질문, 의미 등을 스스로 구성할 때 수학을 가장 잘 배울 수 있을 것이라는 입장의 수학교육 기조를 바탕으로 한 활동으로서(Watson & Mason, 2005), 학습자 스스로 구체적인 조건에 맞는 수학적 예를 생성하게 하는 학습 활동이다. 이에 본 연구에서는 초등학교 5학년 학생들을 대상으로 예 만들기 활동 수업을 적용하여 과제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학적 추상화와 수학적 의사소통의 수준과 형태를 분석하고자 한다. 예 만들기 활동은 학습자 스스로 구체적인 조건에 맞는 수학적 예를 생성하게 하고, 타인과의 상호작용을 통해 예를 정교화하는 과정을 거치며 수학적 구조와 개념을 풍부하게 탐구하고 확장시키게 한다. 따라서 본 연구에서 분석하고자 하는 수학적 추상화와 의사소통의 양상이 예 만들기 활동 내에서 잘 드러날 것이라고 보았다. 본 연구의 목적을 위해 설정한 연구 문제는 다음과 같다. 첫째, 예 만들기 활동 수업 과정에서 나타나는 학생들의 수학적 추상화 수준과 형태는 어떠하며 그에 따라 도형에 대한 이해는 어떻게 변화하는가? 둘째, 예 만들기 활동 과정에서 나타나는 학생들의 수학적 의사소통은 어떠한가? 셋째, 예 만들기 활동 과정에서 나타나는 학생들의 수학적 추상화 및 수학적 의사소통은 어떻게 관련되어 있는가? 이상의 연구 문제를 토대로 본 연구에서는 구성활동으로서의 수학교육과 예 만들기 활동, 수학적 추상화와 수학적 의사소통, 2015개정 교육과정의 도형 영역 등과 관련된 각종 선행연구 및 문헌들을 깊이 고찰하였다. 그리고 서울특별시 A 교육지원청에 위치한 B 초등학교 5학년 1개 학급을 연구 대상으로 선정하여 연구를 진행하였다. 예 만들기 활동 수업을 진행하며 연구 대상이 산출한 여러 가지 활동 결과물과 연구자의 현장노트 및 관찰기록, 학생 인터뷰 등을 통해 학생들의 수학적 추상화 및 의사소통의 구체적인 양상을 세밀하게 분석하였고, 사전검사와 사후 수행평가를 따로 진행한 후 반응 사례를 검토하여 예 만들기 활동 자체가 도형 영역에서 어떠한 이해 향상을 이끌어냈는지 분석하였다. 또한, <모둠 1>과 <모둠 4>의 활동 사례들을 의도적으로 추출·분석하여 수학적 추상화와 수학적 의사소통에 어떠한 관련성이 있는지, 그리고 수학적 의사소통에 따라 수학적 추상화가 어떻게 나타나는지 등을 알아보았다. 예 만들기 활동 수업에서 나타나는 수학적 추상화와 수학적 의사소통에 관한 연구 결과를 종합해볼 때, 첫 번째 연구 문제와 관련하여 학생들은 수학적 추상화 수준을 포괄적으로 드러내며 수학적 추상화의 인식론적 행동들인 ‘수학적 구조 인식하기’와 ‘수학적 구조 확립하기’, ‘수학적 구조 구성하기’가 중첩되는 망을 형성하면서 발달되는 것을 볼 수 있었다. 하지만 몇몇 모둠들은 활동 과제의 난이도에 따라 수학적 사고를 명시적으로 드러내지 않았는데, 이는 모둠 내에서 암묵적으로 동의가 된 수학적 통찰 혹은 추상화 과정이 표면적으로 드러나지 않았기 때문이었다. 또한, 학생들의 수학적 추상화 능력이 심화됨에 따라 도형에 대한 이해도 역시 풍부해짐을 볼 수 있었다. 종합하면, 초등학교 5학년 학생들은 예 만들기 활동 과제를 통해 자신의 생각을 도출하는데 몰입할 수 있었고, 도전적인 과제의 조건을 마주할 때마다 모둠 구성원과의 역동적인 상호작용 과정을 통해 이전보다 발전된 수학적 추상화 과정을 드러낼 수 있었다. 두 번째 연구 문제와 관하여 학생들은 예 만들기 활동을 통해 특정한 조건을 만족하는 여러 가지 수학적 대상을 구성하면서 수학적 예시를 여러 가지 방법으로 표현·비교하고, 새로운 전략을 공유하고 토론하였다. 수업 내 여러 가지 활동 사례에 나타난 수학적 의사소통 수준과 형태의 특징을 분석한 결과, 학생들은 상대 학습자와 질문하기, 설명하기와 같은 의견 교환 프로세스를 거듭하며 수학적 통찰을 형성할 수 있었다. 또한, 학생들은 역동적인 상호작용 과정을 통해 오류를 학습의 기회로 이용하고, 일반화의 구조나 형식, 패턴 등을 자유롭게 조직하고 규칙과 일반화를 내면화하여 새로운 수학적 관계망을 형성할 수 있었는데, 이때 구체적 조작활동이 수반되며 예가 정교화되는 과정을 살펴볼 수 있었다. 세 번째 연구문제와 관련하여서는 수학적 추상화 및 의사소통이 유의미한 수준으로 이루어졌던 2개 모둠의 활동 사례를 중심으로 두 종속변인이 어떠한 관련성을 가지는지 살펴보았는데, 이를 연구한 결과 수학적 추상화와 수학적 의사소통은 긴밀한 연관성을 주고받고 있음을 알 수 있었다. 즉, 교사의 비계 형성과 모둠 구성원들 간의 수준 높은 토론 및 설명이 수업 과정에 통합되어 유의미한 의사소통의 증가했을 때 수학적 추상화 역시 확장하고 발전함을 확인할 수 있었다. 이는 예 만들기 활동 과제 해결과정 속에서 수학적 추상화 발달 프로세스와 수학적 의사소통 과정이 유기적으로 연결되며 수학적 통찰과 이해를 형성하는데 중요한 역할을 함을 시사한다. 학생들은 과제를 해결하면서 수학적 의사소통을 통해 과제의 해결 가능성 유무를 번갈아 예측하였다. 또한, 일반화된 표현 혹은 수학적 개념에서 출발하여 수학적 예를 정교화하며, 구조를 확장시키거나 예를 면밀히 탐구하는 과정을 통해 새로운 수학적 통찰과 관계망을 형성할 수도 있었다. 위의 연구 결과를 토대로 본 연구에서는 다음과 같은 결론과 시사점을 도출할 수 있었다. 첫째, 예 만들기 활동은 학생들의 전형적인 예 공간을 타파하고 유연한 사고와 새로운 수학적 구조의 조직을 촉진시킬 수 있다. 둘째, 수학적 의사소통은 수학적 추상화를 비롯하여 수학의 내용 영역의 이해에 큰 관련성을 가지고 있었으므로, 학습 현장 내에서 수학적 의사소통에 대한 긍정적인 경험이 학생들에게 많이 주어져야 한다. 이와 같은 결론은 앞으로의 수학 학습에 있어 학생들에게 수학적 추상화와 수학적 의사소통에 대한 학습을 충실히 할 필요가 있으며, 이러한 상호작용을 적극적으로 경험할 수 있게 하는 예 만들기 활동 수업을 통해 수학적 사고를 함께 발전시켜야 함을 시사한다. 이를 바탕으로 본 연구에 몇 가지 제언을 하자면, 첫째, 예 만들기 활동 수업에서 나타나는 학생들의 수학적 추상화 및 수학적 의사소통 외에도 다른 측면의 수학적 역량을 분석할 수 있는 연구가 필요하다. 이에, 본 연구에서 살펴본 도형 영역 외에 다른 영역에도 예 만들기 활동을 적용하여 어떤 양상이 드러나는지 확인할 필요가 있다. 둘째, 학생들이 예 만들기 활동 과제를 수행하며 드러내는 수학적 성향에 대한 후속 연구가 요구된다. 즉, 학생들이 예 만들기 활동 과제를 수행하며 드러내는 학습 동기와 심리적 요소를 분석하여 예 만들기 활동 내에서 살펴볼 수 있는 수학적 사고와 수학적 성향의 연결성을 고찰할 필요가 있다.;As the development of knowledge information technology improves day by day, the complex aspects of future talent demanded by the modern society are also diversifying. Now, there is a growing demand for creative and convergent talents who have higher order thinking skills, interact with others, and solve problems democratically rather than those who simply handle information and accept knowledge without critical thinking. In order to meet the demands of the society for human beings to think reasonably and solve unpredictable problems beyond existing systems creatively, we can consider applying the teaching strategy of asking learners to construct their own examples of mathematical objects to educational sites that can expand students' mathematical thinking and communication skills. Activities of learners generating examples are based on the principle of the mathematics education stance that students will be best able to learn mathematics when they compose mathematical objects, relationships, questions, and meanings on their own(Watson & Mason, 2005), and allow learners to generate mathematical examples that meet specific conditions. This study aims to analyze the level and form of mathematical abstraction and mathematical communication in the process of solving tasks by applying activities of learners generating examples to fifth-grade elementary school students. These activities allow learners to generate their own mathematical examples that meet specific conditions on their own, and through the process of elaborating examples through interactions with other people, they can explore and expand mathematical structures and concepts in abundance. Therefore, we expected that the aspects of mathematical abstraction and communication that we intend to analyze in this study will be well represented within the activities of learners generating examples. The research questions of this study are as follows: First, what is the level and form of students' mathematical abstraction in the course of generating examples, and how does their understanding of figures change accordingly? Second, what pattern could be found in the students' mathematical communication process when generating examples? Third, how are students' mathematical abstractions and mathematical communication related in the process of generating examples? Based on the research questions above, this study delved into various prior studies and literature related to mathematics as a constructive activity, mathematical abstraction and mathematical communication, and the geometry education presented in the 2015 revised national curriculum. In addition, one class of fifth-grade students of B elementary school located in the A Office of Education was selected as the subject of this study. During the lesson of learners generating examples, the results of various activities calculated by the study subjects, field notes and observation records of the researcher, student interviews, and the specific aspects of students' mathematical abstraction and communication were analyzed in detail by reviewing each response cases. And after conducting the pre-test and post-performance evaluation separately, the response cases were reviewed to analyze how the activity of generating examples itself led to improved understanding in the geometry area. In addition, the activities of <Group 1> and <Group 4> were intentionally extracted and analyzed to investigate the relationship between mathematical abstraction and mathematical communication, and how mathematical abstraction appeared according to mathematical communication. In summing up the results of the study on mathematical abstraction and mathematical communication in the activities of learners generating examples, regarding the first research question, students comprehensively revealed the level of mathematical abstraction, and developed a network of overlapping epistemological behaviors of mathematical abstraction: recognizing, building-with, and constructing the mathematical structures. However, some groups did not explicitly reveal their mathematical thinking depending on the difficulty of the activity tasks, because the mathematical insight or abstractions that were implicitly agreed within the group did not surface. In addition, it was discovered that as the students' mathematical abstraction ability deepens, their understanding of geometry also enriches. Overall, fifth-grade elementary school students were able to immerse themselves in eliciting their own ideas through activities of learners generating examples, and each time they faced the conditions of challenging tasks, they were able to reveal a more advanced mathematical abstraction process than ever before through a dynamic interaction process with members of the group. Regarding the second research question, students were able to express and compare their mathematical examples in several ways, sharing and discussing new strategies, constructing various mathematical objects which satisfy specific conditions through the activities of learners generating examples. As a result of analyzing the characteristics of the level and form of mathematical communication in various activities in the class, students were able to form mathematical insights by repeating the process of exchanging opinions such as questioning and explaining with the other learners. In addition, students were able to use errors as learning opportunities through a dynamic interaction process, organize mathematical structures and forms freely, and internalize mathematical rules and generalizations to form a new mathematical network. And it was possible to observe the process of students elaborating the mathematical examples as the activity progressed. Regarding the third research question, the response case of two groups in which the mathematical abstraction and communication were made at a meaningful level was investigated and it showed that these two dependent variables around the case were closely related. In other words, when high-level discussions and explanations among group members and teachers' scaffolding were incorporated into the learning process, it can be confirmed that mathematical abstractions also expanded and developed as meaningful communication increased. This suggests that the process of developing mathematical abstraction and the process of mathematical communication are organically connected in the task of learners generating examples, and play an important role in forming mathematical insight and understanding. While solving the task, the students alternately predicted the possibility of solving the task through mathematical communication. Furthermore, new mathematical insights and networks could be formed through the process of elaborating mathematical examples starting from generalized representations or mathematical concepts, expanding structures or scrutinizing mathematical examples. Based on the results of this study, the following conclusions and implications could be drawn: First, activities of learners generating examples can break down the typical example space of students and facilitate flexible thinking and organization of new mathematical structures. Second, since mathematical communication was highly relevant to the understanding of mathematical content areas, including mathematical abstraction, students should be given a lot of positive experience in mathematical communication within the learning site. This conclusion suggests that students need to learn mathematical abstraction and mathematical communication in the future, and that mathematical thinking should be developed together through activities where learners generate examples that enable them to actively experience such interactions. Based on this, some suggestions for this study are to be made. First, a study that can analyze the mathematical competencies of other aspects besides the mathematical abstraction and mathematical communication of students in the activities of learners generating examples is needed. Therefore, it is necessary to confirm what other aspects could be found by applying these activities to other areas other than the geometry area examined in this study. Second, a follow-up study is required on the mathematical dispositions that students reveal as they perform the task of generating examples. In other words, it is necessary to examine the connection between mathematical thinking and mathematical disposition that can be observed in the activities of learners generating examples by analyzing the learning motivations and psychological factors revealed by the students while performing the task of generating mathematical examples.