수학교사들의 내용과 학생 지식(KCS)과 내용과 교수 지식(KCT) 분석

Abstract

교수·학습 과정에서 교사와 학생의 의지와 감정이 반영되어 예측하기 어렵고, 어떤 교수방법이 학생들에게 효과적으로 적용될 수 있는지 불확실하다(Labree, 2000). 따라서 교사들은 교육의 질을 높이는 내용지식과 교수학적 내용지식을 만들어내고, 학생들의 어려움과 혼란스러움을 개념, 주제, 절차 등을 이용하여 효과적으로 도와줄 수 있어야 한다(Feiman-Nemser, 2001). 이와 같은 학생에 대한 지식과 수학에 대한 지식은 학습의 질에 영향을 주고 교사의 수업설계에도 영향을 미친다(Ball, 2003). 이에 따라 교사의 지식과 실제 수업과의 연계성을 관찰하는 연구가 국내에서 꾸준히 이루어지고 있다. 수업의 질을 높일 수 있는 방법을 찾기에 앞서 본 연구에서는 교사들의 학생과 교수에 대한 지식의 특징을 분석하고, 수업에서 교사의 지식이 어떻게 나타나는지 조사하였다. 이를 위해 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 기하 영역에서 수학교사들의 ‘내용과 학생의 지식’ (KCS)와 ‘내용과 교수의 지식’ (KCT)이 각각의 하위요소별로 어떻게 구성되어 있는가? 2. 실제 중학교 기하 수업에서 두 교사의 KCS, KCT와 ‘수학 수업의 질’(MQI)는 어떤 관계가 있는가? 2-1. 실제 기하 수업에서 두 교사의 MQI에는 어떤 특성이 있는가? 2-2. 두 교사의 KCS, KCT와 MQI는 어떤 관계가 있는가? 각 연구문제에 대한 결과를 얻기 위해 중학교 기하영역의 ‘내용과 학생의 지식’ (KCS)과 ‘내용과 교수의 지식’ (KCT)을 검사할 수 있는 문항을 제작하였다. 제작된 문항에 대하여 수학교육전공의 석사과정 대학원생 및 전문가의 도움을 받아 문항을 수정･보완한 후 세 차례의 예비검사를 통하여 최종 검사지를 완성하였다. 검사지는 연구에 자발적으로 참여하고자 하는 교사들을 대상으로 배포하였으며, 22부의 검사지가 회수되었다. 회수된 검사지는 연구자를 포함한 3인의 사전코더들이 사전코딩을 진행하여 분석틀을 수정･보완한 후 확정된 분석틀로 연구자와 2인의 코더가 정답, 오답, 부분정답에 대하여 코딩, 분석하였다. 또한 수업에 나타난 교사의 지식을 분석하기 위하여 수업을 촬영하여 전사한 후 LMT(2006)에서 제공하는 수업분석코드를 이용하여 연구자를 포함한 3인의 사전코더들이 사전코딩을 한 후 의미가 모호하거나 분석과정에서 유의미하지 않은 분석코드는 수정하였다. 본 코딩은 교사경험이 있는 코더를 선정하여 코딩한 후 분석하였다. 본 연구의 연구결과는 다음과 같다. 연구문제 1의 결과, KCS의 하위요소별 문항의 응답사례를 분석해보면 교사들은 오류의 진단은 가능하지만 오류의 유형과 오개념의 원인을 예측하는 지식이 부족하다고 유추할 수 있다. 또한 교육과정이나 교과서를 재해석하여 가르치는 것보다는 교과서에 대한 의존도가 높다는 것을 볼 수 있었다. 또한 KCT의 하위요소별 응답사례를 분석해보면 교사들은 하나의 개념을 다양하게 표현하는 부분은 부족하지만 수업을 설계할 때 각 활동의 장단점을 알고 있었다. 또한 피드백을 제공할 때는 학생들의 이해를 촉진하는 피드백보다는 정답에 대한 명시적인 피드백을 제공하고 있다는 것을 알 수 있었다. 연구문제 2의 결과, ‘학생의 전형적인 오류’를 파악하고 학생의 이해상태와 오개념을 파악했던 교사A는 수업에서도 ‘학생의 오류를 이용’하여(18%) 수업을 진행하였고, “왜”라는 질문을 통해 ‘학생의 이해를 체크’하면서 학생으로부터 서술·설명을 잘 이끌어냈다. 또 다양한 표현방법을 알고 과제 선택시 활동을 중요시 했던 교사A는 수업에서 ‘시각적이고 구체적인 모델’(93%)과 ‘다양한 모델을 사용’(39%)하였다. 학생의 전형적인 오류의 원인을 파악하지 못했던 교사B의 경우 수업에서 ‘학생의 오류를 사용’(4%)하는 요소가 거의 나타나지 않았다. KCT에서 수업의 과제를 선택할 때 직접적인 활동 후 반드시 정당화과정을 거쳐야한다고 했던 교사B의 경우 수업에서 ‘수학적으로 정당화하기’(35%)가 적지 않게 나타났다. 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 결론 및 시사점을 얻었다. 학생의 오류에 대해 낮은 지식을 갖고 있는 교사는 수업 시간에 발생한 학생들의 오류를 무시하는 경향을 가지고 일방적인 설명으로 끝내는 것을 확인할 수 있었다. 또한 특정한 아이디어를 상황에 따라 다양하게 표현하지 못하는 것을 확인할 수 있었다. 이러한 교사는 정형화된 교과서 문제 풀이 위주의 수업이 주를 이루었다. 즉 학생에 대한 깊은 이해가 없으면 어떻게 가르쳐야 할지에 대한 깊은 이해가 나타나지 않게 되고, 결국 질 높은 교수가 나타나지 않게 된다. 반대로 교사가 학생에 대해 깊이 이해하고 수업시간에 학생들의 오류나 오개념을 적절히 활용하면, 오히려 수학에 대해 깊이 탐구하고 이해하는 발판이 될 수 있다. 다양한 사고와 배경을 가진 학생들을 지도할 때 교사는 한 개념에 대해서 다양한 접근을 할 수 있어야한다. 이를 통해 교사가 학생에 관한 지식과 교수에 관한 지식을 높이는 것은 수업의 질을 향상시키는 요인이 된다고 볼 수 있다. 본 연구의 결과를 통해 예비교사교육과 현직교사교육에 있어 구체적인 사례를 통한 교육이 이루어져야 한다는 방향을 제시할 수 있다. 그러므로 다양한 내용을 주제로 실제 수업에서 교사들의 지식을 분석한 연구 사례를 교사들에게 참고 자료로 제공할 필요가 있다. 또한 MQI 개념틀을 우리나라에 적합하게 연구․개발하여 수업 전문성을 신장시키고자 하는 교사들에게 제공할 수 있다고 사료된다.;The teaching and learning process is difficult to predict as it reflects the wills and emotions of teachers and students, and it is uncertain which teaching methods can effectively be applied to students(Labree, 2000). Therefore, teachers must create Content Knowledge and Pedagogical Content Knowledge which heightens the quality of education and they must use concepts, themes, and procedures to effectively help students in their difficulties and confusion(Feiman-Nemser, 2001). In this way, knowledge of students and knowledge of mathematics affect the quality of mathematics teaching and learning(Ball, 2003). At this, research observing the connectivity of teacher knowledge and actual classes is consistently being conducted in Korea. Before searching for a way to heighten mathematical quality of their instrucion, this study analyzed the characteristics of teacher knowledge regarding students and teaching and investigated how the knowledge of teachers appeared in class. For this, the present study set up the following research problems. 1. In the field of geometry, how are the ‘contents and student of knowledge’ (KCS) and ‘contents and teaching of knowledge’ (KCT) of mathematics teachers composed into their respective subcomponents? 2. What relationship do the KCS and KCT of two teachers have with ‘mathematical quality of instrucion’(MQI) in actual middle school geometry classes? 2-1. What characteristics do the MQI of two teachers have in actual geometry classes? 2-2. What relationship do the KCS and KCT of two teachers have with MQI? To find the results to each research problem, questions that can examine ‘contents and student of knowledge’ (KCS) and ‘contents and teaching of knowledge’ (KCT) were made. The questions were revised and supplemented with the help of graduate students in the masters’ course of mathematical education along with experts and after three preliminary tests, the final questionnaire was completed. The questionnaire was distributed to teachers who were willing to voluntarily participate in the study and 22 questionnaires were collected. The collected questionnaires were pre-coded by 3 pre-coders including the researcher and after the analysis framework was revised and supplemented, the researcher and two coders used the finalized analysis framework to perform coding and analysis for correct answers, incorrect answers, and partially correct answers. Also, to analyze teacher knowledge in class, classes were filmed and transcribed and using a class analysis code provided in the LMT(2006), 3 pre-coders including the researcher conducted pre-coding to revise analysis codes which have vague meanings or those that are not significant in the analysis process. Coders with teaching experience were selected and they performed coding and analysis. The results of this study are as follows. For research problem 1, when response cases of the questions are analyzed by KCS subcomponents, it can be inferred that teachers can diagnose errors but lack knowledge in predicting error types or the causes of misconceptions. Also, it could be seen that instead of teaching reinterpretations of teaching courses or textbooks, teachers showed a high dependence on textbooks. Also, when response cases are analyzed by the subcomponents of KCT, teachers lacked diverse expression of a single concept but knew the merits and weaknesses of each activity when designing classes. Also, when providing feedback, they provided explicit feedback of the correct answers rather than feedback that promotes the students’ understanding. Results of research problem 2 showed that Teacher A, who understood the ‘Common student error’ and the students’ understanding of content and misconceptions, conducted class ‘Uses students’ errors (18%), and ‘Ways to check for student understanding’ through the question of ‘why’ and led the students to give descriptions and explanations well. Also, Teacher A, who knew various methods of expression and placed importance on activities when selecting assignments, used ‘Selection of correct manipulatives, and other visual and concrete models to represent mathematical ideas’(93%) and ‘Multiple models’(39%) in class. Teacher B, who did not understand the causes of the students’ common errors, hardly showed any elements of ‘Uses students’ errors‘(4%) in class. Teacher B, who thought that when selecting class assignments in KCT a justification process must be passed after direct activity, displayed ‘Mathematical justification’(35%) often. Based on the results of this study, the following results and implications were gained. The teacher who had little knowledge of student errors had a tendency to neglect student errors which occur during class, ending classes with unilateral explanation. Also, this type of teacher could not diversely express specific ideas according to differing situations. They conducted classes that focused on standardized textbook problem solving. In other words, without an understanding of the students, there is no deep understanding of how to teach and teaching of high quality does not take place. On the other hand, if the teacher deeply understands the students and appropriately utilizes student errors and misconceptions in class, then this can actually offer a foothold for a deeper exploration and understanding of mathematics. When instructing students with various thinking and backgrounds, teachers must be able to make diverse approaches to concepts. When a teacher heightens their level of knowledge regarding students and teaching through this, it can be a factor which enhances class quality. Through the results of this study, directionality can be given towards education through detailed cases for prospective teacher education and in-service teacher education. Therefore, research cases which analyze teacher knowledge in actual classes themed on various contents must be provided to teachers as reference material. Also, MQI frameworks can be researched and developed to fit Korea and offered to teachers who wish to expand their class expertise.