Two ideals I^(n) and J_(n) in a Witt ring

Abstract

Let φ be a quadratic form over a field F of characteristic different from 2. Then we decompose it φ ㅁ r x H ㅁ φ_(0), where r=ind(φ) and φ_(0)=ker(φ). Continuing this process, we can also build a generic splitting tower of φ: F = K_(0) ⊂ K_(1) ⊂ K_(2) ⊂ ...... ⊂ K_(h), where i_(m) m-th indext of φ, φ_(m) m-th kernel form of φ, φ_(h-1) leading form of φ and K_(h-1) leading field of φ, which is related with a Pfister form. Let W(F) be a Wittring of F. I^(n)(F) is an ideal of W(F) which is additively generated by n-fold Pfister forms and J_(n)(F) is also an ideal which consists of quadratic forms with degree ≥ n. We compare I^(n) and J_(n) for any n, knowing that I^(n) = J_(n) for n=1, 2. Let K=F(√d) be a quadratic extension field of F. Then there is a homomorphism by the functoriality of W(F). It is shown that ker(W(F) → W(F(√d))) = <1, -d>·W(F) Using this result we study the behaviour of the degree fuction and a leading form of φ in ker(W(F) → W(F(√d))).;φ를 characteristic이 2가 아닌 체 위에서의 2차 동형식이라 하자. 그러면 φ ㅁ r x H ㅁ φ_(0)와 같이 나타낼 수 있는데 r=ind(φ)이고 φ_(0)=ker(φ)이다. 이와 같은 과정을 계속하여 다음과 같은 φ의 generic splitting tower를 얻을 수 있다. F = F_(0) ⊂ F_(1) ⊂ ...... ⊂ F_(h) 여기서 i_(m)은 φ의 m번째 index이고 φ_(m)은 m번째 kernel form이고 φ_(h-1)은 φ의 leading form이며 F_(h-1)은 φ의 leading field인데 이것은 Pfister form과 관계가 있다. W(F)을 F의 Witt ring이라 하자. I^(n)(F)는 n-fold Pfister form에 의해서 생기는 W(F)의 한 ideal이고 J_(n)(F)는 degree가 n보다 크거나 같은 2차 동형식들로 이루어진 또 하나의 W(F)의 ideal이다. 우리는 n이 1과 2일 때 I^(n)과 J_(n)이 같아짐을 알고 또 다른 모든 n에 대해서 I^(n)과 J_(n)을 비교하고자 한다. K를 F 위에서의 2차 확대체라고 하자. 즉 K=F(√d) 그러면 F에서 F(√d)로 가는 inclusion mapping에 의해 유도된 W(F)에 의해서 W(F(√d))로 가는 homomorphism이 존재한다. ker(W(F) → W(F(√d))) = <1, -d>·W(F) 라는 사실은 [7]과 [12]에서 이미 증명된 바 있다. 이러한 결과들을 이용하여 이 논문에서는 ker(W(F) → W(F(√d)))에 속하는 동형식의 degree function과 leading form에 대해서 연구하였다.