고등학교 학생들의 수학적 모델링 과정에서 나타난 메타인지 사례 연구

Abstract

The revised 2009 curriculum requires students to have the ability to solve problems in their life, the natural surroundings and a social phenomenon through school mathematics, as well as the ability to solve problems presented by textbooks. Accordingly, the phase of ‘the mathematical modeling’ is increasing in order to increase the effectiveness of school mathematics lessons and problem solving ability about real-world phenomenon. In addition, a number of studies made in the country so far(Won Joo Jo, Oh Nam Kim, 2002; Hee Jung Lee, 2004; Yeon Ji Kim, 2011) have dealt with cognitive strategies, process, results appearing in the mathematical modeling process. In practice, however, meta-cognitive factors are affecting the success and failure in the process of students’ modeling problem solving. Dreyfus(1990) said students are required to monitor the process of developing the model through knowledge because they can not successfully complete the modeling process by using only knowledge. Then, he has highlighted the importance of metacognition in modeling. Therefore, this study expects to look for the educational value of mathematical modeling in high school math class and be helpful for a teacher when he or she takes students to experience a successful modeling process and heighten their meta-cognitive abilities. These are the questions of this study. 1. I analyze modeling capability of high school students through their mathematical modeling process. 2. I analyze the effect of meta-cognitive factors on modeling problem solving depending on modeling capabilities through meta-cognition appeared in the mathematical modeling process. To solve the research problem above, I set a development standard of mathematical modeling problem, and revised and compensated the defects, which I could discover from preliminary examination. The research has been progressed with 3 high school students in 1st grade(A, B, C) suggested with the final modeling questions, under observation. After that, I set a standard to analyze their mathematical modeling ability and science learning environment from each stage, and analyzed the information I got from the research (Student activity paper, video recorded transcribed data, research note of the researcher) through trigonometry demonstration. The result is as follows. The result of research 1 is, first, student A had completed his mathematical model about his set time, and had an application ability to the similar circumstances. Therefore the modeling ability was classified to the 'good'. Secondly, student B was unskilled at parameter setting and understanding objectives than student A, and couldn't form all the mathematical models. Therefore he was classified to the 'fair'. The third student C had trouble with understanding the condition of a question and terms, and gave up at the stage of mathematical ability forming. Therefore he is classified to the 'poor', the lowest level among three. The result of the research 2 is as follows. First the science learning environment factors, regardless of modeling ability, had shown high frequency from executive, knowledgeable, affective characteristic. This shows us that modeling solution requires more meta knowledges before conviction or feeling than general mathematical solution. Secondly, the student A with the highest modeling ability has activated metacognitive ability of knowledgable area at the pre-stages of modeling process. This has became a foundation at forming the mathematical model. Third, the modeling ability of the 'fair' level student was lower than A, but metacognitive factors related to 'evaluation' were appealed the most amongst others. Forth, appealing of metacognitive factors of the 'poor' level student was not spontaneous, and negative conviction and feeling were appealed at the affective domain among them. Therefore we could draw a conclusion and implication as follows. First, though the level difference wasn't very significant at the school math grade, but the difference was obvious at the modeling ability. Through this, we could discover that the analyzing ability and confidence are the driving force which leads to a successful direction, not just a mathematical knowledge. And the higher the modeling ability, the higher the student has invested more time at understanding the terms and planning, which are the pre-stage of modeling process. He also had induced an adequate mathematical model through the process of preferential forming of circumstance model. We could discover that 'controling' factor of metacognition to the higher ability of modeling appealed more through research result 2. This reminds us that this factor is more important than others at the stage of elaboration and validation for more successful mathematical modeling. 'Evaluation' factor showed us that the modeling ability and metacognitive factor is not always proportional. We could also find out that a student with low modeling ability is having trouble at activating his thinking skills enough due to a negative affective domain of metacognition. Based on this research result 2, a mathematics teacher has to provide an environment, which student can be confident by revelation of positive metacognitive factors at effective domain. A teacher also has to help the student to understand a necessary term or condition completely for forming a mathematical model by activating metacognitive factors of knowledge area at the pre-stage of modeling. A teacher also has to induce questions to reveal 'controling' factor to validate and elaborate students' own mathematical model, and 'evaluation' factor to evaluate their own mathematical model and seek for new direction. Though the process and examination above, this research is meaningful at analyzing the different role of metacognitive factors according to modeling ability in mathematical modeling process, and suggesting a method, which math teachers can experience successful modeling process at the education field.;2009 개정 교육과정에서는 학생들이 학교 수학을 통해 교과서에 제시된 문제를 해결하는 능력뿐 아니라 생활 주변과 자연, 사회 현상에서 나타나는 문제까지 해결할 수 있는 능력을 함양하기를 요구하고 있다. 이에 따라 실세계 현상에 대한 문제해결력 및 학교 수학 수업의 효율성을 높이기 위해 ‘수학적 모델링’의 위상이 높아지고 있다. 또한 지금까지 국내에서 이루어진 많은 연구들(조원주, 권오남, 2002; 이희정, 2004; 김연지, 2011)은 수학적 모델링 과정에서 나타나는 인지적 전략, 과정, 결과를 다루어왔다. 그러나 실제 학생들이 모델링 문제를 해결하는 과정에서 그 성공과 실패에 메타인지(metacognition)적 요인이 영향을 미치고 있다. Dreyfus(1990)는 지식만으로는 모델링을 성공적으로 마칠 수 없기에 학생들은 지식을 통해 모델을 발전시켜나가는 과정을 모니터링해야 한다면서 모델링에서 메타인지의 중요성을 부각시켰다. 따라서 본 연구를 통해 고등학교 수학 수업 현장에서 수학적 모델링의 교육적 가치를 찾고, 교사가 학생들이 성공적인 모델링 과정을 경험하면서 그들의 메타인지 능력을 높일 수 있도록 지도하는데 도움이 되고자 한다. 이에 따라 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 고등학교 학생들의 수학적 모델링 과정을 통해 모델링 능력을 분석한다. 2. 수학적 모델링 과정에서 나타난 메타인지를 통해 모델링 능력별로 메타인지 요소가 모델링 문제해결에 미친 영향을 분석한다. 위의 연구문제를 해결하기 위해 수학적 모델링 문제의 개발 기준을 설정하고, 그 기준에 적합한 모델링 문제를 개발하여 예비 실험을 통해 알게 된 문제점을 수정·보완하였다. 이러한 과정을 통해 얻은 최종 모델링 문제를 서울에 소재한 고등학교의 1학년 학생 3명(A, B, C)에게 제시하여 연구자가 참여 관찰하는 형태로 본 실험을 진행하였다. 이후, 그들의 수학적 모델링 능력 및 모델링 각 단계에서 나타난 메타인지 요소를 분석할 기준을 마련하여 본 실험을 통해 얻은 자료(학생 활동지, 비디오 녹화 전사자료, 연구자의 연구노트)를 삼각 검증법을 이용하여 분석하였다. 이에 따른 연구 결과는 다음과 같다. 연구문제 1의 결과는 첫째, 학생 A는 자신이 설정한 기간에 대한 수학적 모델을 모두 형성하였으며 비슷한 상황으로의 적용 능력까지 갖추었기에 모델링 능력이 ‘상’ 수준으로 분류되었다. 둘째, 학생 B는 변수 설정 및 문제의 목표 파악에서 학생 A에 비해 미숙한 모습을 보였으며 해당하는 모든 수학적 모델을 형성하지는 못하였기에 모델링 능력이 ‘중’ 수준으로 나타났다. 셋째, 학생 C는 문제의 조건이나 용어 파악에 어려움을 겪었으며 수학적 모델을 형성하는 단계에서 문제해결을 포기하였기에 세 학생 중 모델링 능력이 가장 낮은 ‘하’ 수준으로 나타났다. 연구문제 2의 결과는 다음과 같다. 첫째, 모델링 능력에 관계없이 메타인지 요소는 수행적, 지식적, 정의적 영역 순으로 출현 빈도가 높았다. 이는 일반 수학 문제해결에 비해 모델링 문제해결은 자신의 신념이나 감정에 비해 메타지식을 더 요구하고 있음을 보여준다. 둘째, 모델링 능력이 가장 높았던 학생 A는 모델링 과정의 앞 단계에서 주로 지식적 영역의 메타인지가 활성화 되었으며, 이는 수학적 모델을 형성하기 위한 밑거름이 되는 것으로 나타났다. 셋째, 모델링 능력이 ‘중’ 수준이었던 학생 B는 모델링 능력은 학생 A보다 낮았으나 ‘평가하기’와 관련된 메타인지 요소는 세 학생 중 가장 많이 나타나고 있었다. 넷째, 모델링 능력이 가장 낮았던 학생 C는 메타인지 요소의 발현이 다른 학생들에 비해 자발적이지 않았으며 정의적 영역의 메타인지는 주로 부정적인 신념과 감정에 대한 요소가 많이 나타났음을 알 수 있었다. 따라서 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 결론 및 시사점을 얻을 수 있다. 먼저 연구문제 1의 결과에서 학교 수학 성적에서는 수준 차이가 크게 나타나지 않더라도 모델링 능력에서는 그 수준 차이가 유의미하게 나타났다. 이를 통해 수학적 지식뿐 아니라 문제를 분석하는 능력 및 자신감이 수학적 모델링 과정을 성공적인 방향으로 이끄는 원동력임을 알 수 있었다. 또한 모델링 능력이 높을수록 문제를 이해하고 용어를 파악하여 계획을 세우는 모델링 과정의 앞 단계에 보다 많은 시간을 투자하였으며, 상황 모델을 우선적으로 형성하여 이를 통해 적절한 수학적 모델을 유도하는 모습을 보여주었다. 연구문제 2의 결과를 통해서 모델링 능력이 높은 학생에게서 메타인지의 ‘조절하기’요소가 더 많이 나타났음을 알 수 있는데, 이는 성공적인 수학적 모델링을 위해 필요한 정교화 및 타당화 단계에서 이 요소가 다른 메타인지 요소에 비해 더 중요하다는 점을 상기시켜준다. 또한 메타인지의 ‘평가하기’요소는 모델링 능력과 메타인지 요소의 발현이 반드시 비례하지는 않음을 보여주며, 모델링 능력이 낮은 학생은 부정적인 정의적 영역의 메타인지로 인해 모델링 과정에서 자신의 사고회로를 충분히 활성화시키는데 어려움을 겪은 것으로 볼 수 있다. 이러한 본 연구의 결론을 바탕으로 수학 교사는 모델링 과정에서 먼저 학생들의 긍정적인 정의적 영역의 메타인지 요소가 발현되도록 하여 스스로의 인지 과정에 자신감을 가질 수 있는 환경을 제공해야 한다는 점을 알 수 있다. 그리고 모델링의 앞 단계에서 지식적 영역의 메타인지 요소를 활성화시켜서 수학적 모델을 형성하는 데 필요한 용어나 조건을 보다 완전하게 이해할 수 있도록 도와주어야 한다. 또한 학생들이 자신이 만든 수학적 모델을 정교화, 타당화 시키기 위해 필요한 메타인지의 ‘조절하기’요소 및 자신의 수학적 모델을 평가하고 새로운 방향을 모색하기 위해 필요한 메타인지의 ‘평가하기’요소가 스스로 발현될 수 있는 방향으로 질문을 유도해야 한다. 이를 통해 본 연구는 수학적 모델링 과정에서 모델링 능력에 따른 메타인지 요소의 역할 차이를 분석하여 학교 현장에서 수학 교사가 학생들이 성공적인 수학적 모델링 과정을 경험하게 하기 위한 방안을 제시했다는데 의의가 있다.