중학교 수학 교과서 기하영역에서의 정당화 기회 분석

Abstract

본 연구에서 중학교 1, 2, 3학년 수학 교과서에서 정당화가 어떻게 주어져 있는지 내용설명 및 예제와 연습문제로 나누어 분석함으로써 교사들은 교과서를 통해 정당화를 어떻게 지도하고 있고, 학생들은 정당화 활동을 어떻게 접하고 있는지 확인하여 실제 수업에서 정당화 활동이 효과적으로 지도될 수 있게 기여하고자 한다. 또한, 본격적으로 정당화가 도입되는 중학교 2학년 교과서에서는 2007 개정 수학과 교육과정과 2009 개정 수학과 교육과정을 비교함으로써 새 교육과정을 교과서가 얼마나 잘 반영하고 있는지를 분석하고자 한다. 정당화의 선행연구를 살펴보면 대부분 Harel과 Sowder(1998)을 분석틀을 바탕으로 그대로 사용하거나 좀 더 세분화하여 연구가 이루어지고 있다. 그러나 이는 교과서에서 학생들에게 정당화가 어떻게 제시되어 있는지를 보기엔 부족하기 때문에 교사가 설명하는 부분과 학생이 활동하는 부분을 나누어서 정당화를 살펴볼 필요가 있다. Thompson(2012)와 Samuel Otten(2014)의 연구를 보면 정당화에 대한 교과서 분석을 교사가 설명하는 부분인 내용설명과 예제, 학생이 활동하는 부분인 연습문제를 구분지어 연구를 진행하였다. 그러나 이는 미국 교과서를 바탕으로 진행한 연구이기 때문에 이 분석틀을 우리나라 교과서 실정에 맞게 수정하여 분석틀을 재설정할 필요가 있다. 이에 따라 본 연구에서는 내용설명 및 예제에 관한 정당화의 분석틀과, 연습문제에 관한 분석틀을 구성하였고, 이에 따른 연구문제를 다음과 같이 설정하였다. 첫째, 2009 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 수학 교과서 기하 영역에서 내용설명 및 예제에서의 정당화하기 기회와 연습문제에서의 정당화하기 기회는 각각 어떻게 제시되어 있는가? 둘째, 연구문제1에서 나온 결과를 바탕으로 학년별로 정당화하기 기회들은 어떠한 차이가 있는가? 셋째, 2007 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 2학년 기하영역에서의 정당화하기 기회는 2009 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 2학년 기하영역과 어떠한 차이가 있는가? 설정한 세 연구문제를 살펴보기 위해 2009 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 1, 2, 3학년 교과서 3종과, 2007 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 2학년 교과서 2종을 선정하였다. 본 연구에서는 Samuel Otten(2014)의 분석틀을 수정하고 재구성하여 교과서를 분석하였다. 연구문제 1, 2, 3의 분석결과를 모두 종합해보면, 내용설명 및 예제에서는 교사가 경험적으로 정당화하여 제시하였지만 학생들이 풀어야 할 연습문제에서는 연역적 정당화로 다루어지고 있는 경우가 대부분이었다. 즉 학생들이 연습문제를 풀 때는 형식적으로 정당화를 다루고 있었다. 이는 학생들은 여전히 정당화에 대해 어려워하고 있을 것이라고 생각된다. 그리고 중학교 2학년에서 본격적으로 정당화를 도입하고 3학년 때는 다시 계산 위주로 돌아가면서 증명 구성하기(Ec)의 비율이 줄어들고 있다. 이를 통해 우리나라 교육과정의 문제점을 생각해 볼 수 있다. 즉, 수학에서 중요한 정당화가 중학교 2학년에서만 본격적으로 다룬 후에 중학교 3학년에서는 급격하게 줄어들고 있는 점은 학생들이 충분히 정당화를 접하지 못하여 정당화의 중요성을 깨닫지 못한 것으로 보인다. 2007 개정 교육과정에서 2009 개정 교육과정으로 이행될 때 형식적인 증명을 지양하고 경험위주의 지식을 바탕으로 정당화를 이루기를 기대했지만 크게 바뀐 점은 없다. 그러나 형식적인 정당화에 관련된 문제인 증명 구성하기(Ec)의 비율은 줄어들고 있었다. 즉, 2007 개정 수학과 교육과정에 비해 2009 개정 수학과 교육과정에서 형식적인 정당화를 위한 문제와 Jd의 비율이 점점 줄어들고 있는 것으로 보아 차츰 변화가 생길 것이라고 기대된다.;This study is intended to understand how the justification was applied in the mathematics text books of 1st, 2nd, 3rd grades of middle school and to analyze those books by dividing into two categories such as the content description, the examples and the exercises. And then, it will be verified how the teachers are teaching students about the justification through the books and how the students access to the justification activities. The justification activity can be effectively guided in the actual classes with those results. In addition, by comparing both 2007 revised mathematics curriculum and 2009 revised mathematics curriculum with the text book of 2nd grade of middle school which the justification is officially introduced, it can be analyzed whether the new text book reflects new curriculum or not. In examining the previous studies, most of the them used the analysis tool of Harel and Sowder(1988) as it is or as more segmented. However since it is not enough to show the students how the justification is suggested in the book, the investigation might be divided in two ways in order to see the justification such as one for the teacher explains and the other for the students acts. The studies of Thompson(2012) and Samuel Otten(2014) have been progressed with the first part that the teacher explained about the text book analysis of the justification referred as the content explanation and with the second part that the students ar mainly active referred as the examples and exercises. However since those were the studies based on the text books of US, it is required to re-set the analysis tool that fits to our situation. Therefore, this study was constructed with content explanation, the analysis tool for the justification of the examples and the analysis tool for the exercises and assigned the topics for studying as follows: First, how were the issues suggested such as the explanation about the contents of the geometry section in the text book which follows the revised math curriculum in 2009, the opportunity for justification in the content description and in the examples and the opportunity for justification in the exercises? Second, based on the result from the topic 1, what is the difference between opportunities of each grade for the justification? Third, what is the difference between the geometry section of 2nd grade of middle school which follows the revised curriculum of 2009 and those for 2007 which were identified through topic 1. In order to examine three topics, three different sets of math text books 1, 2, 3 grade of middle school which follow the revised curriculum of 2009 and two different sets of text books which follow the revised curriculum in 2007 were selected. In this study, the text books were analyzed by adjusting and re-constructing the analysis tool of Samuel Otten(2014). In aggregating of the results of analysis of topic 1,2 and 3, The teacher presented with “Jem” in the content explanation and in the examples but the exercise problems which the students should solve was dealt as “Jd” in most of the cases. This implies that the students have just formally dealt with justification when solving the exercise problems. It is thought that some students still feel the difficulty for justification. And the justification is introduced in the 2nd grade and the rate for “Ec” is decreased as it turns back to the calculation-weighted in the 3rd grade. This might be an opportunity to think about the problems in our educational processes. In other words, The justification which is very important in math is dealt in only 2nd grade and significantly decreased in the 3rd grade. This means that the students can not have enough chances to the justification and don't realize the importance of the justification. There was not much changes in transition from the revision of 2007 to 2009 even though it was expected to be the justification from the experienced knowledges and to stop the just formal proof. However the rate of “Ec” which is related to the formally justification is decreasing. Thus, it is expected to have changes in near future as the issue for the formal justification is decreasing in the revised math curriculum in 2009 comparing to the revised math curriculum in 2007 and the rate of “Jd” is decreasing.