수학적 사고 스타일에 따른 문제해결과정에서의 표현 분석

Abstract

사람들은 각자 가지고 있는 경험이 다르고, 경험을 통해 형성한 인지 구조가 다르기 때문에 동일한 내용이라 할지라도 그에 대한 표현 방식과 해석이 다를 수 있다(박지현, 이종희, 2013). 사고 스타일은 이러한 차이에 미치는 요인 중 하나로 개인이 선호하는 사고방식을 의미하며(Sternberg, 1997), 겉으로 보이지 않지만 사람의 말과 행동을 통해 발현될 수 있다(Goldin & Kaput, 1996). 그런데 이러한 사고 스타일은 능력이 설명하지 못하는 학생들의 학습 과정을 설명할 수 있다(Sternberg & Grigorenko, 2001)는 점에서 주목할 필요가 있다. 수학에도 수학적 사실을 이해하고 표현하는데 있어 선호하는 방식, 즉 수학적 사고 스타일(Ferri, 2015)이 존재한다. 이러한 수학적 사고 스타일은 학생들의 학습 과정을 이해하는 도구가 될 수 있으므로, 수학 교수-학습 과정에서 고려해야할 중요한 요소라 할 수 있다. 표현은 의사소통을 위한 도구이며 사고를 위한 도구, 그리고 문제 해결의 도구가 된다. 특히 문제해결과정에서의 표현은 학생들의 사고 과정과 결과를 모두 보여준다(NCTM, 2000, 류희찬 외 공역, 2007). 이처럼 학생들의 수학적 사고스타일은 학생들이 문제해결과정에서 나타낸 표현과 밀접하게 연결되어 있는 개인적 특성으로, 수학적 사고 스타일과 문제해결과정에서의 표현을 함께 살펴볼 필요가 있다. 따라서 본 연구는 학생들의 수학적 사고 스타일을 조사하여 4개의 유형으로 분류한 후 수학적 사고 스타일과 문제해결과정에서의 표현은 어떠한 관련성이 있는지 조사하고, 문제해결과정에서의 표현 유형에 따라 수학적 사고 스타일의 특성은 무엇인지에 대해 종합적으로 분석하여 수학과 교수-학습 개선의 방안으로서 수학적 사고 스타일을 제안하고자 한다. 이에 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 수학적 사고 스타일에 따라 문제해결과정에서의 표현(시각적 표현, 수치-대수적 표현, 통합적 표현)은 어떻게 분포되어 있는가? 2. 문제해결과정에서의 표현 유형에 따라 수학적 사고 스타일의 특성은 어떻게 나타나는가? 각 연구문제에 대한 결과를 얻기 위해 ‘part1. 문제해결과정에서의 표현에 대한 검사 문항’과 ‘part2. 수학적 사고 스타일에 대한 설문 문항’을 제작하였다. 제작된 문항에 대하여 수학교육전공 석사과정 대학원생 및 전문가의 자문과 한 차례의 예비 검사를 실시하였고, 이를 통해 문항을 수정·보완하여 최종 검사지를 완성하였다. 본 연구는 연구에 자발적으로 참여하고자하는 약 400명의 고등학교 1학년 학생을 대상으로 진행하였다. 수학적 사고 스타일과 문제해결과정에서의 표현 사이의 관련성 및 특징을 알아보기 위하여 먼저 수학적 사고 스타일을 4개의 유형으로 분류하였다. 그리고 분류한 수학적 사고 스타일에 따라 문제해결과정에서 나타낸 표현에 대한 코딩을 실시하였다. 본 코딩에는 연구자를 포함한 3명의 코더들이 참여하였으며, 분석 결과에 대한 신뢰도를 확보하였다. 본 연구의 연구결과는 다음과 같다. 연구문제1의 결과, 수학적 사고 스타일에 따라 문제해결과정에서 나타낸 표현은 차이가 있는 것으로 나타났다. 이러한 차이는 특히 시각형과 수치-대수형의 차이가 두드러지게 나타났다. 즉 시각형은 전반적으로 시각적 표현의 분포율이 4개의 유형 중 가장 높은 경향을 보였고, 수치-대수적 표현의 분포율은 전반적으로 가장 낮은 경향을 보였다. 반면 수치-대수형은 시각적 표현의 분포율이 전반적으로 다른 유형에 비해 가장 낮은 경향을 보였지만, 수치-대수적 표현의 분포율은 전반적으로 가장 높은 경향을 보였다. 한편 통합형 A는 통합적 표현의 분포율이 4개의 유형 중 다소 높은 경향성을 보였고, 통합형 B는 분포 양상에 뚜렷한 특징이 보이지 않았다. 이를 통해 수학적 사고 스타일은 문제를 해결하는 과정에서 나타내는 표현과 어느 정도 관련성이 있음을 확인할 수 있었다. 연구문제2의 결과, 수학적 사고 스타일에 따라 시각적 표현의 다양성과 수치-대수적 표현의 방법에는 차이가 없었지만, 엄밀성과 연결성, 그리고 일반화의 전략에는 다소 차이가 있었다. 수학적 사고 스타일에 따라 시각적 표현의 엄밀성과 연결성에 다소 두드러진 차이를 보인 유형은 시각형과 수치-대수형이었다. 즉 4개의 유형 중 시각형은 시각적 표현에 엄밀성과 연결성을 갖춘 경향성이 다소 높았고, 수치-대수형은 엄밀성을 갖추었다고 보기 어려운 시각적 표현과 연결성이 다소 부족한 시각적 표현을 나타낸 경향성을 보였다. 한편 통합형 A는 엄밀성이 다소 부족한 시각적 표현을 나타낸 경향성이 있었지만, 시각적 표현의 연결성을 갖춘 경우가 4개의 유형 중에서 가장 많았다. 그리고 통합형 B는 시각적 표현의 엄밀성과 연결성이 전반적으로 다소 부족한 경향을 보였다. 일반화 전략에 있어서 수치-대수형은 일반화된 식을 제시하여 문제를 해결하려는 경향성을 보인 반면 시각형은 직접 세어서 문제를 해결하려는 경향성을 보였다. 한편 통합형 A와 통합형 B는 수치적으로 문제를 해결하려는 경향성이 유사하게 나타났다. 이를 통해 동일한 시각적 표현일지라도 수학적 사고 스타일에 따라 나타내는 표현은 질적인 면에 차이가 있다는 것을 알 수 있었다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론 및 시사점을 얻었다. 수학적 사고 스타일과 문제해결과정에서의 표현 사이에는 관련성이 있음을 확인할 수 있었다. 이처럼 수학적 사고 스타일이 문제해결과정에서의 표현에 미치는 영향을 고려해볼 때, 학생들의 개인적 특성으로서 수학적 사고 스타일을 고려한 수학 교수-학습이 이루어져야한다. 수학 교수-학습에서 수학적 사고 스타일을 고려한다면 학습측면에서 학생들이 자신에게 맞는 학습 방법과 개선해야 될 학습 내용을 파악할 수 있는데 도움을 줄 수 있을 것이다. 그리고 학생들의 각기 다른 수학적 사고 스타일을 고려하여 학생들에게 다양한 표현을 경험하고 학습하게 한다면 이로 인해 발생할 수 있는 학습기회의 차이를 완화할 수 있을 것이다. 또한 문제해결과정에서 학생들이 나타내는 표현은 자신이 선호하는 수학적 사고 스타일에 따라 다를 수 있기 때문에 수학적 사고 스타일을 고려한 평가 방법이 이루어져야 하며, 교과서는 학생들이 학습할 때 사용하는 중요한 학습 자료로서 수학적 사고 스타일을 고려하여 다양한 표현을 제공하고 있는지에 대해 재진단할 필요가 있다. 본 연구는 수학적 사고 스타일과 문제해결과정에서의 표현 사이의 관련성과 특징을 분석하여 수학적 사고 스타일이 학생들의 수학 학습에 영향을 미치는 요소임을 검증한 하나의 시도로서 의의가 있으며, 수학 교수-학습 개선의 방안으로 수학적 사고 스타일을 활용할 수 있다는 시사점을 제공한다. 또한 본 연구 결과를 통해 알 수 있는 수학적 사고 스타일의 특성은 교사에게 유용한 정보로 활용될 수 있으며, 이는 교육과정에도 영향을 미칠 수 있다. 따라서 수학 교수-학습 전반에 걸쳐 영향을 미치는 것으로 고려되는 수학적 사고 스타일에 대한 다양한 연구와 실천적 노력이 필요할 것이다.;Since people have each different experience and various cognitive structures through experiences, their representation methods and interpretations on the same contents can be different(Park et al., 2013). A thinking style as a factor influencing these differences means a thinking method(Sternberg, 1997) and it is not visible seemingly but can be revealed through people‘s words and behaviors(Goldin & Kaput, 1996). However, it is required to pay attention to this thinking style in the point that the thinking style is able to explain the learning process of students that can not be explained by abilities(Sternberg & Grigorenko, 2001). Also in mathematics, the mathematical thinking styles can be classified by preferred methods in thinking, explaining or explaining mathematical facts(Ferri, 2015), and these mathematical thinking styles as personal characteristics that are closely connected to mathematics learning can called a critical factor to be considered in the mathematics teaching-learning process. Representation is a tool for communication and becomes a tool for thinking and a tool for problem solving. Particularly, representation in the problem solving process shows all the thinking process and results of students(NCTM, 2000, Ryu Hee-chan et al., 2007). Accordingly, in order to understand the mathematical thinking styles of students, the representation found in the problem solving process needs to be reviewed, and on the other hand, in order to understand the representation shown in the problem solving process of students, the mathematical thinking styles of students need to be examined. Therefore, the purpose of this study is to suggest implications for mathematics teaching-learning improvement by examining the relevance and characteristics between mathematical thinking styles and representation in the problem solving process. This study established research problems as follows : 1. How is the distribution of the representation(visual representation, arithmetic-algebraic representation, integrated representation) in the problem solving process according to mathematical thinking styles? 2. What are the characteristics of mathematical thinking styles according to the representation types in the problem solving process? In order to obtain the results on each research problem, ‘test questions on part 1. the representation of the problem solving process’ and ‘questions on part 2. mathematical thinking styles’ were produced. The questions were revised and supplemented and finally the final questionnaire were completed through one preliminary test as well as consultation of graduate students in the master‘s course in mathematics education and specialists. The survey of this study was conducted on around 400 high school students at first grade who wanted to voluntarily participate. So as to examine the characteristics of the relevance between mathematical thinking styles and the representation of the problem solving process, fir of all mathematical thinking styles were divided into four types. According to the classified mathematical thinking styles, coding about the representation in the problem solving process was performed. Three coders including me participated in this coding and reliability on the analysis results was secured. The results of this research are as below. As a result of the research problem 1, it was found that the representation shown in the problem solving process according to mathematical thinking styles had differences. One difference, in particular the difference of the arithmetic-algebraic type, was remarkable. That is, as for the visual type, the distribution rate of the visual representation was highest in all the questions except for no. 1 question, and that of the arithmetic-algebraic representation was lowest in all the questions except for question no. 3. On the other hand, as for the arithmetic-algebraic type, the distribution rate of the visual representation was lowest in all the questions compared to the other types and the arithmetic-algebraic representation showed the highest distribution rate in all the questions. But, the integrated type A generally showed the highest tendency in the distribution rate of the integrated representation out of the four types and the integrated type B did not show a distinct characteristic in the distribution aspect. It was confirmed through this that mathematical thinking styles have some relevance with the representation found in the problem solving process. As a result of the research problem 2, there was no difference in the variety of the visual representation and the method of the arithmetic-algebraic representation according to mathematical thinking styles but had some differences in strictness, connectivity and strategy of generalization. The type that showed a little remarkable differences in the strictness and connectivity of the visual representation according to mathematical thinking styles was the arithmetic-algebraic type. In other words, the visual type among the four types turned to be a little higher tendency with strictness and connectivity to the visual representation, and the arithmetic-algebraic type showed a tendency that had a little insufficient visual representation with connectivity to the visual representation that seemed to have insufficient strictness. On the other hand, A had a tendency that showed a little satisfactory visual representation in strictness, but was highest in connectivity of the visual representation among the four types. Furthermore, the integrated B showed a little insufficient tendency on the whole in strictness and connectivity of the visual representation. In the strategy of generalization, the arithmetic-algebraic type showed a tendency to solve a problem by suggesting a generalized formula, but the visual type tried to solve a problem by counting. But, the integrated A and B had a similar tendency to solve a problem arithmetically. It was found through this result that even the same visual representation showed a difference in the quality of representation found according to mathematical thinking styles. Below results and implications could be derived from the result of this study. It was confirmed that the there is a relation between mathematical thinking styles and the representation in the problem solving process. When the effects of mathematical thinking styles on the representation in the problem solving process are considered, a mathematics teaching-learning that considers mathematical thinking styles as personal characteristics of students should be performed. Moreover, education that enables students to learn diverse visual representations is required and because the mathematics teaching-learning a little emphasizing the arithmetic-algebraic representation may cause the differences of opportunities to learn between students with high preference tendency and those with low preference tendency of arithmetic-algebraic thinking styles as grades gradually rise, education that utilizes integrated representation is necessary. In addition, because the representations of students in the problem-solving process can be different according to their preferred mathematical thinking styles, evaluation methods that consider mathematical thinking styles should be made, and textbooks as important materials to be used for student‘s learning should be rediagnosed whether they provide diverse representations by considering mathematical thinking styles. This study is significant in that it is an attempt to verify that mathematical thinking styles are the factor that influences mathematics learning of students by analyzing characteristics as well as the relevance between representations in mathematical thinking styles and the problem solving process, and it suggests implications that mathematical thinking styles can be utilized as a plan for mathematics teaching-learning improvement. In addition, the characteristics of mathematical thinking styles that are found by the results of this study can be utilized as useful information and this may have effects on curriculums. Consequently, it is required to put practical efforts as well as conduct various studies on mathematical thinking styles that are considered to the factor influencing the whole mathematics teaching-learning.