예비 및 현직 중등 수학교사의 증명 읽기와 이해에 대한 연구

Abstract

본 연구는 예비 및 현직 중등 수학교사들이 증명 이해를 위해 활용하는 증명 읽기 전략을 조사하고 추상대수의 제1동형정리를 중심으로 증명을 읽고 이해하는 정도와 특징을 살펴봄으로써, 수학적 증명 이해를 돕기 위한 기초적인 연구를 수행하고 시사점을 도출하고자 하였다. 이러한 목적 하에서, 연구 문제는 다음과 같이 설정하였다. 1. 예비 중등 수학교사와 현직 중등 수학교사가 증명을 이해하기 위해 활용하는 수학적 증명 읽기 전략은 무엇인가? 또한, 두 집단 간에는 차이가 있는가? 2. 예비 중등 수학교사와 현직 중등 수학교사의 추상대수의 제1동형정리에 대한 증명 이해는 어떠한가? 2-1. 예비 중등 수학교사와 현직 중등 수학교사가 추상대수의 제1동형정리 및 그 증명을 읽고 이해하는 정도는 어떠한가? 또한, 두 집단 간에는 차이가 있는가? 2-2. 예비 중등 수학교사와 현직 중등 수학교사가 추상대수의 제1동형정리 및 그 증명을 읽고 이해함에 있어 어떤 특징이 있는가? 3. 수학적 증명 읽기 전략과 수학적 증명 이해 사이에는 상관관계가 있는가? 이들 연구 문제에 답하기 위해, Yang(2012)의 연구에 따라 수학적 증명 읽기 전략의 요소를 선정하고 수학적 증명 읽기 전략 설문지를 제작하였고, Mejia-Ramos외(2012)의 AMPCUM에 따라 수학적 증명 이해의 요소를 선정하고 수학적 증명 이해 검사지를 제작하였다. 그 후, 21명의 예비 중등 수학교사와 17명의 현직 중등 수학교사를 대상으로 온라인 형태의 검사를 실시하였다. 그리고 연구 문제 1에 대한 결과를 얻기 위해, 수학적 증명 읽기 전략 설문지에 대한 연구 참여자들의 응답을 빈도 분석하였다. 연구 문제 2에 대한 결과를 얻기 위해, 수학적 증명 이해 검사지에 대한 연구 참여자들의 응답을 채점한 후 빈도 분석, 질적 분석, 독립표본 t-검정 및 상관 분석하였다. 끝으로, 연구 문제 3에 대한 결과를 얻기 위해, 수학적 증명 읽기 전략 설문지와 수학적 증명 이해 검사지에 대한 연구 참여자들의 응답을 상관 분석하였다. 먼저, 연구 문제 1에 대한 분석 결과, 예비 및 현직 중등 수학교사들은 다양한 증명 읽기 전략을 활용하고 있었다. 이러한 결과는 수학교사들이 증명을 이해하기 위해 다양한 방법으로 노력을 기울임을 시사한다. 그리고 증명 이해를 위해 다양한 읽기 전략을 사용할 수 있는 교사는 교육적인 차원에서 자신의 학생들이 교과서 등에 쓰인 수학적 텍스트를 읽고 이해함에 있어 어려움을 겪을 때 더 많은 안내를 할 수 있을 것으로 예상되기 때문에 중요하다고 할 수 있다. 또한, 예비 교사들에 비해 현직 교사들이 전반적으로 더 다양한 증명 읽기 전략들을 활용하는 편이었다. 이는 수학적 증명 이해를 위해 예비 교사와 현직 교사가 활용하는 증명 읽기 전략이 다를 수도 있음을 시사한다. 이와 같은 결과를 설명할 수 있는 추측 중 하나는 학교수학과 대학수학에서의 증명은 그 성격이 다르기 때문에(Weber & Alcock, 2009), 학교수학에서 활용하는 증명 읽기 전략과 대학수학에서 활용하는 증명 읽기 전략이 다를 수도 있다는 것이다. 이에 대하여 후속 연구로서 탐구할 수 있을 것이다. 연구 문제 2에 대한 분석 결과, 본 연구에 참여한 수학교사들 다수는 환에서의 제1동형정리 및 그 증명을 제한적으로 이해하였다. 개별 진술의 정당성(D3)에 대해 적절한 이해를 보인 수학교사는 없었으며, 증명을 제한적으로 이해하고 있음을 보여주는 또 다른 주요 지표는 이들 다수가 증명 예시문에서 으로부터 의 사상이 일대일 사상임을 보이기 위해 활용한 아이디어를 이해하지 못 하였다는 사실이다. 이러한 결과는 수학 관련 전공의 학부생(예, Demeke & Chaar, 2015; Demeke, 2016; Kolahdouz 외, 2019; Lestyanto 외, 2020) 및 중등 수학교사(Stylianides 외, 2017)들이 수학적 증명 이해에 어려움을 겪는다고 밝힌 선행 연구들의 결과와 일치한다. 특히, 본 연구는 동일한 정리에 대해 동일한 평가 문항으로 예비 교사와 현직 교사 두 집단을 동시에 연구하였는데 두 집단 사이에 증명 이해 정도에는 유의한 차이가 없다는 분석 결과는 예비 교사와 현직 교사는 학부 수준의 수학적 증명을 읽고 이해하는 수행 능력이 비슷하며, 두 집단 모두 증명 이해의 여러 차원에서 어려움을 겪고 있다는 것을 시사한다. 증명 이해와 증명 구성은 서로에게 도움을 주며 증명 검증과 증명 평가를 위해서는 증명 이해가 반드시 선행되어야 한다(Selden & Selden, 2015)는 점에서 수학적 증명 이해는 증명 학습과 관련하여 중요한 활동이라고 할 수 있다. 게다가 대학 수준의 수학교육 과정은 증명이 기본적인 구성요소이며(Moore, 2016), 증명을 읽고 이해하는 활동은 주된 교수ㆍ활동 중 하나이다. 따라서 증명을 읽고 이해하는 능력이 제한적인 경우, 대학수학을 학습하는 것 자체에 어려움이 있을 수밖에 없다. 또한, 수학교사들은 학교 현장에서 자신의 학생들이 작성한 수학적 텍스트를 읽고 옳고 그름을 판단할 수 있어야하기 때문에 수학적 텍스트를 읽고 이해할 수 있는 능력은 중요하다. 따라서 대학 수준의 수학교육과정에 있는 학생들의 증명 이해를 돕기 위해 관심을 가질 필요가 있어 보인다. 대학수학교육 현장에서 학생들의 수학적 증명 이해를 돕기 위한 방안 한 가지는 AMPCUM을 활용하는 것이다. 그리고 국내에서는 AMPCUM를 바탕으로 하여 증명 이해를 평가하거나 분석하는 수학교육 연구가 없었는데, AMPCUM과 같이 증명 이해를 보다 타당한 방식으로 분석할 수 있는 이론적 틀을 도입하여 증명 이해를 평가 및 분석하는 여러 연구들이 이루어져야 할 것이다. 연구 문제 3에 대한 분석 결과, 수학적 증명 이해 정도와 수학적 증명 읽기 전략의 활용 정도 사이에는 유의한 상관관계가 없었다. 이로 미루어볼 때, 수학적 증명 읽기 전략을 활용하는 것이 반드시 증명 이해를 돕는 것은 아니다. 수학적 증명 이해를 도울 수 있는 요인을 찾는 것은 수학적 증명 이해를 돕기 위한 중요한 문제이며, 비록 본 연구에서 다루고 있는 수학적 증명 읽기 전략은 예비 및 현직 교사들의 수학적 증명 이해와 상관이 없다는 결과가 도출되었으나, 본 연구의 결과는 증명 이해와 관련이 있는 요인으로 가능한 후보들을 추려내는 연구의 일부가 될 수 있다. 수학적 증명을 어떻게 읽고 어느 정도 이해하는지 등과 같은 증명 이해에 대한 대학 수학교육 연구는 거의 수행되지 않았다(Demeke, 2016). 국내에서 수행된 수학교육 연구 더욱 없었다. 따라서 본 연구는 수학적 증명 이해에 관한 기초적인 연구를 수행하였다는 점에서 의의가 있다. 게다가 학부생들을 위주로 증명 이해를 탐구한 선행 연구들과 달리, 본 연구는 현직 교사의 증명 이해까지도 분석하였다는 점에서 의의가 있다. 한편, 본 연구의 제한점은 다음과 같다. 첫째, 본 연구의 수학적 증명 이해 검사의 서술형 문항에 대한 응답 방식으로 인해, 자료를 수집하는 방법에 있어서 제한점이 있을 수 있다. 둘째, 수학적 증명 읽기 전략 설문지는 각 문항들에 대해 1(전혀 아니다)에서부터 5(매우 그렇다)의 5점 리커트 척도를 활용하여 수학교사들이 스스로 인식하는 증명 읽기 전략의 활용 정도를 측정하였다. 따라서 응답이 다소 주관적일 수 있다는 제한점을 지닌다. 만약, 증명 읽기 전략의 활용 정도를 탐구하는 후속 연구를 실시한다면, 보다 객관적인 지표를 활용하여 연구 참여자들이 응답하도록 할 수 있을 것이다. 셋째, 수학적 증명 이해 검사의 경우, 문항이 묻는 바와 형태에 따라 연구 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어, 연구 참여자들에게 증명의 핵심 아이디어 및 접근법을 포함하여 증명을 요약하라고 요구하는 것이 아니라, 본 연구의 증명 예시문을 요약한 몇 개의 선지들을 제공한 후, 이들 중 증명을 가장 잘 요약한 선지를 선택하라고 요구하였더라면 다른 결과를 얻을 수도 있었을 것이다. 또한, 본 연구에 참여한 예비 및 현직 수학교사들은 총 38명이며, 추상대수학의 단 하나의 증명에 대해서만 연구 참여자들의 증명 이해 정도를 탐구하였다. 따라서 결과를 해석하고 일반화하는 것에 있어 제한점을 지닌다. 더 많은 연구 참여자들을 대상으로 추상대수학뿐만 아니라 해석학, 위상수학 등 다른 여러 수학 영역의 증명들에 대해 이해를 분석하는 후속 연구가 실시되기를 기대한다. 끝으로, 본 연구는 온라인 검사라는 한 가지 방법을 통해서만 자료를 수집하였다. 그런데 연구 참여자들마다 수학적 증명 이해 검사 문항에 대해 자세히 서술하는 정도가 달랐다. 따라서 학생들의 증명 이해를 측정 또는 평가하는 후속 연구에서는 증명 이해 검사 후 1:1 인터뷰를 실시하는 등의 보다 다양한 방법으로 자료를 수집하고 연구 참여자들의 증명 이해의 실제를 분석할 것을 제언한다. ;This study was intended to carry out basic research and draw implications to help mathematical proof comprehension by examining the proof reading strategies used by pre-service and in-service secondary school math teachers to understand the proof and by examining the degree and characteristics of reading and understanding the evidence around the First Isomorphism Ring Theorem of abstract algebra. For this purpose, the research problem was set up as follows: 1. What is the mathematical proof reading strategy used by pre-service secondary math teachers and in-service secondary math teachers to comprehend the proof? Also, are there differences between the two groups? 2. What about the proof of the First Isomorphism Ring Theorem of abstract algebra for pre-service secondary and in-sevice secondary school math teachers? 2-1. How much do pre-service secondary and in-service secondary school math teachers read and comprehend the First Isomorphism Ring Theorem and its proof of abstract algebra? Also, are there differences between the two groups? 2-2. What are the characteristics of pre-service secondary and in-service secondary school math teachers in reading and comprehending the First Isomorphism Ring Theorem and its proof of abstract algebra? 3. Is there a correlation between mathematical proof reading strategies and comprehending mathematical proofs? To answer these research questions, the elements of the mathematical proof reading strategy were selected according to the study by Yang(2012), the mathematical proof reading strategy questionnaire was produced, and the elements of mathematical proof comprehending were selected according to AMPCUM of Mejia-Ramos, et al.(2012) and the mathematical proof comprehending test paper was produced. Then, an online form of examination was conducted on 21 pre-service secondary math teachers and 17 in-service secondary math teachers. In order to obtain results for Study Question 1, the study participants' responses to the Mathematical Proof Read Strategy questionnaire were analyzed with frequency. In order to obtain results for study question 2, frequency analysis, qualitative analysis, independent sample t-test and correlative analysis were performed after grading the study participants' responses to the mathematical proof comprehension test paper. Finally, in order to obtain results for study question 3, the responses of study participants to the mathematical proof reading strategy questionnaire and mathematical proof comprehension test paper were correlated. First of all, as a result of the analysis on research question 1, pre-service secondary and in-service secondary school math teachers were utilizing various proof reading strategies. These results suggest that math teachers make efforts in various ways to comprehend the proof. And teachers who can use various reading strategies to comprehend proofs are important because they are expected to be able to provide more guidance when their students have difficulty reading and understanding mathematical texts written on textbooks and others. In addition, current teachers tend to use more diverse proof reading strategies overall than pre-service teachers. This suggests that the verification reading strategies used by pre-service and in-service teachers to understand mathematical proof may be different. One of the assumptions that can explain this result is that proof in school math and college mathematics is different (Weber & Alcock, 2009), so the proof reading strategies used in school math and the proof reading strategies used in university mathematics may be different. This could be explored as a follow-up study. As a result of the analysis of study question 2, many of the math teachers who participated in this study understood the First Isomorphism Ring Theorem and its proof in a limited way. There were no math teachers who had a proper understanding of the justification of individual statements(D3), and another key indicator of their limited understanding of the evidence was that many of these did not understand the idea used to show that the specific key idea of proof-one. These results are consistent with the results of prior studies that revealed that undergraduates (e.g., Demeke & Chaar, 2015; Demeke, 2016; Kolahdouz et al, 2019; Lestyanto et al., 2020) and secondary math teachers (Stylianides et al., 2017) have difficulty understanding mathematical proof. In particular, the analysis shows that two groups of pre-service and in-service teachers studied the same theorem simultaneously with the same assessment questions and that there is no significant difference in the degree of understanding evidence between the two groups suggests that pre-service and in-service teachers have similar performance skills to read and understand undergraduate-level mathematical proofs, and that both groups are struggling at different levels of understanding evidence. Comprehending proof and constructing proof help each other, and comprehending proof must precede verification and evaluation proof(Selden & Selden, 2015) is an important activity in relation to proof learning. Moreover, the university-level math curriculum is a fundamental component of proof(Moore, 2016), and the activity of reading and understanding proof is one of the main teaching and learning activities. Therefore, if the ability to read and understand the evidence is limited, there will be difficulties in learning university mathematics itself. Also, the ability to read and understand mathematical texts is important for math teachers to be able to read and judge right and wrong by reading mathematical texts written by their students at school sites. Therefore, it seems necessary to pay attention to help students in the college-level math curriculum understand their credentials. One way to help students understand mathematical proofs in the field of college mathematics education is to use AMPCUM. In addition, there was no mathematics education study to evaluate or analyze the understanding of proof based on AMPCUM in Korea, but like AMPCUM, various studies should be conducted to evaluate and analyze the understanding of proof by introducing a theoretical framework that can analyze the understanding of proof in a more reasonable way. As a result of the analysis of study question 3, there was no significant correlation between the degree of understanding of mathematical proof and the degree of utilization of mathematical proof reading strategies. Judging from this, using a mathematical proof reading strategy does not necessarily help to understand the proof. Finding factors that can help to understand mathematical proof is an important issue to help understand mathematical proof, and although the results of this study have been derived that the mathematical proof reading strategy addressed in this study has nothing to do with the mathematical proof understanding of prospective and incumbent teachers, the results of this study may be part of the study to identify possible candidates as factors related to the proof understanding. Few university mathematics education studies have been conducted on proof comprehending, such as how to read and understand mathematical proofs to some extent(Demeke, 2016). There was no more research on mathematics education conducted in Korea. Therefore, it is meaningful that this study carried out a basic study on comprehending mathematical proofs. In addition, unlike previous studies that mainly explored undergraduates' understanding of proof, this study is meaningful in that it even analyzed in-service teachers' understanding of proof. Meanwhile, the limitations of this study are as follows: First, due to the response to descriptive questions in the mathematical proof comprehension test of this study, there may be limitations in the way data is collected. Second, the mathematical proof reading strategy questionnaire used a five-point Likert scale of 1 (not at all) to 5 (very so) for each question to measure the degree of utilization of the self-recognized attestation reading strategy by math teachers. Therefore, there is a limitation that the response may be somewhat subjective. If a follow-up study was conducted to explore the degree of utilization of the attestation reading strategy, more objective indicators could be used to get participants to respond. Third, in the case of a mathematical proof understanding test, the results of the study may vary depending on the type and the question asked. For example, other results could have been obtained if participants in the study were not required to summarize the proof, including the main ideas and approaches of the attestation, but to select the best summarizing of the proof of the study after providing a few cactus summarizing the proof. In addition, a total of 38 math teachers participated in this study, and only one proof of abstract algebra was explored by the participants in the study. Therefore, there is a limitation in interpreting and generalizing the results. It is hoped that more study participants will be followed up to analyze their understanding of the evidence in various other mathematical fields, such as Analysis and Topology, as well as abstract algebra. Finally, this study collected data only through one method: online inspection. However, the level of detailed description of the mathematical proof comprehension test questions was different for each study participant. Therefore, a follow-up study that measures or evaluates students' understanding of attestation suggests that data be collected in more diverse ways, such as conducting 1:1 interviews after proof comprehension tests, and analyzing the actual facts of proof understanding by study participants.