2015 개정 초등수학 교과서에 포함된 산술적 사고 요소 분석과 대수적 사고로의 연결

Abstract

빠르게 변화하는 사회 속에, 주변에서 일어나는 현상들을 분석하고 예측하며 해결하기 위해서는 대수적 사고가 필수적이다. 뿐만 아니라 대수는 전반적인 수학학습에 있어서도 기본이 되는 중요한 영역이다. 그러나 학교수학에서는 초등학교와 중학교를 경계로 구체적 수를 조작하는 산술과 추상적인 문자를 대상으로 형식적인 조작을 하는 대수로 구분된다. 이렇게 급작스러운 사고의 전환은 학생들로 하여금 인지적 부조화를 겪게 하고 대수학습을 더 어려워하도록 한다. 이에 산술에서 대수로의 성공적 전환을 위해 여러 연구들이 진행되었는데, 그 과정에서 형식적 대수학습을 시작하기 이전에 대수와 관련된 사고를 학습하도록 하자는 주장이 대두되었다. 대수를 일반화된 산술의 관점으로 보았을 때, 대수의 기본 원리들은 산술의 학습에 기반한다. 따라서 초등 산술에서 의미 있는 학습을 통해 대수적 사고로의 연결을 고려해볼 필요가 있다. 본 연구에서는 현행 교육과정에 따른 초등수학 교과서에 나타난 산술적 사고 요소의 분포를 분석하고 일반화된 산술의 관점에서 대수적 사고로의 연결을 탐구해보는 것을 목적으로 한다. 이에 다음과 같은 연구주제를 설정하였다. 1. 2015 개정 초등수학 교과서에서 산술적 사고는 어떻게 나타나 있는가? 1-1. 2015 개정 초등수학 교과서에서 산술적 사고는 영역별로 어떻게 나타나는가? 1-2. 2015 개정 초등수학 교과서에서 산술적 사고는 학년별로 어떻게 나타나는가? 1-3. 2015 개정 초등수학 교과서에서 산술적 사고는 요소별로 어떻게 나타나는가? 2. 일반화된 산술의 관점에서 각 교과서에 나타난 산술적 사고와 대수적 사고는 어떻게 연결할 수 있는가? 2-1. 2015 개정 중학교 수학1 교과서에서 대수적 사고는 요소별로 어떻게 나타나는가? 2-2. 교과서에 나타난 산술적 사고 요소에서 연결할 수 있는 대수적 사고 요소에는 어떤 것들이 있는가? 분석대상은 2015 개정 초등수학 교과서와 교사용 지도서, 그리고 중학교 1학년 수학 교과서이다. 먼저 초등학교 교과서의 경우, 초등과정 전반에 걸쳐 나타나는 산술적 사고 요소 확인을 위해 전영역을 분석범위로 하였으며, 분석 단위는 교과서의 본 차시 활동으로 제한했다. 기본적으로 활동 하나에 요소 하나를 대응시켰으며, 수행의 유형이 아닌 사고 활동에 초점을 맞춰 교과서를 분석했다. 분석 결과는 영역별, 학년별, 요소별로 나누어 살펴보았고다. 중학교 교과서의 경우, 중학교 대수 도입부분인 중학교 1학년 ‘문자와 식’ 영역을 분석범위로 하였으며, 분석 단위는 본문 문항으로 제한했다. 대수적 사고요소의 제시형태를 알아보기 위함에 따라, 각 문항에 포함되어 있는 모든 요소를 추출하였다. 본 연구가 일반화된 산술의 관점에서 산술과 대수 두 영역 간 사고의 연결을 목적으로 함에 따라 중등 교과서에서 나타나는 대수적 사고 요소의 제시형태를 분석하고 이와 연결할 수 있는 산술적 사고 요소를 분석하였다. 연구문제 1-1의 분석 결과, 대부분의 산술적 사고 요소가 ‘수와 연산’ 영역에 집중되어 있었다. 그 중 ‘수의 체계’와 관련된 학습에서는 수 관련 요소들만 발견되었는데, 기본 학습 흐름인 ‘수의 의미 이해하기(n1)’, ‘수 표현하기(n4)’, ‘수의 크기 및 계열 이해하기(n6)’ 위주로 분포되어 있었다. ‘수의 연산’과 관련된 학습에서도 마찬가지로 대부분 연산 관련 요소들만 발견되었는데, ‘연산의 의미와 원리 이해하기(o1)’, ‘연산 수행하기(o2)’, ‘상황을 수학적으로 모델링 하기(o11)’가 학습의 기본 흐름이었다. 그 외에 학습 내용과 연산의 특징에 따라 다른 요소들이 추가적으로 포함되어 있었다. 수와 연산을 제외한 나머지 영역에서는 ‘사칙연산 수행하기(o2)’, ‘식으로 표현하기(o5)’ 등 주로 산술적 사고의 수행과 관련된 요소들이 발견되었다. 연구문제 1-2의 분석 결과, 학년이 증가함에 따라 수와 연산 영역은 학년에 상관없이 꾸준한 수치를 나타내고 있었고, 나머지 네 영역에서는 학년이 증가함에 따라 산술적 사고 요소의 분포가 다양해졌다. 그러나 그럼에도 불구하고 전체적인 수치로 확인했을 때는 학년이 증가함에 따라 산술적 사고 요소가 줄어듬을 확인할 수 있었다. 또한 전반적으로 모든 학년에서 연산의 관계적 학습보다 수행과 관련된 요소가 더 많이 포함되어 있는 것을 확인했다. 이를 통해 산술의 특성상 기능적인 측면이 아직도 강조되고 있음을 알 수 있다. 연구문제 1-3과 2-1의 분석 결과를 토대로 교과서에 나타난 산술적 사고 요소에서 연결 가능한 대수적 사고 요소는 ‘대수적인 해석(A4)’, ‘변환 추론(A5)’, ‘연산 감각(A6)’, ‘양을 비교하는 양적 추론(E1)’, ‘분석적 사고(E5)’의 6가지로 도출되었다. 연구문제 1과 연구문제 2의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 산술학습에서 관계적인 측면의 사고가 강화되어야 한다. 산술에서 대수로의 이행에서 중요한 변화 중 하나가 관계적 사고이다. 따라서 성공적인 전환을 위해 산술에서 관계적 사고력을 증진시킬 필요가 있다. 둘째, 연산의 성질 중 곱셈의 결합법칙에 대한 학습이 이루어질 필요가 있으며, 연산의 성질들이 보다 더 명시적으로 다루어지고 관계적인 사고학습을 중심으로 이루어질 필요가 있다. 분석 결과, 곱셈의 결합법칙에 대해서는 한차례도 언급하지 않음을 확인했으며 나머지 성질도 인지적인 학습으로 이루지진 않고 있었다. 따라서 대수적 사고를 경험할 수 있는 적극적이고 지속적인 학습이 필요하다. 셋째, 빈칸을 이용한 식 세우기 활동이 강화되어야 한다. 형식적인 문자의 도입은 아니지만, 일반화된 산술 관점으로 초등과정에서 기호를 사용하는 보편산술의 교육이 이루어져야 한다. 넷째, 중등 대수학습에서 문자도입과 관련하여 변수의 개념에 대한 설명이 추가될 필요가 있으며, 문자도입과 관련하여 그 필요성과 유용성에 대한 활동이나 문항이 주어질 필요가 있다. 다섯째, 중등수학 교과서에 등호의 개념변화에 대해 명시적으로 인지할 수 있는 서술이 필요하다. 초등산술과 중등대수에서의 등호의 의미가 차이가 있고, 이와 관련하여 학생들도 학습의 어려움을 겪고 있음에도 불구하고, 교과서에 이에 대한 어떠한 설명도 다루어지지 않고 있다. 따라서 등호의 관계적 의미에 대한 인지적인 개념 설명이 서술될 필요가 있다. 본 연구의 의의 및 시사점은 다음과 같다. 첫째, 본 연구는 현행 2015 개정 교육과정에 따른 교과서를 대상으로 산술적 사고 요소를 전영역에 걸쳐 살펴보았다는 점에서 의미가 있다. 분석 결과를 영역별, 학년별, 요소별로 살펴봄에 따라, 여러 가지 측면에서 그 양상을 확인할 수 있었다. 둘째, 일반화된 산술의 관점에서 산술적 사고와 대수적 사고를 비교하여 그 연결성에 대한 탐구를 시도했다는 점에서 본 연구의 의의를 두고자 한다. 본 연구는 다음과 같은 제한점을 갖는다. 첫째, 본 연구에서는 분석 단위를 본 차시 활동으로 제한하였으며, 활동 하나에 한가지 요소로 한정했기 때문에, 분석 결과를 교과서 또는 교육과정 전체의 특징으로 보기에는 무리가 있을 수 있다. 둘째, 본 연구는 중학교 교과서 분석 시, 1학년만을 대상으로 하였으며 1종으로 제한하여 분석하였다. 셋째, 본 연구는 초기대수 교육에서 일반화된 산술과 사고 요소 간의 연결, 두 가지를 핵심으로 함에 따라, 보다 심도 깊은 분석으로까지 이어지지 못했다. 본 연구가 갖는 결론과 제한점을 바탕으로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 본 연구에서는 교과서의 본 차시 활동만을 대상으로 연구를 진행했지만, 단원의 도입, 놀이 수학, 단원평가, 탐구 수학, 교사용 지도서 등 다른 활동들도 포함시키면 본 연구에서 얻은 결과와 다른 결과를 얻을 수 있다. 둘째, 활동 하나가 한 가지 요소로만 분리될 수 있는 것이 아니므로, 각 활동이 잠재적으로 가진 모든 요소들을 그 활동의 요소로 포함시키면 결과가 달라질 수 있다. 셋째, 분석틀을 달리하면 다른 결과를 얻을 수 있다. 넷째, 중학교 전학년을 대상으로 하거나 교과서의 종류를 추가하여 분석하면 그 결과가 달라질 수 있다. 여섯째, 초등학교와 중학교의 산술적 사고와 대수적 사고의 차이점에 대해, 이론적 근거를 바탕으로 교과서를 분석하여 시사점들 도출해보는 것이 필요하다. 일곱째, 초등 산술학습에서 관계적인 학습의 강조와 연산에서의 지속적이고 적극적인 일반화 활동이 필요하다. 여덟째, 중등 대수학습에서 변수와 등호를 도입함에 있어서 각각의 개념이 명확하고 분명하게 서술될 필요가 있다. 또한 변수와 관련해서는 그 필요성에 대해 체감할 수 있는 활동들이 도입부에 포함되어야 할 필요가 있다. ;In a rapidly changing society, algebraic thinking is essential for analyzing, predicting and resolving phenomena happening around them. In addition, algebra is an important area that is fundamental to overall mathematics learning. In school mathematics, however, it is divided into arithmetic, which manipulates concrete numbers at the elementary and middle schools, and algebra, which performs formal manipulation on abstract characters. This sudden shift in thinking makes students experience cognitive dissonance and makes algebra learning more difficult. Accordingly, several studies have been conducted to successfully convert from arithmetic to algebra, and in the process, it has been argued that students should learn about algebra-related thinking before starting formal algebra learning. When looking at algebra from a generalized arithmetic perspective, the basic principles of algebra are based on arithmetic learning. Therefore, it is necessary to consider the connection to algebraic thinking through meaningful learning in elementary arithmetic. The purpose of this study is to analyze the distribution of arithmetic thinking elements in elementary mathematics textbooks according to the current curriculum and to explore the connection to algebraic thinking from a generalized arithmetic point of view. Accordingly, the following research topics were set. 1. How does arithmetic thinking appear in the 2015 revision of elementary mathematics textbooks? 1-1. How does arithmetic thinking appear in each of the 2015 revision elementary textbooks? 1-2. How does arithmetic thinking appear in grades in the 2015 Revised Elementary Mathematics textbook? 1-3. How does arithmetic thinking appear in elementary school mathematics textbooks in 2015? 2. How can arithmetic and algebraic thinking appear in each textbook from a generalized arithmetic perspective? 2-1. How does algebraic thinking appear in each element of the 2015 Revised Middle School Mathematics 1 textbook? 2-2. What algebraic thinking elements can be linked from the arithmetic thinking elements in textbooks? The analysis targets are the 2015 revised elementary mathematics textbook, teacher's guidebook, and junior high school math textbook. First, in the case of elementary school textbooks, the entire area was analyzed as an analysis scope to identify arithmetic thinking factors that appeared throughout the elementary school course, and the analysis unit was limited to the primary activity of the textbooks. Basically, one element was mapped to one activity, and textbooks were analyzed focusing on thinking activities rather than types of performance. The analysis results were divided into areas, grades, and factors. In the case of middle school textbooks, the “characters and expressions” section of the first year of middle school, which is the introduction of the number of middle school students, was defined as the scope of analysis, and the analysis units were limited to text items. In order to examine the presentation form of algebraic thinking elements, all elements included in each question were extracted. As the purpose of this study is to link thinking between arithmetic and algebra from the perspective of generalized arithmetic, the presentation form of algebraic thinking elements in secondary textbooks was analyzed and the arithmetic thinking elements that could be connected to them were analyzed. As a result of analysis of Research Question 1-1, most of the arithmetic thinking factors were concentrated in the “number and arithmetic” domain. Among them, only the number-related elements were found in learning related to the'number system'. The basic learning flows,'Understanding the meaning of numbers (n1)','Expressing numbers (n4)', and'Understanding the size and series of numbers (n6)'. Likewise, in learning related to'number operations', most of the elements related to operations were found,'Understanding the meaning and principle of operations (o1)','Performing operations (o2)', and'Mathematically modeling the situation (o11) 'It was the basic flow of learning. Other factors were additionally included depending on the learning contents and the characteristics of the operation. In areas other than numbers and arithmetic, factors related to the performance of arithmetic thinking, such as'performing arithmetic operations (o2)' and'expressing in expression (o5)', were found. As a result of the analysis of research questions 1-2, the number and operation area showed steady values ​​regardless of the grade level as the grade level increased, and the distribution of arithmetic thinking factors varied as the grade level increased in the remaining four areas. Nevertheless, when confirmed by the overall figures, it was confirmed that the factors of arithmetic thinking decreased as the grade increased. In addition, it was found that, in general, all grades contained more elements related to performance than relational learning of arithmetic. Through this, it can be seen that the functional aspect is still emphasized due to the nature of arithmetic. Based on the analysis results of research questions 1-3 and 2-1, the algebraic thinking elements that can be connected from the arithmetic thinking elements in textbooks are'algebraic interpretation (A4)','transformation reasoning (A5)', and'computation sense (A6)' ','quantitative reasoning comparing quantity (E1)' and'analytic thinking (E5)' were drawn. The following conclusions can be drawn from the results of Research Question 1 and Research Question 2. First, relational thinking must be strengthened in arithmetic learning. One of the important changes in the transition from arithmetic to algebra is relational thinking. Therefore, it is necessary to promote relational thinking skills in arithmetic for successful conversion. Second, it is necessary to learn the combination law of multiplication among the properties of operations, and the properties of operations need to be dealt with more explicitly and centered on relational thinking learning. As a result of the analysis, it was confirmed that the combination law of multiplication was not mentioned once, and the rest of the properties were not achieved by cognitive learning. Therefore, active and continuous learning is needed to experience algebraic thinking. Third, the activity of formulating blanks should be strengthened. It is not an introduction of formal characters, but education of universal arithmetic using symbols in elementary courses should be conducted in terms of generalized arithmetic. Fourth, in the case of secondary algebra learning, it is necessary to add a description of the concept of variables in relation to the introduction of characters, and it is necessary to provide activities or questions about the necessity and usefulness of the introduction of characters. Fifth, in the mathematics textbooks of the secondary mathematics, it is necessary to explicitly describe the concept change of equal sign. Although there is a difference in the meaning of the equal sign in elementary arithmetic and middle school algebra, and despite the difficulties of students in this regard, no explanation is given for textbooks. Therefore, it is necessary to describe the cognitive conceptual explanation of the relational meaning of the equal sign. The significance and implications of this study are as follows. First, this study is meaningful in that it examines the elements of arithmetic thinking across textbooks based on textbooks according to the current 2015 revised curriculum. As we looked at the analysis results by area, grade, and factor, we could confirm the pattern in various aspects. Second, the significance of this study is intended to compare arithmetic and algebraic thinking from a generalized arithmetic point of view and attempt to explore its connectivity. This study has the following limitations. First, in this study, the analysis unit was limited to this activity, and because it was limited to one element per activity, it may be unreasonable to view the analysis results as a characteristic of the textbook or the entire curriculum. Second, in this study, middle school textbooks were analyzed only for first graders and limited to one. Third, this study did not lead to a more in-depth analysis, as the core of the two was the connection between arithmetic and thinking elements generalized in early algebra education. Based on the conclusions and limitations of this study, I would like to make the following suggestions. First, in this study, the study was conducted only for the primary activity of the textbook, but if you include other activities such as the introduction of the unit, play mathematics, unit evaluation, inquiry mathematics, and teacher's guide, you will get different results from the results obtained in this study. Can. Second, since an activity cannot be separated into only one element, the result may be different if all elements potentially possessed by each activity are included as elements of the activity. Third, different results can be obtained by different analysis frameworks. Fourth, the results may be different if it is targeted to all middle school students or analyzed by adding the types of textbooks. Sixth, it is necessary to derive implications by analyzing textbooks based on the rationale for the difference between arithmetic and algebraic thinking in elementary and middle schools. Seventh, in elementary arithmetic learning, it is necessary to emphasize relational learning and to continuously and actively generalize activities in computation. Eighth, each concept needs to be clearly and clearly described in introducing variables and equal signs in secondary algebra learning. Also, when it comes to variables, activities that can be felt about the need need to be included in the introduction.