Cluster Algebra Structure of Certain Quadratic Algebras

Abstract

In this thesis, we prove that a certain quadratic algebra R admits the cluster algebra structure of type A. By finding a proper quiver and sequences of mutations, we obtain all the generators of R as cluster variables. Thus we provide a new view point to understanding the quadratic algebra R. First, we introduce a cluster algebra and necessary ingredients to define it. Next, we study some basic properties of cluster algebras, which include the classification of finite type cluster algebras and a geometric interpretation of type A under restrictive conditions. Also, as an important family of examples, we study the homogeneous coordinate rings of the Grassmannians. Finally, we show that our main theorem is true.;본 논문에서는, 어떤 이차 대수가 A 형식의 클러스터 대수 구조를 가짐을 보인다. 적절한 퀴버와 변형수열로부터 시작하여 이차 대수의 생성원소들을 포함하는 클러스터 원소들을 모두 계산하고 클러스터 원소들은 모두 기존 생성 원소들의 다항식으로 표현 가능함을 보인다. 이것으로부터, 클러스터 대수와 이 이차 대수가 같음을 결론 지을 수 있으며, 이차 대수를 이해하는 새로운 관점을 얻는다. 첫 번째로 클러스터 대수를 소개하고 이를 정의하기 위해 필요한 기본적인 내용들을 살펴본다. 다음으로는, 중요 정리를 증명하기 위해 필요한 성질들로써, 유한한 클러스터 대수 유형의 분류를 알아보고 어떤 제한된 조건에서 유형 A에 대한 기하학적인 해석을 살펴본다. 더 나아가, 중요한 예제로써, 그라스만의 동차 좌표 환에 대해서 공부한다. 본 논문에서 다루는 이차 대수가 그라스만의 동차 좌표 환과 어떤 유사성이 있기 때문에, 중요 정리를 증명하기에 앞서 이에 대한 예제로써 공부할 것이다. 마지막으로, 본 논문의 중요정리가 참임을 보인다.