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Class groups of cyclic extensions over the rational function field

Class groups of cyclic extensions over the rational function field
Other Titles
Rational 함수체에서의 순환 함수체 분류군 구조
Issue Date
대학원 수학과
이화여자대학교 대학원
We study the structure of the l-class groups of cyclic extensions over the rational function field F_q(T) of prime degree l, where F_q is the finite field of order q: that is, Kummer extensions and Artin-Schreier extensions. The purpose of this study mainly have two parts: first, we explicitly determine a lower bound on the l^3-ranks of the ideal class groups and the divisor class groups of cyclic function fields of prime degree l by finding explicit and feasible algorithms. In particular, in the case that l=2, we obtain the full 2^3-rank of the ideal class group and the divisor class group of any cyclic function field of degree 2. We illustrate our results by presenting a few examples in various cases depending on the ramification behavior of the infinite prime of F_q(T).;본 연구에서는 표수가 p인 rational 함수체에서 차원이 소수 l인 순환 확대체-Kummer 확대체 또는 Artin-Schreier 확대체의 분류군 구조를 규명한다. 이를 위해, 본 학위 논문은 크게 두 가지 부분으로 구성되어 있다. 첫째, 명확한 알고리즘을 제시함으로써 차원이 소수 l인 순환 확대체의 아이디얼 유군 (ideal class group)과 인자 유군 (divisor class group)의 l^3 계수 하한을 결정한다. 특히, l이 2인 경우에는 차수가 2인 순환 함수체의 아이디얼 유군과 인자 유군의 전체 2^3 계수를 얻는다. 둘째, Kummer 확대체의 인자 유수 (divisor class number)가 차원 l로 나누어지지 않는 필요충분조건을 찾는다. 더 나아가서, 인자 유수가 l에서 1과 congruent하다는 사실을 보인다. 이에 대한 응용으로, 인자 유수가 차원 l에 의해서 나누어지는 원분 함수체의 infinite family를 구성한다.
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