통계 영역에서 중·고등학생들의 적합선 개념 연구

Abstract

산점도는 실세계에서 두 변수 사이의 관계에 대해 시각적으로 표현하는 데 유용한 도구이다. 산점도를 통해 두 변수 사이의 관계를 파악할 수 있고, 관계를 나타내는 회귀직선을 이용해 미래의 예측 값을 구할 수 있다. 회귀직선은 적합선 중에서 가장 정교하고 복잡한 알고리즘을 거친 직선인데, 이 적합선은 산점도에서 점들이 하나의 직선으로 가까워질 때의 선을 의미한다. 즉, 산점도와 적합선은 결국 서로 밀접한 관련이 있는 중요한 개념이다. 본 연구의 목적은 교육과정 내에서 산점도와 함께 적합선 도입의 가능성을 모색하는 것으로 학생들이 상관관계의 방향, 강도 등을 단순히 암기하는 것이 아니라 산점도 내에서 적합선을 표현하는 활동을 통해, 학생들이 상관관계의 방향을 토대로 회귀직선의 기울기 및 그래프를 유추하고 이해하는 것을 목표로 하였다. 또한 기울기에 대한 용어를 처음 배우는 중학교 2학년 학생들과 학교 수학 교육과정에서 언급되는 모든 기울기 개념화를 학습한 고등학교 2학년 학생들을 대상으로 각 학교급에 따라 적합선을 그릴 때 직선을 그리는 기준 및 기울기 개념화의 사용에 차이가 있을지 확인하고자 하였다. 이에 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다. 1. 중 · 고등학생들이 이해한 적합선의 의미와 그린 기준은 무엇인가? 2. 중 · 고등학생들이 그린 적합선과 기울기 개념은 어떤 관계가 있는가? 3. 중 · 고등학생들이 이용한 적합선의 기울기 개념과 공변 추론은 어떤 관계가 있는가? 본 연구에서는 학업성취도에 대한 학생 평균 비율이 큰 중, 중하 수준 위주로 중학교 2학년 학생들과 고등학교 2학년 학생들을 연구 대상으로 선정하였다. 그후 학생들의 적합선에 대한 인식과 기울기 추론 및 공변 추론 수준을 알아보기 위해 문헌 연구를 통해 검사지를 개발하였다. 먼저 연구 문제를 위해 Casey(2015)의 과제들을 우리나라 중 · 고등학교 학생들에게 익숙한 문제 상황으로 변형하였다. 우선 Casey(2015)의 기존 연구에서는 총 4개의 과제로 검사를 진행하였는데, 본 연구에서는 기울기 개념화 및 공변 추론이 모두 드러나지 않은 과제를 제외한 3개의 과제로 검사지를 구성하였다. 또한 과제 1의 경우 기존 Casey(2015)의 연구에서는 골프공 소재로 상황을 제시하였는데, 골프공보다 농구공에 익숙한 우리나라 학생들을 위해 상황을 변경하였으며, 과제 2와 3에서는 놀이공원의 가격 및 방문객이라는 소재라는 익숙한 상황으로 변경하였다. 검사지 개발 후 서울 소재의 B 중학교 2학년 4명과 B 고등학교 2학년 1명, Y 고등학교 2학년 3명을 대상으로 검사를 진행하였다. 검사 진행 후 학생 각각마다 약 10분 정도 인터뷰를 실시하여 학생들이 과제를 수행할 때의 사고 과정을 분석하였다. 본 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 학생들은 이변량 값에 대한 산점도에서 적합선을 그려보는 활동을 접할 기회가 없었다. 산점도에서의 적합선을 그리고, 이에 대한 의미에 대해 이해한다면 단순히 수학 교육에서의 일차함수와 통계 교육에서 산점도를 이론적으로만 배우는 것이 아닌 자연스러운 연결을 통해 학생들이 실세계에서의 수학 및 통계적 연결을 파악하는 데 좋은 도구가 될 것이다. 즉, 산점도에서 적합선을 그리는 것은 실제 측정되는 값에서 대략적으로 수학적 모델링을 유추하고, 이에 대한 현상 및 두 변수 사이의 관계를 고려하는 공변 추론의 경험 또한 제공될 것이다. 둘째, 중학교 2학년 학생들은 적합선을 점들의 평균값을 나타내는 수단으로 생각하여 처음과 끝점을 연결하거나 최대/최솟값을 나타내는 두 점을 연결 또는 최대/최솟값 사이를 적합선으로 표현하는 경향이 있었다. 산점도에 적합선을 도입하여 중학교 3학년 교육과정에서 대푯값을 학습한 후 하나의 값을 나타내는 수단에 대해 공식으로만 익히는 것이 아니라 대푯값의 시각적으로 표현하는 경험이 필요하다. 셋째, 중학교 학생들의 경우, 함수적 성질에 대한 기울기 개념화를 학교 교육과정 내에서 학습하였지만 개념화 사용 빈도에 대해 고등학교 학생들에 비해 현저히 적음을 확인하였다. 따라서 일차함수에 대해 처음 학습하는 중학교 교육과정에서 두 변수의 관계에 대해 학생들이 인지할 수 있도록 함수적 성질에 대한 다양한 표현 방법(언어, 그래프 등)에 대해 언급할 필요가 있다. 넷째, 중 · 고등학교 교육과정 내에서 학습하는 기울기 개념화에 대한 학습량은 다르지만 각자 학교급에 맞게 학습한 개념을 바탕으로 동일한 공변 추론 수준에 도달할 수 있음을 확인할 수 있었다. 따라서 현재 학교급에 해당되는 추론 가능한 과제를 제공하여 공변 추론 능력을 함양할 필요가 있다. 위와 같은 결론을 통해 현재 ‘산점도와 상관관계’ 학습 과정에서 적합선 개념 도입에 대해 제언을 줄 수 있다. 첫째, 산점도에서 상관관계를 확인하고, 이후 상관관계를 이용해 적합선을 유추하는 학습할 수 있도록 산점도에서 ‘적합선’의 학습 개념을 도입할 필요가 있다. 둘째, 상관관계의 성취 기준을 ‘자료를 산점도로 나타내고, 이를 이용하여 상관관계를 말할 수 있다.’ 이외에 ‘상관관계를 이용하여 두 변량 사이의 관계를 적합선으로 나타낼 수 있다.’ 내용도 추가하여 두 가지 성취 기준을 제시할 것을 제안한다. 셋째, 적합선은 산점도에서 일차함수를 추론하는 것이다. 중학교 2학년 1학기에서 일차함수 학습 후 3학년 2학기에 산점도에 대해 학습한다면, 배운 학습 내용과 격차가 생기기 때문에 3학년 2학기에 있는 ‘통계’ 단원을 중학교 2학년 2학기로 이동할 필요가 있다.;Scatterplot is a useful tool for visually expressing the relationship between two variables in the real world. Scatterplot shows the relationship between two variables, and the regression line representing the relationship can be used to obtain the predicted values for the future. The regression line is a straight line through the most sophisticated and complex algorithm of the fitted line, which means the line when the points on the scatterplot get closer to one straight line. In other words, scatterplots and fitted lines are ultimately important concepts that are closely related to each other. The purpose of this study was to explore the possibility of fitted lines with scatterplots within the curriculum, and to infer and understand the slope and graph of the regression line based on the direction of the correlation, through activities in which students express fitted lines within the scatterplot rather than simply memorizing the direction and intensity of the correlation. It was also intended to check whether there would be any differences in the use of straight lines and slope conceptualization when drawing fitted lines according to each school level for the first time middle school sophomores who learned the term for slope and high school sophomores who learned all the slope conceptualization mentioned in the school mathematics curriculum. Thus, the study questions were set up as follows: 1. What is the meaning and green standard of the fitted line understood by middle and high school students? 2. What is the relationship between the fitted line and the tilt concept drawn by middle and high school students? 3. What is the relationship between the slope concept of the fitted line used by middle and high school students and the covariate inference? In this study, middle and high school second graders were selected for the study mainly at the middle and lower levels of the average ratio of students to their academic performance. The test site was then developed through the literature study to identify the students' perception of the fitted line and the level of slope inference and covariate inference. First of all, the tasks of Casey (2015) were transformed into problems that middle and high school students in our country are familiar with. First of all, the previous study in Casey (2015) conducted a total of four tasks, which consisted of three tasks, excluding those that did not reveal both slope conceptualization and covariate inference. In addition, in the case of Task 1, the existing study of Casey (2015) presented the situation as a material for golf balls, but changed the situation for Korean students who are more familiar with basketball than golf balls, and in Tasks 2 and 3, it was changed to the familiar situation of amusement park price and visitor material. After the development of the test site, the test was conducted on four second graders of B Middle School in Seoul, one second graders of B High School, and three second graders of Y High School. After the examination, each student was interviewed for about 10 minutes to analyze the accident process when the students performed the task. The conclusions obtained from this study are as follows. First, students did not have the opportunity to experience activities to draw fitted lines on scatterplots for binary values. Drawing the fitted line in a scatterplot and understanding the meaning of it would be a good tool for students to grasp the mathematical and statistical connections in the real world through natural connections, rather than simply learning the primary function in math education and the scatterplot in statistical education. In other words, drawing a fitted line on a scatterplot will also provide an experience of covariate inference to the approximate mathematical modelling from the actual measured values, taking into account the phenomena for it and the relationship between the two variables. Second, second-grade middle school students tended to consider the fitted line as a means of representing the average value of the points, linking the first and the end points or expressing the two points representing the maximum/maximum values as the fitted line between the maximum/maximum values. It is necessary to introduce a fitted line on a scatterplot to learn the sign value in the third year of middle school, and then experience visual expression of the sign value rather than just learning the formula for the means of indicating a single value. Third, for middle school students, the slope conceptualization of functional properties was studied within the school curriculum, but it was confirmed that the frequency of use of conceptualization was significantly less than that of high school students. Therefore, it is necessary to mention various ways of expression (language, graph, etc.) of functional properties so that students can be aware of the relationship between the two variables in the middle school curriculum, which is first learned about the primary function. Fourth, the amount of learning about the conceptualization of slope learning within the middle and high school curriculum was different, but it was confirmed that each could reach the same level of covariant reasoning based on the concepts learned according to the school level. Therefore, it is necessary to develop covariate reasoning skills by providing inferenceable tasks corresponding to the current school level. The above conclusions allow suggestions in the current 'correlation with scatterplot' learning process. First, it is necessary to introduce the learning concept of 'fit line' in the scatterplot so that correlation can be checked on the scatterplot and later learned to infer the fitted line using the correlation. Second, it is suggested that the achievement criteria of the correlation be presented in addition to 'representing the data in a scatterplot, which can be used to describe the correlation between the two variants as a fitted line' and 'using the correlation'. Third, the fitted line is to infer the primary function from the scatterplot. If you learn about the scatterplot in the first semester of the second year of middle school and then in the second semester of the third year, you need to move the "statistics" unit in the second semester of the third year to the second semester of the second year of middle school because there is a gap between what you have learned.