닮음의 빅 아이디어(Big Idea)와 관련된 중학교 2학년 학생들의 오개념과 오류 분석

Abstract

수학 학습에서 나타나는 오개념과 오류에 대한 연구는 학생들의 이해 정도를 파악하고 이를 바탕으로 더 효과적인 교수법을 개발할 수 있기 때문에 다양하게 진행되고 있다. 학생들의 이해정도를 파악하고 효과적인 교수법을 개발하기 위해서는 해당 영역의 빅 아이디어를 학생들이 어떤 방향으로 이해하고 그에 따라 어떤 오개념을 형성하는지를 파악하는 것이 중요하다. 또한 중등수학의 기하 영역에서는 기하학적 대상을 지각하고 경험할 수 있기 때문에 학생들은 그 대상에 집착하여 수학적 개념을 잘못 받아들이게 되고 그에 따라 다양한 오개념이 형성된다(최지선, 2003). 그리고 기하 영역의 연구들 중에는 닮음 교육에 대해 비판하며 학생들에게 나타나는 오개념과 오류 분석에 대한 중요성을 강조한 연구들도 있다(임재훈, 박교식, 2009; 최지선, 2008). 따라서 본 연구는 ‘도형의 닮음’ 단원의 빅 아이디어를 중심으로 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 빅 아이디어와 관련성 있는 오개념과 오류가 무엇이 있는지 알아봄으로써 ‘도형의 닮음’ 단원의 학습방향을 제안할 수 있는 효과적인 교수-학습과정에 기초자료를 제공하는 것에 목적을 둔다. 이를 위해 본 연구는 다음과 같이 연구문제를 설정하였다. 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 도형의 닮음 단원의 빅 아이디어 ( ‘비례’, ‘공형 등거리 사상’, ‘삼각형의 닮음조건’, ‘닮음비, 넓이의 비와 부피의 비의 관계’ )와 관련 있는 오개념과 오류는 무엇이 있는가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위해 중학교 3학년 139명을 연구대상으로 선정하였고 선행연구와 교과서 등을 참고하여 제작한 예비 검사지를 수정 및 보완하여 세부문항을 포함한 서술형 22문항으로 본 검사지를 제작하였다. 그리고 예비검사와 본 검사를 실시하여 수학교육전공자 2명의 자문과 검토를 통해 학생들의 검사 결과를 수정 및 보완하였으며 이를 질적으로 분석하였다. 닮음의 빅 아이디어와 관련된 오개념과 오류를 알아보기 위해 본 연구에서 참고 문헌을 통해 설정한 빅 아이디어를 중심으로 분석틀을 제작하고 그 분석틀을 바탕으로 학생들의 검사결과를 코딩을 통해 분류하였으며 분류된 학생들의 검사 결과를 질적으로 분석하여 각각의 빅 아이디어와 관련된 오개념과 오류를 분석하였다. 본 연구의 코딩은 연구자를 포함한 3명의 코더들 간의 신뢰도를 검증하였다. 따라서 본 연구는 질적 연구로 그에 따른 결과는 다음과 같다. 연구문제의 결과, ‘비례’ 를 이해하지 못한 학생들은 ‘대응변의 길이의 비를 비례가 아닌 길이의 차로 보는 오개념’ 을 가지고 있었고 이러한 오개념을 가진 학생들의 문제해결 과정에서는 ‘뺄셈을 사용하여 비를 적어 문제해결을 시도한 오류’, ‘1:2가 아닌 다른 수치의 비를 비례상수로 연결시키지 못하여 길이의 차로 계산한 오류’ 가 나타났다. ‘공형 등거리 사상’ 개념을 이해하지 못한 학생들은 모든 대상을 비례로 판단하는 경향이 있었고 그에 따라 ‘대응각의 크기가 같지 않아도 된다고 보는 오개념’, ‘확대·축소의 일정한 비율을 길이의 비율이 아닌 넓이의 비율로 보는 오개념’ 이 나타났다. 이러한 오개념들을 가진 학생들은 ‘각의 크기의 비로 대응변의 비를 구하는 오류’, ‘닮음을 판단할 때 변의 길이에만 초점을 맞추거나 공형 등거리 사상을 옳게 사용하지 못하는 오류’, ‘원을 채워 넣으며 닮음비를 구하는 오류’ 를 범하였다. ‘삼각형의 닮음조건’ 개념을 이해하지 못한 학생들은 ‘삼각형의 두변의 길이의 비가 같고 한각의 크기가 같으면 SAS닮음으로 보는 오개념’ 을 갖고 있거나 삼각형의 닮음조건에 불충분한 조건들로 닮음을 판단하는 오개념인 ‘삼각형의 한각의 크기가 같으면 닮음으로 보는 오개념’, ‘삼각형의 두 쌍의 대응변의 길이가 같으면 닮음으로 보는 오개념’ 을 갖고 있었다. 이러한 오개념들을 가진 학생들은 특정 삼각형을 항상 닮음으로 보는 오류로 ‘직각이 있으면 닮음으로 판단하는 오류’, ‘이등변 삼각형이면 닮음으로 판단하는 오류’ 를 범하였다. 또한 닮은 삼각형을 바르게 찾았지만 끼인각에 대한 개념 부족으로 보이는 오류로 ‘닮은 삼각형에서 끼인각을 바르게 찾지 못하는 오류’ 도 나타났다. 마지막으로 ‘닮음비, 넓이의 비와 부피의 비의 관계’ 개념을 이해하지 못한 학생들은 ‘닮음비=넓이의 비=부피의 비로 보는 오개념’ 을 갖고 있었다. 또한 몇몇의 학생들은 오개념을 갖고 있다고 판단하기는 어렵지만 시각적인 영향으로 인하여 ‘도형이 주어진 문항에서는 문제를 옳게 해결하였지만 도형이 주어지지 않은 문항에서는 닮음비=넓이의 비=부피의 비로 해결하는 오류’ 가 나타났다. 이와 같은 연구문제에 따른 결과를 토대로 도출해 낼 수 있는 결론 및 시사점은 다음과 같다. ‘공형 등거리 사상’ 에 대한 이해와 ‘삼각형의 닮음조건’ 에 대한 이해가 모두 부족한 것으로 판단된 학생들이 38명으로 다른 빅 아이디어들끼리의 중복된 학생 수 보다 많이 나온 것을 통해 ‘공형 등거리 사상’ 개념과 ‘삼각형의 닮음조건’ 개념이 다른 개념들 보다 서로 밀접한 연관성이 있는 것을 알 수 있었다. 또한 ‘공형 등거리 사상’ 개념과 ‘닮음비, 넓이의 비와 부피의 비의 관계’ 개념이 모두 부족한 학생들에게 나타난 오개념과 오류들을 살펴보면 이 학생들은 각, 넓이, 부피 등의 모든 대상을 변의 길이와 비례하는 것으로 보는 경향이 있는 것을 알 수 있었다. 따라서 빅 아이디어와 관련된 오개념과 오류의 분석을 통해 학생들의 경향을 파악하고 그에 따라 빅 아이디어를 중심으로 더 효과적인 교수-학습을 개발하면 오개념과 오류를 개선해 나갈 수 있을 것이다. 본 연구에서 제공한 정보를 통해 교사들은 ‘도형의 닮음’ 을 지도할 때 학생들에게 오개념이 형성되지 않도록 4가지 빅 아이디어에 초점을 맞춰 지도할 수 있고 교사는 학생들에게 나타난 오류와 관련성이 있는 빅 아이디어를 확인하고 그 빅 아이디어와 관련된 오개념이 무엇이 있는지 살펴봄으로써 학생들에게 나타난 오류가 어떤 개념을 어떤 방향으로 잘못 이해하여 나타났는지에 대한 유추를 할 수 있다는 시사점을 제공한다. 또한 ‘도형의 닮음’ 단원은 여러 단원의 종합적인 단원이기 때문에 선수학습이 어느 정도 되어있는지 판단하고 지도하는 것이 필요하다. 그리고 빅 아이디어는 같은 영역에서도 하나의 개념으로 정의 될 수 없기 때문에 본 연구에서 설정한 4가지 개념 이외의 다른 개념들을 중심으로 학생들에게 나타나는 오개념과 오류 분석에 대한 후속연구를 제언한다. 마지막으로 본 연구는 139명의 인원으로 연구했기 때문에 이 연구 결과를 일반화할 수 없다는 제한점을 가진다. 따라서 더욱 많은 학생들과 다양한 학교들을 통해 닮음의 빅 아이디어를 중심으로 학생들에게 나타나는 오개념과 오류에 대한 후속연구를 제언한다.;This study aimed to provide a basis for the efficient teaching-learning process, by looking into the misconceptions and errors occurring the students’ problem–solving process that are related to the big idea, focusing on the big idea of the unit ‘similarity of figures’ ( ‘proportion’, ‘conformal isometry’, ‘conditions of triangle similarity’, ‘relation between similarity ratio, areal ratio, and volumetric ratio’ ). As the research process, 139 students in their third year in the middle school were selected and performed a preliminary test and the main test. The survey was modified and supplemented under the consultation and inspection of two supporters who had majored in math education, and the results were qualitatively analyzed. The reliability among the three coders was also verified, and the results are shown as below. Findings suggest that the students who do not have a proper understanding of ‘proportion’ had ‘a misconception of assuming that the ratio of corresponding sides is the difference in length, instead of the ratio’ and such misconception was led to the ‘error of trying to solve the problem by subtraction’ or the ‘error of calculating the differences of lengths due to the inability of linking the ratio to the proportional constant, when the ratio is other than 1:2’ for some students. The students who did not have a correct understanding of the concept of ‘conformal isometry’ tend to judge all the objects in terms of proportion, and such tendency was led to the ‘misconception to believe the corresponding angles need not be the same’, and the ‘misconception of perceiving the proportion of extension and contraction as the ratio of the area, instead of the ratio of length.’ Students who had such misconception showed the ‘error of calculating the ratio of the corresponding sides using the angles’, ‘error of not properly using the conformal isometry, or taking only the lengths of the sides into account when deciding the similarity’, or the ‘error of measuring the similarity ratio by filling in the circle.’ The students who do not have a proper understanding of the ‘conditions of triangular similarity’ showed the ‘misconception of perceiving triangles to be SAS similar when the ratio of the two sides is the same, and an angle is the same’, or showed the ‘misconception of seeing them as similar when one angle is the same’ or the ‘misconception of seeing them as similar when the two corresponding sides have the same length’, which is the misconception of judging the similarity with the insufficient factors. Students with such misconception showed errors of perceiving the triangles at a certain condition to be always similar, such as the ‘error of judging that the triangles are similar when there is a right angle’ or the ‘error of judging that the equilateral triangles are similar.’ There were also errors that seemed to be due to the lack of understanding of the contained angle, although the designation of similarity was true. These errors include the ‘error of unable to find a proper contained angle.’ Finally, students that do not have a correct understanding of the ‘relationship of similarity ratio, areal ratio, and volumetric ratio’ tended to show the ‘misconception of believing similarity ratio=areal ratio=volumetric ratio’. Also, some students were not clearly found to have misconceptions, but showed the ‘error of solving the problem using the belief‘similarity ratio=areal ratio=volumetric ratio’ if the figures were not given in the problem, although they did properly when the figures were given’ due to the visual influences. The following shows the results and implications driven from the research questions. Findings showed that the big ideas were correlated, but there were particular big ideas that are more closely correlated, and that the students who lack the understanding of both ‘conformal isometry’ and the ‘relationship between similarity ratio, areal ratio, and volumetric ratio’ tended to perceive the factors, such as the angle, area, and volume, to be proportional to the length of the side. Thus, through the analysis of the misconceptions and errors regarding the big ideas, students’ tendencies could be understood, and therefore, a more effective teaching-learning could be developed based on the big idea to be able to improve the misconceptions and errors. Through the results driven in this study, the teachers could teach the students focusing on the four big ideas of similarity, and the results also bring an implication of enabling the conjecture to see the directions of the concepts that led to the errors by the students. Also, since the unit of ‘similarity of figures’ is an integrative unit embracing various other units, it is necessary to understand the degree of prerequisite preparedness, and perform teaching based on that. Also, the big idea could not be defined as one concept even in the same field; we suggest succeeding studies to analyze the misconceptions and errors that are made by the students, except for the predefined four concepts.