Hybridization Effects of Normal Insulators on Quantum Spin Hall Insulators in Kane-Mele Model

Abstract

We examine topologically protected phases in a system composed of quantum spin Hall insulators (QSHIs) described by Kane-Mele (KM) model and normal insulators with the staggered lattice potential. We pay attention to changes in edge states at the interface between a QSHI and a normal insulator in a way that we control two external parameters. We find topological phase transitions between topologically nontrivial and trivial phases. The phases are characterized by their topological invariants computed by the shape of Fermi surfaces or by Wannier charge center (WCC) method; the latter is useful especially for non-centrosymmetric system. The first system that we consider is a geometry where a QSHI and a normal insulator are in contact with each other on the same plane. We show that our numerical results in finite systems approach analytic results of an earlier work. We discuss the effects of properties of normal insulators on probability density of edge states at the interface. The effective edge-state width is computed by varying parameters, the interface hopping and the staggered lattice potential. We also attempt to explain energy dispersions of edge states by constructing effective Hamiltonian and address an issue of origin of a discrepancy which appears when the interface hopping is large enough. We also examine a QSHI stacked on a two-dimensional normal insulator caused by the staggered lattice potential. We present a phase diagram in a two-dimensional parameter space spanned by the interface hopping and the staggered lattice potential. We construct an effective Hamiltonian for edge states and find that its energy dispersion reproduces well the results of full Hamiltonian in a wide range of parameters. We compute effective edge-state width and discuss the origin of the discrepancy when effective dispersion shows a significant deviation from that of full Hamiltonian. Finally, we propose a realization of Weyl semimetal (WSM) phase in the superlattice composed of QSHIs sandwiched by two-dimensional normal insulators as a spacer layer. We first consider a well-known case where QSHIs are stacked vertically and examine bulk energy dispersion, energy dispersion in ribbon geometry, and Fermi surface. In the presence of normal insulators, we observe a linear dispersion in low-lying excitations of bulk dispersion, which is one of manifestations of Weyl semimetal phase. We also examine energy dispersions in zigzag-edged ribbon structure and the shape of Fermi surface. In order to identify the topological invariant of insulating regime, we adopt the Wannier charge center (WCC) method. In WSM regime, Fermi arcs and chiral charges are also discussed. All the results are summarized in a one-dimensional phase diagram at the end.;이 논문에서는 양자 스핀홀 절연체와 엇갈림 격자 퍼텐셜에 의한 2차원의 보통 절연체가 접촉함으로써 나타나는 위상학적으로 보호받는 상들을 케인-멜레 모형을 이용하여 연구한 내용을 기술하였다. 경계면 깡충뛰기와 엇갈림 격자 퍼텐셜, 이 두 외부 변수에 따른 양자 스핀홀 절연체와 보통 절연체 사이의 경계면의 끝머리 상태의 변화에 대해 주목하였다. 또한, 페르미 면의 모양을 확인하거나, 반전 대칭성이 없는 계에 대해서는 와니어 전하 중심 방법을 이용하여 위상 불변수를 확인함으로써 위상학적으로 뻔한 상과 안 뻔한 상을 특정하고, 그 두 상 사이에서 위상 상전이가 나타남을 관찰하였다. 먼저 양자 스핀홀 절연체와 보통 절연체가 같은 평면 위에서 서로 끝머리를 접촉하고 있을 때 그 접촉면에서의 끝머리 상태에 대한 연구 결과를 논의하였다. 우선, 이전 연구 결과에서 얻어진 해석적 해와의 비교를 통해 리본 구조를 고려하는 경우의 연구에서 유한 크기 효과를 피하기에 충분한 리본의 너비에 대해 논의하였다. 또한, 경계면 깡충뛰기와 엇갈림 격자 퍼텐셜에 따른 경계면에서의 끝머리 상태의 확률 밀도 분포와 끝머리 상태 너비의 변화에 대해서도 기술하였다. 그리고 온 에너지 분산과 유효 에너지 분산을 계산하고 경계면 깡충뛰기 크기가 충분히 클 때 나타나는 두 분산 사이의 어긋남 문제의 원인에 대해서 연구하였다. 그 다음으로는 엇갈림 격자 퍼텐셜로 인한 2차원의 보통 절연체 위에 쌓인 양자 스핀홀 절연체를 케인-멜레 모형을 사용하여 연구를 진행하였다. 경계면 깡충뛰기와 엇갈림 격자 퍼텐셜로 이루어진 2차원 변수 공간에서 그려진 상도표를 기술하였다. 또한, 상도표에서 서로 수직하면서 상경계를 가로지르는 두 경로를 선택하고, 선택된 두 경로를 따라 온 에너지 분산, 유효 에너지 분산, 그리고 끝머리 상태 너비의 변화에 대해 기술하였다. 그리고 오직 큰 엇갈림 격자 퍼텐셜에서만 나타나는 온 에너지 분산과 유효 에너지 분산 사이에 나타나는 어긋남 문제도 간단히 논의하였다. 마지막으로, 케인-멜레 모형으로 기술되는 간격자 층 역할을 하는 2차원의 보통 절연체들과 그리고 그 사이에 끼어있는 양자 스핀홀 절연체들로 이루어진 초격자에서 바일 준금속이 실현됨을 보고하였다. 본 연구 모형과 비교 분석을 하기 위해 잘 알려진 특별한 경우인 양자 스핀홀 절연체들만 z 방향으로 쌓았을 때에 대해서 부피 에너지 분산, 리본 구조에서의 1차원 에너지 분산, 페르미 면에 대해 연구를 진행 하였다. 앞서 계산한 잘 알려진 예와 비교하여, 본 연구 모형은 엇갈림 격자 퍼텐셜이 작을 때 바일 준금속의 징후 중 하나인 저에너지 들뜸 영역에서 선형인 부피 에너지 분산을 가지며, 엇갈림 격자 퍼텐셜이 특정 임계값을 넘으면 띠틈이 생겨 절연상이 되는 것을 보고하였다. 부피 에너지 분산 외에 임계점 전후에서 리본 구조에서의 1차원 에너지 분산, 페르미 면의 모양을 논의하였다. 그리고, 본 연구 모형은 엇갈림 격자 퍼텐셜로 인해 반전 대칭성이 깨져 있기 때문에 임계점 이후에서 위상 불변수를 계산하기 위해 와이너 전하 중심 방법을 적용하여 계산하였다. 또한, 임계점 이전에 나타나는 바일 준금속 구역에서 나타나는 페르미 호와 손지기 전하에 대해 논의하였다. 끝으로, 엇갈림 격자 퍼텐셜에 대한 1차원 상도표로 세번째 연구 주제를 요약하였다.