중학교 수학 교과서에 제시된 상황에 따른 문제 만들기 유형 분석

Abstract

The Revised Curriculum of 2015 promotes the activities of testing and reflecting, solving a problem cooperatively, increasing the mathematical modeling abilities, and posing a problem as well as understanding a problem, exploring solution strategies, and carrying out a solution process for better problem-solving skills. Problem posing refers to an activity of making, solving, and testing a problem. Its roles are being emphasized as it is known to increase problem-solving skills and improve an attitude toward math positively(Ministry of Education, Science and Technology, 2015). There is a need to understand the real state of problem posing so that the area can settle down as one of the core topics in the math curriculum. The main goals of this study were to identify problem-posing items across the entire domains in the middle school math textbooks under the Revised Curriculum of 2009, categorize them according to situations, organize their types, and analyze them by the grade and domain to provide implications for the improvement of problem-posing teaching and learning methods. For these purposes, the study set the following research questions: 1. What are the characteristics of problem-posing types by the grade when the types are analyzed according to the situations in the middle school math textbooks under the Revised Curriculum of 2009? 2. What are the characteristics of problem-posing types by the domain when the types are analyzed according to the situations in the middle school math textbooks under the Revised Curriculum of 2009? The problem-posing items of the middle school math textbooks were analyzed by choosing the math textbooks under the Revised Curriculum of 2009 as the subject and investigating them by the grade and domain to examine their overall content. Total 195 problem-posing items identified in 13 kinds of middle school math textbooks were categorized by the grade to examine their content elements and by the domain to analyze them and figure out their characteristics. In an effort to examine the types of problem-posing activities according to situations to solve Research Questions 1 and 2, the investigator devised an analysis framework and set three specific situations, which were free, semi-structured, and structured ones. Free situations presented a structure for certain situations. Semi-structured situations were in structures of providing certain information or goals. Certain information included math concepts, real life materials, mathematical materials, and real life inquiries. Certain goals included the presentation of results and blanks. Structured situations were divided according to problems with a structure of problem alteration and problems providing conditions. Problem-altered problems were divided into equivalent problems with the same contexts and solutions as the old ones, isomorphic problems with different contexts from the old ones and the same solutions as them, and similar problems with the same contexts as the old ones and different solutions from them. Problems providing conditions were categorized and analyzed according to substitution. The findings were as follows according to the analysis of problem-posing items: First, the study analyzed problem-posing items in the 13 kinds of math textbooks and found that structured situations recorded the highest percentage among the problem-posing types across all the grades, being followed by semi-structured and free situations in the order. As the grade went up, the degree of inclination toward structured situations became greater. As the difficulty level of math rose toward high school, the students seemed to prefer problem posing at the level of understanding concepts rather than making a problem in the form of mathematical inquiry. That is, the problem-posing in the textbooks offered the students a chance to try problem-posing by simply meeting the given conditions and following them as they were instead of providing them with various opportunities. This approach will make it difficult to truly fulfill the role of expanding the students' mathematical experiences and thinking through various learning activities as it is sought after in the Revised Curriculum of 2015. Secondly, the study analyzed the problem-posing items by the domain and found that the percentage was the highest in the order of structured, semi-structured, and free situations across all the domains except for "probability and statistics," which did not provide items in a free situation and dealt with items in a semi-structured situation more than in a structured one. There was a relatively even distribution of the types in the domain of "letters and formulas." The type of "equivalent problems" in a structured situation recorded a higher percentage than the other types in the domain of "geometry." These findings indicate that different types were preferred in different domains according to their characteristics. The items of the same type were, however, presented similarly in different textbooks analyzed in the study, which raises a need to increase the diversity of item development in the future. In short, problem-posing items should be designed systematically so that the problem-posing activities of students will not lead to formal learning. Math textbooks should present real life materials and situations more in addition to mathematical concepts and materials to help the students have diverse experiences and try problem-posing study with the types with an altered problem structure to help them develop their mathematical thinking abilities. Since many of problem-posing situations in the textbooks are structured, teachers should consider a need to reorganize and teach problems diverse from free situations to structured ones by taking into account the level of their students. ;2015년 개정 교육과정에서는 문제 해결력을 신장시키기 위하여 문제를 이해하고 해결 전략을 탐색하며 해결 과정을 실행하는 것뿐만 아니라 검증 및 반성 단계 실행, 협력적 문제 해결, 수학적 모델링 능력 신장, 문제 만들기와 같은 활동을 시행하도록 하고 있다. 문제 만들기는 새로운 문제를 만들어 해결하고 그 과정을 검증하는 활동으로 문제 해결력을 높이고 수학에 대한 태도를 긍정적으로 개선시킨다는 점에서 그 역할이 강조되고 있다(교육과학기술부, 2015). 앞으로 수학 교육과정에서 문제 만들기 영역이 핵심 주제로 자리 잡기 위해서는 문제 만들기의 실태를 이해할 필요가 있다. 본 연구는 2009년 개정 교육과정 중학교 수학과 교과서 전 영역에 실린 문제 만들기 문항을 추출하여 상황에 따라 분류하여 유형을 구성하고 학년별, 영역별로 분석하여 문제 만들기 교수·학습 방법의 개선에 시사점을 제공하는 것이 주된 목표이다. 이를 위해 설정한 연구 문제는 다음과 같다. 1. 2009 개정 교육과정에 의한 중학교 수학 교과서에서 상황에 따른 문제 만들기 유형 분석을 시행하였을 때, 학년별 특징은 어떻게 나타나는가? 2. 2009 개정 교육과정에 의한 중학교 수학 교과서에서 상황에 따른 문제 만들기 유형 분석을 시행하였을 때, 영역별 특징은 어떻게 나타나는가? 중학교 수학 교과서의 문제 만들기에 대한 문항을 분석하기 위해 2009 개정 교육과정에 따른 수학 교과서를 연구 대상으로 선정하고 전반적인 내용을 알아보기 위하여 학년별, 영역별에 대해 연구하였다. 중학교 교과서 13종에서 문제 만들기 195문항을 학년별로 나누어 문항의 내용 요소를 살펴보고, 영역별로 나누어 문항 분석을 통하여 특징을 알아보고자 한다. 연구 문제 1, 2를 해결하기 위해 상황에 따라 문제 만들기 활동 유형이 어떻게 나타나 있는지 분석틀을 고안하여 자유로운 상황, 반-구조화된 상황, 구조화된 상황의 3가지 상황을 구체화하여 살펴보았다. 자유로운 상황은 특정 상황의 구조를 제시하는 유형, 반-구조화된 상황은 특정 정보를 제공하는 구조와 특정 목표를 제공하는 구조로 분류한다. 특정 정보로는 수학 개념, 실생활 소재, 수학적 소재, 실생활 탐구의 유형이 있고 특정 목표로는 결과 제시, 빈칸 제시의 유형으로 분류하여 분석한다. 구조화된 상황은 문제 변형의 구조를 가지는 문제와 조건을 주는 문제로 구분한다. 문제 변형의 문제는 기존 문제와 맥락과 해결방법이 같도록 만드는 동치 문제, 기존 문제와 맥락은 다르나 해결방법이 같도록 만드는 동형 문제, 기존 문제와 맥락은 같으나 해결방법이 다르도록 만드는 유사문제로 나누었고 조건 제시의 문제는 조건 대입형으로 분류하여 분석한다. 본 논문의 문제 만들기 문항 분석에 따른 결과는 다음과 같다. 첫째, 13종 교과서의 문제 만들기 문항을 분석해 본 결과 모든 학년에서 문제 만들기 유형의 문항은 구조화된 상황, 반-구조화된 상황, 자유로운 상황의 순으로 높은 비중을 차지하고 있었으며, 학년이 올라갈수록 구조화된 상황에 치우쳐있는 정도가 크게 나타나고 있었다. 이는 고등학교로 갈수록 수학의 난이도가 높아지므로 수학적 탐구 형식의 문제 만들기보다는 개념 이해 수준의 문제 만들기를 선호하는 것으로 보인다. 즉, 교과서의 문제 만들기 문항은 학생들에게 다양한 기회를 제공하기 보다는 단순히 조건에 맞추어 그대로 따라서 문제 만들기를 해보는 정도의 수준으로 다뤄지고 있다. 이는 2015 개정 교육과정에서 추구하는 다양한 학습활동을 통해 학생들의 수학적 경험과 사고를 확장시키는 역할을 진정으로 구현하기에 어려움이 있을 것이라 생각한다. 둘째, 문제 만들기 문항을 영역별로 분석해 본 결과 ‘확률과 통계’영역을 제외한 모든 영역에서 구조화된 상황, 반-구조화된 상황, 자유로운 상황의 순으로 많은 문항을 차지하고 있었다. ‘확률과 통계’영역에서는 자유로운 상황의 문항은 제시되지 않았지만 반-구조화된 상황의 문항이 구조화된 상황 문항 보다 많이 다루어지고 있었다. ‘문자와 식’영역에서는 비교적 모든 유형이 골고루 나타났으며‘기하’영역은 구조화된 상황의 ‘동치 문제’가 다른 유형에 비해 높은 비중을 차지하고 있었다. 이는 문제의 유형들을 세부적으로 살펴보았을 때 영역별로 각각의 특성에 따라 선호하는 유형들이 나타나는 것으로 보인다. 그러나 같은 유형의 문항이 서로 다른 분석 대상 교과서에서 비슷하게 제시되고 있는 것으로 보아 앞으로의 문항 개발의 다양성이 더 필요할 것으로 생각한다. 결론적으로 학생들의 문제 만들기 활동이 형식적인 학습으로 이어지지 않도록 하기 위해서는 문제 만들기 문항의 설계가 체계적으로 이루어질 필요가 있다. 교과서에서는 수학적 개념이나 소재뿐만 아니라 실생활 소재와 상황을 더 많이 제시해 다양한 경험을 할 수 있도록 하고 문제 구조를 변형한 유형의 문제 만들기 학습을 시도하여 수학적 사고능력을 기를 수 있도록 기회를 제공해 주어야 한다. 또한 교과서의 문제 만들기 상황은 구조화된 것이 많이 차지하고 있으므로 교사는 학생들의 수준을 고려하여 자유로운 상황의 문제에서부터 구조화된 상황의 문제를 다양하게 재구성하여 지도할 필요성을 고려해본다.