수학적 사고 스타일에 따른 문장제 문제 해결 과정과 교과서의 시각적 표상 분석

Abstract

4차 산업 혁명에 필요한 수학적 사고를 위해 학교 수학에서는 다양한 실생활과 현상들을 수학적인 식으로 변환할 수 있는 대수 학습의 중요성이 커지고 있다(최상호, 이주희, 정혜경, &최빛나, 2018). 이러한 실생활 문제를 수학적으로 해결하기 위한 소양을 기르기 위해서는 문장제 문제 해결능력이 중요시된다. 하지만 학생들이 문장제 문제 해결에 있어서 어려움을 겪는다는 것이 많은 선행 연구들을 통해 밝혀진 바 있다(Desoete, Roeyers & De Clercq,2003; Adams, 2003; 김영국&주익한,1996; 김선희, 2004 등). 학생들이 문장제 문제를 성공적으로 해결하기 위해서는 다양한 전략을 사용하여 문제를 해결하도록 유도해야 한다(이정은&김원경, 1999). 문제 해결 전략은 문제 해결을 위해 문제 이해 및 문제 해결 과정에서 시도하는 기술로(권오남 & 백한미, 1997), 식 세우기, 예상과 확인, 그림 그리기, 표 만들기 등이 그 예이다(지재근&오세열, 2000; 김선유, 1995). 학생들이 문제 해결 과정에서 선호하는 사고 스타일이 각자 다르기 때문에 교사는 학생들의 사고 스타일을 고려한 교수 학습을 진행해야 한다(Ferri & Kaiser, 2003). 시각적 사고 스타일의 학생들은 수학적 개념이나 문장을 이해할 때 표, 그래프, 그림을 사용하는 것을 용이하다고 느끼고, 대수적 사고 스타일의 학생들은 수학적 개념이나 문장을 이해할 때 기호, 문자, 수식 등을 사용하는 것을 용이하다고 느낀다(최상호, 김동중, 신재홍, 2013). 이에 따라 본 연구에서는 중학생들이 방정식, 부등식, 함수와 관련된 문장제 문제 해결 과정에서 어떤 문제 해결 전략을 선호하는지 수학적 사고 스타일의 관점에서 살펴보고자 한다. 또한, 2015개정 수학 교과서에 다양한 문장제 문제 해결 전략이 반영되어 있는지 살펴보기 위해 교과서에 실린 시각적 표상을 분석해 보고자 한다. 이를 위해 본 연구가 설정한 연구 문제는 다음과 같다. 1. 중학생들이 문장제 문제 해결 과정에서 선호하는 문제 해결 전략과 수학적 사고 스타일은 어떤 특징을 보이는가 1-1. 문제의 난이도에 따른 문제 해결 전략과 수학적 사고 스타일의 특징은 무엇인가 1-2. 문제 해결 정도와 문제 해결 전략, 수학적 사고 스타일 간에 상관 관계는 어떠한가 1-3. 성차와 문제 해결 전략, 수학적 사고 스타일 간에 상관 관계는 어떠한가 2. 2015개정 중학교 수학 교과서에 실린 문장제 문제에서 시각적 표상은 어떤 특징을 보이는가 2-1. 교과서의 문장제 문제에서 사용된 시각적 표상의 유형별 분포는 어떠한가 2-2. 교과서의 문장제 문제에서 사용된 시각적 표상의 평균 사용 빈도는 어떠한가 2-3. 교과서의 문장제 문제에서 사용된 시각적 표상의 유형별 연결성은 어떠한가 연구문제1.‘중학생들이 문장제 문제 해결 과정에서 선호하는 문제 해결 전략과 수학적 사고 스타일은 어떤 특징을 보이는가’를 위해 서울시 소재 G중학교 3학년 184명을 대상으로 수학적 사고 스타일 검사지를 통해 문장제 문제를 해결할 때 선호하는 문제 해결 전략과 수학적 사고 스타일의 특징을 알아보았다. 검사지의 결과를 토대로 문제의 난이도에 따른 문제 해결 전략과 수학적 사고 스타일의 특징은 무엇인지, 문제 해결 정도와 문제 해결 전략, 수학적 사고 스타일 간에 상관 관계는 어떠한지, 성차와 문제 해결 전략, 수학적 사고 스타일 간에 상관 관계는 어떠한지 등을 분석하였다. 연구문제2. ‘2015개정 중학교 수학 교과서에 실린 문장제 문제에서 시각적 표상은 어떤 특징을 보이는가’를 위해 2015개정 한국검·인정 중학교 수학 교과서 10종의 일차방정식, 일차부등식, 연립일차방정식, 일차함수, 이차방정식 단원에 실린 문장제 문제에서 사용된 시각적 표상들을 분석하였다. 식 세우기 외에 시각적 표상을 활용한 문제 해결 전략의 특징들을 분석하기 위해 시각적 표상을 그림, 표, 선분도, 그래프 4가지 유형으로 분류하여 교과서의 문장제 문제에서 사용된 시각적 표상의 유형별 분포는 어떠한지 살펴보고, 김래영(2009)이 제시한 비문자적 표상의 분석 준거 중 하나인 연결성에 대해 이보은(2011)과 오연정(2016)이 제시한 분석틀을 수정하여 만든 본 연구의 분석틀을 기준으로 살펴보았다. 또한 교과서의 문장제 문제에서 시각적 표상의 평균 사용 빈도는 어떠한지 분석해보았다. 연구 문제 1의 연구 결과, 분석적 사고 스타일의 학생 수는 90명, 시각적 사고 스타일의 학생 수는 73명, 통합적 사고 스타일의 학생 수는 21명으로 나타났다. 문제의 난이도가 높을수록 시각적인 문제 해결 전략을 선호하는 학생들의 비율이 높아졌으며, 분석적 사고 스타일의 학생이 시각적 사고 스타일의 학생들에 비해 문제 해결에 성공한 문항의 수가 많음을 알 수 있었다. 성별에 따라서는 선호하는 문제 해결 전략이나 수학적 사고 스타일에 유의미한 차이가 나타나지 않았다. 연구 문제 2의 연구 결과, 교과서 별로 문장제 문제 해결에서 사용된 시각적 표상의 유형과 분포에 다소 차이가 있었고, 가장 많은 시각적 표상을 포함한 단원은 중학교 수학2의 연립일차방정식 단원으로 단원에 따라서도 시각적 표상의 분포에 차이가 있었다. 교과서 전반에 걸친 시각적 표상의 분포를 볼 때 그림, 표, 선분도, 그래프 순으로 나타났다. 또한 같은 단원이라 하더라도 교과서 별로 시각적 표상의 연결성 점수에 차이가 있었으며 유형별로 보았을 때는 선분도의 연결성 평균 점수가 가장 높았고 그림과 표의 연결성 평균 점수가 상대적으로 낮았다. 본 연구 결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 교사는 문장제 문제 해결을 지도할 때 학생들의 다양한 수학적 사고 스타일을 고려해야 하며 특정한 사고 스타일의 학생들이 소외되지 않도록 다양한 수학적 사고 스타일을 고려한 교수·학습을 운영해야 한다. 시각적 표상을 활용한 문제 해결 전략이 학생들의 문장제 문제 해결에 대한 어려움 극복에 도움이 될 것이다. 또한, 교과서별로 시각적 표상의 유형과 분포, 개수, 사용 빈도, 연결성 등에 차이가 있음을 인식하고, 교사 및 교과서 집필진들의 시각적 표상의 중요성과 필요성에 대한 인식 개선이 필요하며 이를 교과서와 교수학습에 반영해야 한다. 본 연구가 시사하는 바는 본 연구를 통해 교사가 문장제 문제 해결에 대해 지도할 때 학생들이 문장제 문제 해결의 어려움을 극복할 수 있는 방안에 대해 제시하고 있다는 것과 교과서를 집필하거나 교사가 교과서를 활용하여 지도할 때 고려해야 할 부분을 제시하고 있다는 것이다. 후속 연구로는 대상이 중학교 3학년 학생이나 일차방정식, 일차부등식, 연립일차방정식, 일차함수, 이차방정식 단원으로 국한된 것이 아니라 좀 더 확장된 대상으로의 연구, 본 연구의 결과가 시사하는 것처럼 시각적 표상을 활용한 교수가 실제로 문장제 문제 해결력에 영향을 미치는지에 대한 연구와 문장제 문제 해결 과정에서 시각적 표상을 활용한 문제 해결 전략의 사용이 상대적으로 적었던 단원인 이차방정식에서 활용 가능한 문제 해결 전략에 대한 연구를 제안하는 바이다. ;For mathematical thinking needed for the Fourth Industrial Revolution, the importance of algebraic learning to convert various real life and phenomena into mathematical ways is growing in school mathematics(Choi. et al., 2013). The ability to solve sentence problems is important in order to develop the ability to solve these real-life problems mathematically. However, many prior studies have shown that students suffer from difficulties in solving sentence problems(Desoete, Roeyer & De Clercq, 2003; Adams, 2003). In order for students to successfully solve the problem of sentences, they must be induced to solve the problem using various strategies(Lee. et al.,1999). Since students have different preferences in the process of solving problems, teachers should proceed with teaching considering students' thinking styles(Ferri & Kaiser, 2003). Students with visual thinking style feel that it is easy to use tables, graphs, and pictures when they understand mathematical concepts or sentences, and students with algebraic thinking style feel that it is easy to use symbols, letters, and formulas when they understand mathematical concepts or sentences(Choi. et al., 2013). Accordingly, in this study, I want to look at what problem-solving strategies middle school students prefer in the process of solving sentence problems related to equations, inequality, and functions in terms of mathematical thinking style. In addition, I would like to analyze the visual representations in the textbooks to see if the 2015 revised math textbook reflects various strategies for solving sentence problems. For this purpose, the research problems set up in this study are as follows. 1. What characteristics do middle school students have in their preferred problem-solving strategies and mathematical thinking styles? 1-1. What are the characteristics of problem-solving strategies and mathematical thinking styles according to the difficulty of the problem? 1-2. What is the correlation between the degree of problem solving and the strategy of problem solving, and the style of mathematical thinking? 1-3. What is the correlation between gender differences and problem-solving strategies, mathematical thinking styles? 2. What characteristics does the visual representation show in the sentence system problem in the 2015 revised middle school math textbook? 2-1. What is the distribution by type of visual representation used in the textbook sentence problem? 2-2. What is the average frequency of use of visual representations used in the textbook sentence problem? 2-3. What is the connection between the types of visual representations used in the textbook sentence problem? For "What are the preferred problem-solving strategies and mathematical thinking styles of middle school students in the process of solving sentence problems?" 184 third graders of G Middle School in Seoul were surveyed on the mathematical thinking style test paper to find out the preferred problem-solving and mathematical thinking style features. For "2015 Revised Middle School Mathematical Textbooks, what characteristics do visual representations show?" the visual representations used in the sentence questions in the linear equation, linear inequality, simualtaneous equation, linear function and quadratic equation of 10 revised middle school math textbooks were analyzed. Research in Problem 1 shows that the number of students in analytical thinking style is 90; the number of students in visual thinking Style is 73; and the number of students in integrated thinking Style is 21. The higher the difficulty of the problem, the higher the proportion of students who preferred visual problem-solving strategies, and the higher the number of questions that were successful in solving the problem compared to students in visual thinking styles. There were no significant differences in preferred problem-solving strategies or mathematical thinking styles, depending on gender. As a result of Problem 2, there were some differences in the type and distribution of visual representations used in sentence problem solving by textbook, and the unit with the most visual representations was the first-order coalition of middle school mathematics 2, which differed in the distribution of visual representations depending on the unit. The distribution of visual representations throughout the textbook was shown in order of figures, tables, line segments, and graphs. In addition, even in the same unit, there were differences in the connection scores of visual representations for each textbook, and by type, the connectivity average score of the line segment was the highest and the connectivity average score of the picture and table was relatively low. Based on the results of this study, the following conclusions were obtained: Teachers should consider the students' various mathematical thinking styles when guiding them to solve sentence problems and operate teaching learning with various mathematical thinking styles to ensure that students of a particular thinking style are not left out. A problem-solving strategy using visual representation will help students overcome difficulties in solving sentence problems. It is also necessary to recognize that there are differences in the type and distribution of visual representations, frequency of use, and connectivity among teachers and textbook writers, and to improve their perception of the importance and necessity of visual representation, which should be reflected in textbook and teaching learning. The implications of this study are that when teachers are guiding them to solve sentence problems, they are suggesting ways to overcome difficulties in solving them, and that they should consider when writing textbooks or using textbooks to guide teachers. As a follow-up study, we propose a study to a more expanded target, not limited to middle school seniors or algebraic unit. Furthermore, as the results of this study suggest, we propose a study of whether classes using visual representation actually affect sentence problem solving power and a study of problem solving strategies available in quadratic equations, a unit of relatively less problem solving strategies using visual representation in the course of sentence problem solving.