고등학생들의 유리함수 그래프 번역활동에 관한 연구

Abstract

Among many mathematical domains, functions have diverse forms including pictures, tables, expressions, and graphs. For effective learning of functions, mutual transformation among the diverse expressions, called ‘translation’ should be possible. Janvier(1987) emphasized the translation among situation and verbal description, tables, formula and graphs when learning functions. He especially highlighted translation activities of graphs, given that they provide direct information about the form and direction of the relationship among variables. The rational functions learned in high school have various features such as domain, range, symmetry, and asymptote. Since graphs can visualize their characteristics and present them at a glance, its role has been stressed. Therefore, in order for students to understand the concept of rational function correctly, translation activity between rational function graph and other expression should be conducted well. However, the fact that the 2009 revised curriculum focuses solely on translating activities between specific expressions, such as translating formula of rational functions into graphs, leads to students difficulties in understanding the rational function graphs. In this regard, the purpose of this study was to investigate the translation ability between graphs of rational functions and other expressions and the characteristics of error types in translation activities targeting high school students, thereby improving the teaching and learning method of rational function unit and providing information required for developing the rational function graph learning material. The following research questions were set up for this purpose. 1. How is the translation ability between rational graphs and tables of high school students, and what are the features of error types in such translation activities? 2. How is the translation ability between rational function graphs and formula of high school students, and what are the features of the error types in such translation activities? 3. How is the translation ability between rational function graphs and situation and verbal description of high school students, and what are the features of error types in such translation activities? Based on the quantitative research methods, the research subject included 234 second grade high school students. The questionnaire was derived from the preliminary questionnaire after the revision and supplement by 7 professionals majoring in mathematics education, which was produced in a basis of 6 translation activities centering on graphs from Janvier(1987)’s translation activity among function expression forms, and 7 items were presented including one detailed question for each activity. After the test, error analysis framework was constructed through the existing study analysis on graph error of function, and the students’ results were coded. The students’ results classified according to the error types were summarized in frequency and percentage, and the reliability of 3 coders including the author was verified. The findings of this study are as follows. In terms of research question 1 on the translation between rational function graphs and tables, students had difficulties in translating graphs into tables rather than translating tables into graphs. In particular, they are likely not to understand the inverse proportion relationship when translating tables into graphs. In terms of research question 2, although the translation between rational function graphs and formula was the most common translation activity in textbooks, it was revealed that students also felt difficulties. Especially, the item translating graphs into formula showed 22.5% of correct answers, which was the lowest correct answer rate among the total items. In the translation activities between graphs and the algebraic expressions, many conceptual errors appeared due to the inability to know the natures of rational functions such as domain, range, and asymptote. In terms of research question 3 on the translation between rational function graphs and situation and verbal description, the low correct answer rate in mutual translation activities demonstrated students’ difficulties. Particularly, the students have difficulties in setting variables in a given functional situation and understanding the relationships among the variables. The information about the characteristics of the high school students in rational function graph translation activities suggested by this study can be used to diagnose their levels of understanding of rational function graphs. Moreover, examining the error types appearing in rational function graph translation activity can contribute to identifying which misconceptions cause students' errors. However, since the translation activities in this study were centered on rational function graphs, it was restricted to explore the translation activities among different functional expressions, such as translating situation and verbal description into tables. Also, since the quantitative research method was adopted to comprehend the characteristics in the translation activities of rational function graphs of a large number of students, their concepts could not be fully apprehended. Therefore, in-depth interviews and investigations through qualitative research methods are expected to be followed.;수학의 많은 영역 중에서 함수에는 특히 그림, 표, 식, 그래프 등 다양한 표현이 존재한다. 효과적인 함수 학습을 위해서는 여러 표현 간에 상호 변환이 가능해야 하며 이것을‘번역(translation)’이라 한다. Janvier(1987)는 함수를 학습할 때 상황·언어적 표현, 표, 대수식, 그래프 사이의 번역을 강조하였는데 특히 변수 사이의 관계에 대한 형태와 방향에 대해 직접적으로 이용 가능한 정보를 제공한다는 점에서 그래프의 번역활동에 주목하였다. 고등학교에서 배우는 유리함수는 정의역, 치역, 대칭성, 점근선 등 다양한 특징을 가지고 있다. 그래프는 이러한 유리함수의 특징을 시각화하여 한 눈에 제공할 수 있기 때문에 유리함수 학습에 있어 중요한 역할을 한다. 따라서 학생들이 유리함수 개념을 정확하게 이해하기 위해서는 유리함수 그래프와 다른 표현 간의 번역활동이 잘 이루어져야 한다. 하지만 2009개정 교육과정에서는 유리함수의 대수식을 그래프로 번역하는 것과 같은 특정한 표현 간의 번역활동만을 중점적으로 다루고 있다. 때문에 학생들이 유리함수 그래프를 이해하는데 어려움을 겪고 있다. 이에 본 연구에서는 고등학생을 대상으로 유리함수의 그래프와 다른 표현간의 번역능력을 알아보고 번역활동에서 나타나는 오류유형의 특징을 분석하고자 한다. 이를 통해 유리함수 단원의 교수·학습 방법을 개선하고 학습 자료 개발에 필요한 정보를 제공하고자 한다. 본 연구의 연구문제를 다음과 같다. 1. 고등학생들의 유리함수 그래프와 표 간의 번역능력은 어떠하며 번역활동에서 나타나는 오류유형은 어떤 특징이 있는가? 2. 고등학생들의 유리함수 그래프와 대수식 간의 번역능력은 어떠하며 번역활동에서 나타나는 오류유형에는 어떤 특징이 있는가? 3. 고등학생들의 유리함수 그래프와 상황․언어적 표현 간의 번역능력은 어떠하며 번역활동에서 나타나는 오류유형에는 어떤 특징이 있는가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위해 고등학교 2학년 234명을 대상으로 그래프 번역활동 검사지 자필평가를 시행하였다. 검사지는 예비 검사지를 수학교육전공자 7명의 검토를 받아 수정·보완한 것이다. 문항의 내용은 Janvier(1987)의 함수 표현 양식 간의 번역 활동에서 그래프를 중심으로 한 여섯 가지의 번역활동을 기준으로 제작하였다. 문항 수는 각 활동 당 한 문항씩으로 세부문항을 포함하여 7문항이 제시되었다. 검사 실시 후 함수의 그래프 오류에 관한 선행연구 분석을 통해 오류분석틀을 제작하고 그 오류분석틀을 바탕으로 학생들의 검사결과를 코딩하여 분류하였다. 오류유형에 따라 분류된 학생들의 검사 결과는 빈도수와 백분율로 정리하였으며 연구자를 포함한 3명의 코더들 간의 신뢰도를 검증하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 연구문제 1인 유리함수 그래프와 표 간의 번역에서 학생들은 표를 그래프로 번역하는 것보다 그래프를 표로 번역하는 것을 어려워하였다. 특히 표를 그래프로 번역할 때 반비례관계를 파악하지 못하는 경향을 보였다. 연구문제 2인 유리함수 그래프와 대수식 간의 번역은 교과서에서 가장 많이 다루는 번역활동임에도 불구하고 많은 학생들이 어려워하는 것을 알 수 있었다. 특히 그래프를 대수식으로 번역하는 것은 정답률이 22.5%로 전체 문항 중 가장 낮았다. 그래프와 대수식 간의 번역활동에서는 정의역, 치역, 점근선 등 유리함수가 가지고 있는 특징을 정확히 알지 못하는 것으로 인한 개념적인 오류가 많이 나타났다. 연구문제 3인 유리함수 그래프와 상황‧언어적 표현간의 번역은 상호 번역활동 모두 정답률이 낮았다. 특히 학생들은 주어진 수학적 상황에서 변수를 설정하는 것과 변수간의 관계를 파악하여 그래프로 표현하는 것을 어려워하였다. 이에 변수 관계 해석상의 오류가 가장 많이 나타났다. 본 연구에서 제공한 고등학생들의 유리함수 그래프 번역능력에 대한 정보는 유리함수 그래프에 대한 이해수준을 진단하는 데 활용할 수 있다. 또한 유리함수 그래프 번역활동에서 나타나는 오류유형을 살펴봄으로써 학생들에게 나타나는 오류가 어떤 오개념으로 인한 것인지 파악할 수 있다는 시사점을 제공한다. 하지만 본 연구에서 다룬 번역활동이 유리함수의 그래프를 중심으로 한 것이기 때문에 다른 함수 표현간의 번역활동에 대해서 알아보기에는 제한점을 가진다. 그리고 본 연구는 되도록 많은 학생들의 유리함수 그래프 번역활동에서 나타나는 특징을 알아보고자 양적 연구로 진행되었기 때문에 학생들이 가지고 있는 개념들을 정확히 파악하기에는 어려움이 있었다. 이에 질적 연구를 통한 심층적인 인터뷰 및 후속 연구를 제언한다.