수학적 연결성에 대한 2015 개정 중학교 2학년 수학교과서 분석

Abstract

In modern society, there are growing requests that school education should do more than just curriculum. Ability to solve problems using mathematical perspective is emphasized as a capability required for democratic citizens of future society, and consequently, mathematical connection is being stressed (Hye Won Jang, 2016). Interest in mathematical connection began as NCTM (1989/1992) had published ｢Education curriculum and evaluation standard for school mathematics, 1989/1992｣ and had set as a standard. Mathematical connection can be classified into internal mathematical connection and external mathematical connection. Students have deeper and continuous understanding as they are capable of thinking in connection with mathematics (NCTM ,1989/1992, 2000/2007). 2015 revision of education curriculum suggests creation, convergence as one of key capabilities required for mathematics students in preparation of future society; and defines creation/convergence as ability to ‘calculate in variety and fine-tune new and meaningful ideas based on knowledge and functions of mathematics, to connect various mathematical knowledge, function and experience, and to connect and converge knowledge, function and experience of other academic field and life with mathematics to create new knowledge, function and experience and to solve problems’(Ministry of Education, 2015). To help explain various ideas using connection in mathematical teaching or classes, and to form problematic cases, the research analyzes connection suggested in mathematics textbook for 2ndyear of middle school which had been published pursuant to curriculum revision of 2015. The research classifies mathematical connection into internal and external mathematical connections, and analyzes contextual and perfunctory aspects as mathematical connection is suggested and students experience various experiences in mathematics textbook. Internal mathematical connection, with classification of textbook units into areas, is analyzed connection within an area and connections between areas. External mathematical connection is classified and analyzed into applications in mathematical history, real-life and engineering tool of other subjects. It is analyzed that which strategy is being used using it as perfunctory aspect and incorporated in the textbook. As a result, the purpose of the research is to help development teaching and learning materials relevant to mathematical connection and to form classes. Therefore, the research sets research topics as follows. 1. What is the standard for analysis of mathematical connection? 2. In mathematics textbook of 2nd year in middle school pursuant to 2015 curriculum revision, contextual and perfunctory aspects of internal mathematical connection are expressed? 3. In mathematics textbook of 2nd year in middle school pursuant to 2015 curriculum revision, contextual and perfunctory aspects of external mathematical connection are expressed? To do so, theories related to mathematical connection and preceding researches are analyzed, and analysis standard has been set based on these. Textbook analysis has been processed as per following procedure. First, to solve research topic 1, the research has reviewed documents and curriculum related to mathematical connection, and examined research trend in mathematical connection. Then, to classify it into contextual and perfunctory aspects, the research has planned analysis templates for each of internal and external connections, and suggests examples. Then, to solve research topic 2, the research reclassified index of mathematics textbook, and classified the internal connection in between areas of introductory text, research activity, conclusion of mid-unit and creative activity, and connection between areas. After, internal and external aspects of them have been analyzed. To solve research topic 3, the research classified and analyzed the units in math textbook into math history context, real-life context, context of connection with other subjects, and applicable context of engineering tool. To understand the strategy and method textbook has incorporated in itself for students to experience external connection. External connection has been classified and analyzed into 3 areas of sequential connection, connective connection and systematic connection. The result of the research is as follows. First, for internal mathematical connection suggested in the textbook, there was a big difference in connection ratio between areas. Configuration of problems at the conclusion of mid-unit showed high connection ratio of internal connection. For strategy of internal connection, correlative connection strategy (V-C) of vertical connection has been used the most frequently. Especially, it is the connection strategy expressed the most in text and formula areas, and statistics and probability areas. Second, for external mathematical connection, ratio of strategies used in 4 contexts of connection is different. All 10 textbooks showed connection to real life was the highest. For mathematical history context, ratio of connective connection strategy (F2) was high. Sequential connection strategy (F1) and connective connection strategy (F2) of real life context were at both 40% which are high percentage. For connection context with other subjects, sequential connection strategy (F1), connective connection strategy (F2) and systematic connection strategy all showed similar ratios at 30~40%. In engineering tool application context, systematic connection strategy (F1) was high at around 50%. Conclusion as per the result of the research is as follows. Mathematics is an academic field of systemicity which contains logical order. It is necessary to increase portion of connection in internal connection between areas for students to not classify areas of mathematics into independent areas, and to understand that each area is interconnected. Moreover, it is necessary to configure connection in areas suggested in the textbook evenly in order to experience various experiences of mathematical connection. For connection with external mathematical connection, it is necessary to actively utilize materials, problem condition, activities, etc using other subjects and engineering tools with various connection strategies. Even in curriculum revision of 2015, usage of connection with other subjects and application of engineering tools have been suggested as a focus. Therefore, if it is suggested in the textbook using various connection strategy rather than one-sided connection strategy, students may acknowledge needs and utility of mathematics, and may practice mathematical thinking in various conditions more flexibly. The research is an analysis of textbook pursuant to curriculum revision. Additional research in regards to connection suggestion strategy for more various thinking is necessary by developing material to be used in real life classes or by acknowledging connection. ;현대사회에서 학교 교육은 교과 내용 그 이상을 담당해야 한다는 요구가 높아지고 있다. 수학적 안목으로 다른 분야의 문제를 해결하는 능력은 미래사회의 민주 시민으로서 갖추어야 할 역량으로 강조되고 있으며, 이와 관련하여 수학적 연결성(mathematical connection)이 강조되고 있다(장혜원, 2016). 수학적 연결성에 대한 관심은 NCTM(1989/1992)가 ｢학교 수학을 위한 교육과정 및 평가 규준, 1989/1992)｣을 발간하며 규준으로 설정하면서 시작되었다. 수학적 연결성은 수학 내적 연결성과 수학 외적 연결성으로 나눌 수 있고, 학생들은 수학적으로 연결하여 사고할 수 있을 때 이해가 더 깊어지며 지속된다(NCTM , 1989/1992, 2000/2007). 2015 개정 교육과정에서는 미래사회를 대비해 학생들이 수학과에서 갖추어야 할 핵심역량 중 하나로 창의∙융합을 제시며, 창의∙융합을 ‘수학의 지식, 기능을 토대로 새롭고 의미 있는 아이디어들을 다양하게 산출하며 정교화 시키고, 여러 수학적 지식이나 기능, 경험과 연결하거나 타 교과나 실생활의 지식, 기능, 경험을 수학교과와 연결하고 융합하여 새로운 지식이나 기능, 경험을 생성하고 문제를 해결할 수 있는 능력’이라고 정의하였다(교육부, 2015a). 수학적 연결성은 수학의 전체적인 구조를 파악하게 하거나 새로운 개념을 쉽게 이해하는 데 큰 역할을 한다는 점, 수학을 수학 외의 다양한 분야나 학문과 관련되어 사고할 수 있도록 한다는 점에서 내적 연결과 외적 연결 모두 핵심이 된다. 또한 학생들에게 연결성이 어떤 전략으로 제시되어 연결성의 인식을 높아지고 있는지 파악하는 과정도 매우 중요하다고 할 수 있다. 지금까지 진행되어온 수학적 연결성에 대한 대부분 연구는 연구자의 관점에 따라 내적 연결성이나 외적 연결성 중 하나에 관점에 초점을 두어 진행되거나 혹은 연결성이 교과서에서 어떻게 제시되고 있는지에 관하여 연구가 주를 이루고 있다. 본 연구에서는 수학 학습이나 수업에서 연결성을 이용해 다양한 개념을 설명하거나 문제 상황을 구성하는 데 도움이 되고자 하는 목적으로 2015 개정 교육과정을 지침으로 편찬된 중학교 2학년 수학교과서에서 제시된 연결성을 분석한다. 수학적 연결성을 크게 수학 내적 연결성과 외적 연결성으로 나누고 연결성이 어떤 전략으로 제시되어 학생들이 교과서에서 다양한 경험을 할 수 있게 하는지에 대해서 내용적 측면과 형식적 측면으로 분석한다. 수학 내적 연결성에 대해서는 교과서 단원을 영역별로 분류한 뒤 한 영역에서의 연결, 영역과 영역 사이의 연결로 나누어 분석하였고, 수학 외적 연결성은 수학사, 실생활, 타 교과 공학적 도구의 활용 맥락으로 분류하여 분석하고, 이를 형식적 측면을 이용해 어떤 전략을 사용해서 교과서에 담고 있는지 분석하였다. 본 연구는 수학적 연결성에 관련된 교수∙학습 자료의 개발과 수업을 구성하는 데 도움을 주는 것을 목적으로 한다. 이에 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 수학적 연결성 분석을 위한 기준은 무엇인가? 2. 2015 개정 교육과정에 의해 편찬된 중학교 2학년 수학교과서에서 나타나는 연결성은 어떠한가? 2-1. 수학 내적 연결성의 내용적 측면과 형식적 측면은 어떻게 나타나는가? 2-2. 수학 외적 연결성의 내용적 측면과 형식적 측면은 어떻게 나타나는가? 이를 위하여 수학적 연결성에 관련된 이론과 선행연구를 분석하고, 분석 결과를 바탕으로 분석기준을 마련하였다. 교과서 분석은 다음과 같은 과정으로 진행되었다. 먼저 연구문제 1을 해결하기 위해 수학적 연결성과 관련된 문헌과 교육과정을 검토하여 수학적 연결성의 연구동향, 주안점에 대하여 살펴보았다. 그 후 연결성을 내용적 측면과 형식적 측면으로 분류하기 위하여 내적 연결성과 외적 연결성의 분석틀을 각각 구상한 뒤, 이에 대한 예시를 제시하였다. 다음으로 연구문제 2-1을 해결하기 위해, 교육과정에 따른 수학교과서의 목차를 재분류하여 도입 제시 글, 탐구활동, 중단원 마무리, 창의력 활동에서 영역 내에서의 내적 연결성과 영역과 영역 사이에서 나타나는 연결성을 분류하였다. 그다음에는 이에 대하여 내용적 측면과 형식적 측면으로 분류하여 분석하였다. 연구문제 2-2를 해결하기 위해, 수학교과서에 제시된 단원을 기준으로 수학사 맥락, 실생활 맥락, 타 교과 연결맥락, 공학적 도구의 활용 맥락으로 분류하여 분석하였다. 이때, 이를 어떤 전략과 방법으로 학생들이 외적 연결성을 경험할 수 있도록 교과서를 구성하였는지에 대해 알아보기 위해 외적 연결성을 계열적 연결, 연계적 연결, 조직적 연결 3가지로 분류하여 분석하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 수학적 연결성에 관련된 선행연구와 2015 개정 교육과정과 이를 지침으로 편찬된 중학교 2학년 수학교과서를 살펴보고 연결성과 연결전략을 알아볼 수 있는 분석틀을 구성하였다. 수학적 연결성을 내적 연결성과 외적 연결성으로 나누고 내용적 측면과 형식적 측면에 관하여 정의한 뒤, 이의 세부 기준을 설정한 결과, 중학교 2학년 수학교과서에 제시된 내적 연결성과 외적 연결성의 연결내용의 측면의 경우 내적 연결성은 영역별로 분류하여 알아보았고, 외적 연결성은 맥락에 따라 4가지로 분류하였는데, 수학사 맥락, 실생활 맥락, 타 교과 연결 맥락, 공학적 도구의 활용 맥락과의 연결내용에 대해 알아보았다. 이에 따른 연결전략은 내적 연결성의 경우 크게 수평적 연결과 수직적 연결로 나누고 수평적 연결의 경우 개념지식의 연결, 개념지식과 절차지식의 연결, 같은 개념의 동치표현, 수직적 연결의 경우 상위적 연결, 파생적 연결, 상호관련적 연결로 세분화하여 연결전략에 대한 분류기준을 세웠다. 외적 연결성의 경우 연결내용에 따른 연결전략으로 계열적 연결, 연계적 연결, 조직적 연결로 정의하여 연구를 진행하기 위한 토대를 마련하였다. 둘째, 수학 내적 연결성의 경우 중단원 마무리 문제의 구성에서 높은 연결 비율을 보였다. 즉, 학습한 개념을 바로 확인할 수 있는 문제들로 구성된 소단원 마무리를 지난 시점에서 제시되는 중단원 마무리에서는 조금 더 개념을 깊게 확인하기 위해 이전의 학습 과정이나 수학의 다른 영역과 연결성을 알아보는 문제로 구성되어 있었다. 이는 수학이 계통성 있는 학문이며, 논리적 구조의 구성을 가지고 있는 학문이라는 특성에 의한 것으로 보인다. 내적 연결성의 전략으로는 수직적 연결성의 ‘상호관련적 연결전략(V-C)’이 가장 많이 쓰이고 있었는데, 이는 특히 문자와 식 영역과 확률과 통계 영역에서 높게 나타나는 연결전략이었다. 셋째, 수학 외적 연결성의 경우 연결되는 내용과 관련하여 4가지 맥락인 수학사 맥락(H), 실생활 맥락(L), 타 교과 연결 맥락(C), 공학적 도구의 활용 맥락(T)에서 사용되는 전략의 비율을 각각 다르게 나타났다. 수학사 맥락의 경우 ‘연계적 연결전략(F2)’의 비율이 높게 나타났으며, 실생활 맥락은 ‘계열적 연결전략(F1)’과 ‘연계적 연결전략(F2)’의 비율이 각각 약 40%로 높게 나타났다. 타 교과 연결맥락의 경우에는 ‘계열적 연결전략(F1)’, ‘연계적 연결전략(F2)’, ‘조직적 연결전략(F3)’이 약 30~40%로 비슷한 비율을 보였다. 공학적 도구 활용 맥락은 ‘계열적 연결전략(F1)’이 약 50%로 가장 높게 나타났다. 넷째, 본 연구에서 분석한 10종의 교과서 모두 실생활 맥락(L)의 연결 비중이 가장 높게 나타남을 알 수 있었다. 본 연구의 분석대상 2266개 중 외적 연결성은 583개로 분류되었다. 외적 연결성 583개에서 391개가 실생활 맥락으로 분류되었는데, 약 67%의 비율로 전체의 50%가 넘는 비중을 차지하고 있었으며, 수학사 맥락(H)의 경우 약 5%, 타 교과 연결 맥락(C)과 공학적 도구의 활용 맥락(T)은 각각 약 11%, 16%를 나타냄을 통해 실생활 맥락이 수학 외적 연결 내용 중 가장 많은 연결성을 차지하고 있음을 알 수 있었다. 본 연구의 결과에 따른 결론은 다음과 같다. 첫째, 수학은 논리적인 선후 관계가 존재하는 계통성 있는 학문으로 학생들이 수학의 영역들을 독립적인 영역으로 구분하지 않고, 서로 연관되어 있음을 알고 이해할 수 있도록 영역 간의 내적 연결성의 연결 비중을 높일 필요가 있다. 둘째, 수학적 연결성의 다양한 경험을 위해 교과서에 제시된 활동에서 연결성이 고르게 구성되어야 할 필요가 있다. 본 연구결과에 따르면 외적 맥락의 경우 실생활 맥락에 치우쳐있음을 알 수 있었는데, 외적 맥락과의 연결에서 타 교과와 공학적 도구를 이용한 소재와 문제 상황, 활동 등을 다양한 연결전략을 이용하여 활발히 활용해야 한다. 2015 개정 교육과정 문서에도 타 교과와의 연결성, 공학적 도구의 활용은 주안점으로 제시되고 있음으로 이를 한쪽에 치우친 연결전략이 아닌 다양한 연결전략을 이용해 교과서에서 제시한다면 학생들은 수학의 필요성과 유용성을 알고 수학적 사고를 더 유연하게 다양한 상황에서 할 수 있게 될 것이다. 본 연구의 제한점은 다음과 같다. 본 연구에서는 2015 개정 교육과정을 지침으로 편찬된 중학교 2학년 수학교과서 10종(전 종)을 분석하였기 때문에 다른 년 도의 교육과정, 다른 학년의 수학교과서에 일반화하기 어려움이 있다. 또한 본 연구의 분석단위에 포함되지 않은 본문 내용, 유제, 연습문제에서의 수학적 연결성은 확인하기 어려움이 있다. 마지막으로 수학적 연결설의 형식적 측면의 경우 명확한 정의가 없으므로 이에 대하여 본 연구자와 다른 의견이 존재 할 수 있다. 본 연구는 위와 같은 제한점을 가지고 있음에도 수학적 연결성을 내용적인 측면과 형식적인 측면으로 나누어 어떤 내용이 교과서에서 연결되고 있으며, 이를 어떤 전략으로 나타내는지에 관한 분석을 통해 연결성의 내용과 전략을 알아보고자 함에 의의가 있다. 특히 중학교급에서 수학적 연결성을 내적 연결성과 외적 연결성으로 분류하여 교과서의 전 단원을 분석하였다는 점, 연결성을 형식적인 측면까지 분류하여 알아보고자 한 점에서 기존의 선행연구와 차별점이 있다. 본 연구를 통해 얻은 결과와 제한점을 통해 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 본 연구는 2015 개정 교육과정을 지침으로 편찬된 중학교 2학년 수학교과서만을 대상으로 분석하였다. 따라서 다양한 학년에서의 추가적인 연구가 필요하다. 둘째, 본 연구는 개정 교육과정에 따른 교과서를 분석한 문헌 연구이므로, 실제 수업에서 활용할 수 있는 자료 개발이나, 연결성을 인식해 더 다양한 사고를 위한 연결성 제시 전략에 대한 추가적인 연구가 필요하다. 셋째, 실제 수업에서 다룰 수 있는 연결성과 관련된 자료나 방법에 관한 연구와 연결성을 더 다양하게 제시할 수 있는 연결전략에 관한 추가적인 연구가 필요하다.