고등학교 2학년 문과 학생들의 수학적 신념과 문제해결 과정의 관계 분석

Abstract

The 2015 revised National Mathematics Curriculum announced by the Ministry of Education, Science and Technology (2015) emphasizes that students not only understand the mathematical knowledge and acquire the skills but also cultivate six core competencies in mathematics curricula: problem solving, reasoning, creativity and convergence, communication, information processing, attitude and practice. The Curriculum further states that, with the competencies, students can understand the necessity and utility of mathematics, feel the joy of learning mathematics, and develop interest and confidence in mathematics. This guideline of the Ministry of Education is intended to promote students' growth in both the cognitive and affective domain in mathematics education. However, In 2015 Trends in International Mathematics and Science Study(TIMSS), Korean students were ranked among the highest in terms of math scores but remained at the bottom in their interest and confidence in mathematics(Kwak Young-soon et al., 2016). This phenomenon reflects the reality that students’ perception of and interest in mathematics do not improve but deteriorate even though they can receive good grades because they study the subject for college entrance examination. Regarding this phenomenon, Korea Institute of Curriculum and Evaluation (2016) suggested that research on the attitudes of Korean students towards mathematics in affective domain is necessary considering that their attitudes in such aspect including interest in the subject, self-confidence, and value perception are consistently lower than the international average (Kwak Young-soon et al., 2016). Therefore, this study has studied mathematical beliefs, a category of affective attitudes towards mathematics. The purpose of this study is, firstly, to explore how the mathematical beliefs of second year liberal arts students in high schools differ among each other based on their grades and gender. This study also aims to examine the relationship between mathematical beliefs and problem solving processes as well as abilities and mathematical beliefs and problem-solving abilities in different content areas of <Calculus I>. The research questions of this study are as follows. Research Question 1. What are the mathematical beliefs of second year liberal arts students in high schools? 1-1. What is the relationship between mathematical beliefs and mathematics achievement? 1-2. Do mathematical beliefs demonstrate gender differences? Research Question 2. What is the relationship between mathematical beliefs and problem solving processes in Calculus I among second year liberal arts students in high schools? 2-1. What is the relationship between mathematical beliefs and problem solving processes among second year liberal arts students in high schools? 2-2. What is the relationship between mathematical beliefs and problem-solving abilities in different content areas of Calculus I among second year liberal arts students in high schools? In order to answer the above research questions, this study first examined previous research on mathematical beliefs and problem solving processes and reconstructed preliminary assessment tools using the literature as a guidance. As a tool to examine students’ mathematical beliefs, a questionaire was reconstructed on the Likert 6-point scale with a total of 40 items, based on the works produced by Bu-Mi Kim (2011, 2012). In the questionnaire, questions under the same subcategory of mathematical beliefs are displayed in groups, and questions with reversed wording as well as original items are included. For a test material on mathematical problem solving processes, the researcher selected and rearranged five items from the Mathematics Descriptive Evaluation Item Collection (2011) produced by the Seoul Educational Research and Information Institute. The preliminary assessment tools were reviewed by two mathematics teachers and one doctor, and a framework to analyze data collected using the tools was constructed. Before the actual test, preliminary tests were conducted on December 12, 2016 on 10 liberal arts track students of J high school and 4 liberal arts track students in D high school in Goyang city, Gyeonggi province. After obtaining consent to participate in the research, an actual data collection was administered on December 19, 2016 on 136 liberal arts track students from J high school in Goyang city, Gyeonggi province. The data collected were then fitted to the prepared framework and analyzed using basic statistics, Pearson correlation coefficient, and variance analysis. Data collection was conducted using the developed tools on December 19, 2016 among 136 sophomore liberal arts students from a high school in Goyang, Gyeonggi. After removing nonsignificant data points, 133 remaining data points were fitted to an analytical framework, and the results were analyzed using a statistical software. The results of Research Question 1 are as follows. Firstly, all categories of mathematical beliefs and students' grade were found to have siginificant relationship. In other words, mathematical beliefs were found to be higher as the students' grades are higher. Among different categories of mathematical beliefs, beliefs about self-concept have the greatest influence on the grade. Moreover, none of the categories of mathematical beliefs showed a significant relationship with gender. In other words, mathematical beliefs are not affected by gender. The result of the research question 2 is as following. Above all, mathematical beliefs were found to have a significant relationship with all stages of mathematical problem solving processes. In other words, mathematical beliefs were found to have influence on mathematical problem solving processes. Among domains of mathematical beliefs, students' belief in self-concept was found to have the biggest influence on solving problems. In addition, mathematical beliefs were found to have a significant relationship with problem solving abilities in most of the contents areas in < Calculus I>. In other words, mathematical beliefs were found to have influence on problem solving abilities in most areas of <Calculus I>. Among domains of mathematical beliefs, belief in self-concept was found to have the biggest influence on students’ ability to work with problems in <Calculus I>. Limits and continuity of functions were found to be two contents areas related to problem solving in <Calculus I> with strongest correlation with mathematical beliefs. This research has investigated how mathematical beliefs of high school second year students in the liberal arts track are distributed according to the students' grades and gender, how mathematical beliefs and mathematical problem solving processes are related, and which content area of < Calculus I > are most affected by mathematical beliefs in terms of problem solving. Since mathematical beliefs are found to have a significant relationship with students' mathematical achievement, it is necessary to focus on enhancing their mathematical beliefs by motivating students with low mathematics achievement. In addition, since the relationship between mathematical beliefs and mathematical problem solving processes, as well as the relationship between mathematical beliefs and problem solving abilities in < Calculus Ⅰ >, was found to be significant, it can be said that mathematical beliefs influence mathematical problem solving. Therefore, it is necessary to examine the mathematical beliefs of the students in order to enhance their mathematical beliefs that have influence on mathematical problem solving. In this line of logic, this research is meaningful as a research on mathematical beliefs with high school second year students in the liberal arts track as subjects, and further research on accurate measurement of mathematical beliefs should be conducted.;교육과학기술부(2015)가 고시한 2015 개정 수학과 교육과정에서는 학생들이 수학의 지식을 이해하고 기능을 습득하는 것뿐만 아니라 문제해결, 추론, 창의∙융합, 의사소통, 정보처리, 태도 및 실천과 같은 6가지 수학교과에서의 핵심역량을 함양하는 것을 강조하고 있다. 이를 통해 학생들은 수학의 필요성과 유용성을 이해하고 수학 학습의 즐거움을 느끼며, 수학에 대한 흥미와 자신감을 기를 수 있다고 하였다. 이러한 교육부의 지침은 수학교육에서의 인지적 영역과 정의적 영역 모두에서의 성장을 의도한 것이다. 하지만 2015년 수학 성취도 추이 변화 국제 비교연구(TIMSS)에서 우리나라 초∙중학생의 수학 성적은 최상위권이지만 흥미도와 자신감은 최하위권에 머물고 있다(곽영순 외 2인, 2016). 이러한 현상은 대학 입시를 위해 수학을 어쩔 수 없이 공부하기 때문에 좋은 성적을 받을 수는 있지만 수학에 대해 학생들이 가지고 있는 인식이나 흥미 등은 높아지지 않고 더 낮아지는 현실을 반영한 것이라고 추측해볼 수 있다. 이러한 현상으로부터 한국교육과정평가원(2016)은 우리나라 학생들의 수학에 대한 흥미나 자신감, 가치 인식 등의 정의적 태도가 지속적으로 국제 평균에 비해 낮게 나타나고 있으므로 정의적 태도에 대한 연구가 필요함을 시사했다(곽영순 외 2인, 2016). 그러므로 본 연구는 수학의 정의적 태도의 한 영역인 수학적 신념에 대한 연구를 하였다. 본 연구는 고등학교 2학년 문과 학생들의 수학적 신념을 수학 학업 성취도와 성별에 따라 어떻게 나타나는지 알아보았다. 또한 수학적 신념과 수학 문제해결 과정의 각 단계와의 관계가 어떠한지, 수학적 신념과 현행 교육과정인 2009 개정 교육과정의 <미적분Ⅰ> 교과의 내용 영역에서 설정한 문제해결과 어떤 관계가 있는지에 대해 알아보고자 한다. 이를 위해 본 연구에서 설정한 연구문제는 다음과 같다. 연구문제 1. 고등학교 2학년 문과 학생들의 수학적 신념은 어떠한가? 1-1. 고등학교 2학년 문과 학생들의 수학 학업 성취도와 수학적 신념과의 상관 관계는 어떠한가? 1-2. 고등학교 2학년 문과 학생들의 성별에 따른 수학적 신념은 어떠한가? 연구문제 2. 고등학교 2학년 문과 학생들의 수학적 신념과 <미적분Ⅰ> 교과에서의 문제해결 과정의 상관관계는 어떠한가? 2-1. 고등학교 2학년 문과 학생들의 수학적 신념과 따른 문제해결 과정의 단계의 상관관계는 어떠한가? 2-2. 고등학교 2학년 문과 학생들의 수학적 신념과 <미적분Ⅰ> 교과의 내용 영역별 문제해결 과정의 상관관계는 어떠한가? 위의 연구문제들을 해결하기 위해 본 연구는 먼저 수학적 신념과 수학 문제해결 과정에 관한 선행연구를 고찰하였고, 고찰한 문헌을 참고하여 예비 검사 도구를 재구성하였다. 수학적 신념에 관한 검사 도구는 김부미(2011, 2012)가 제작한 것을 참고하여 총 40문항의 Likert 6점 척도로 재구성하였다. 각 문항은 수학적 신념의 하위 범주를 묶어서 배치하였으며, 역문항 또한 배치하였다. 수학 문제해결 과정에 관한 검사 도구는 서울특별시 교육연구정보원에서 제작한 수학과 서술형 평가 문항 자료집(2011)을 참고로 하여 연구자가 선정한 5개의 문항으로 재구성하였다. 재구성한 예비 검사 도구는 일반계 고등학교 수학 교사 2명과 박사 1명에게 자문을 받았고, 이를 분석하기 위해 분석틀을 작성하였다. 2016년 12월 12일에 경기도 고양시에 소재한 J고등학교 2학년 문과 학생들 10명과 D고등학교 2학년 문과 학생들 4명에게 예비검사를 실시하였고, 그 결과를 바탕으로 검사 도구를 수정하였다. 2016년 12월 19일에 본 검사를 실시하기 위해 경기도 고양시에 소재한 J고등학교 2학년 문과 학생들 136명에게 연구 참여 동의를 얻은 후 본 검사를 실시하였다. 본 검사 실시 후에 분석틀에 맞춰 이를 분석하여 기초통계, Pearson 상관계수, 분산분석을 이용하여 분석하였다. 연구문제 1의 결과는 다음과 같다. 첫째, 모든 신념의 범주와 수학 학업 성취도는 유의미한 관계가 있는 것으로 나타났다. 즉, 수학적 신념은 학생들의 수학 학업 성취도가 높을수록 크게 나타나고 있었는데, 수학적 신념의 범주 중에서 자아개념에 대한 신념이 수학 학업 성취도에 가장 크게 영향을 주고 있다고 나타났다. 둘째, 모든 신념의 범주와 성별은 유의미한 관계가 없는 것으로 나타났다. 즉, 수학적 신념은 성별에 영향을 받지 않는 것으로 나타났다. 연구문제 2의 결과는 다음과 같다. 첫째, 수학적 신념은 수학 문제해결 과정의 모든 단계와 유의미한 관계가 있다고 나타났다. 즉, 수학적 신념은 수학 문제해결 과정에 영향을 주는 것으로 나타났다. 특히 수학적 신념의 범주 중에서 자아개념에 대한 신념이 수학 문제해결을 하는데 가장 크게 영향을 준다고 나타났다. 둘째, 수학적 신념은 <미적분Ⅰ>의 대부분의 내용 영역의 문제해결과 유의미한 관계가 있다고 나타났다. 즉, 수학적 신념은 <미적분Ⅰ>의 대부분의 내용 영역을 푸는데 영향을 주는 것으로 나타났다. 특히 수학적 신념의 범주 중에서 자아개념에 대한 신념이 <미적분Ⅰ>에 관한 문항을 해결하는데 가장 큰 영향을 주었다고 나타났다. 또한 수학적 신념과 가장 큰 상관관계를 가지고 있는 <미적분Ⅰ> 의 문제해결에 관한 내용 영역은 함수의 극한과 연속으로 나타났다. 본 연구는 고등학교 2학년 문과 학생들의 수학적 신념을 수학 학업 성취도와 성별에 따라 어떻게 나타나는지 알아보고, 수학적 신념과 수학 문제해결 과정과의 관계, 수학적 신념이 <미적분Ⅰ>의 어떠한 내용 영역의 문제해결을 할 때에 많이 작용하는지를 알아보았다. 수학적 신념은 학생들의 수학 학업 성취도와 유의미한 관계가 있다고 나타났으므로, 수학 학업 성취도가 낮은 학생에게 수학 교과에 대한 동기부여를 부여하도록 노력함으로써 그들의 수학적 신념을 높이는데 주력할 필요가 있다. 또한, 수학적 신념과 수학 문제해결 과정의 관계와 수학적 신념과 <미적분Ⅰ>의 문제해결과의 관계 모두 유의미한 결과가 나타났으므로 수학적 신념은 수학 문제해결을 하는데 영향을 준다고 말할 수 있다. 따라서 수학 문제풀이에 영향을 주는 수학적 신념을 높여주기 위해서는 학생들의 수학적 신념이 어떠한지 살펴볼 필요가 있으므로 본 연구는 고등학교 2학년 문과 학생들을 대상으로 수학적 신념에 대한 연구로서 그 의의가 있다고 할 수 있고, 더 정확한 수학적 신념을 측정하기 위한 연구가 진행되어야 함을 시사하고 있다.