고등학생들의 표본평균의 분포에 대한 통계적 추론 분석

Abstract

현대 사회는 지식정보화 사회로 통계학의 중요성이 대두되고 있다(한국교육과정평가원, 2009). 민진원(2010)에 따르면 현대적 의미의 통계학은 추측통계를 의미하며, 우리나라 고등학교 통계에서 학습하는 통계적 추정이 바로 이에 해당된다. 그런데 이은섭, 이승수(2004)가 고등학생 591명을 조사한 결과 약 67%의 학생들이 통계 영역이 어렵다고 응답하였다. 또한 우정호(2007)는 학생들이 통계적 감각을 갖고 통계와 실제의 관련성을 보는 안목이 부족하다고 지적하였다. 따라서 현재 고등학교 통계 교육의 실태를 분석하고, 앞으로의 통계 교육의 올바른 방향을 설정하는 것이 필요하다. 이를 위해 먼저 고등학교 통계를 학습한 학생들의 통계적 추론 능력과 통계에 대한 태도, 통계를 인식하는 방법을 분석하는 연구가 필요하다고 할 수 있다. 특히 다수의 연구자들은 통계적 추정의 올바른 이해를 위해서는 표집분포의 이해가 필수적이라고 하였다(예. 이영하, 이은호(2010); 고은성, 이경화(2011)). 따라서 본 연구에서는 고등학생들의 통계적 추론을 분석하고자 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 통계적 추정 단원을 학습한 학생들이 표본평균의 분포에 대하여 이해하는 과정에서 보이는 통계적 추론의 특징은 무엇인가? 1-1. 통계적 추정 단원을 학습한 학생들은 표본평균의 분포와 이와 관련한 개념 들-표본추출, 표본의 대표성, 표본의 크기와 변이성, 표본평균의 평균과 표준편 차, 확률변수 , 표본분포와 표본평균의 분포-(이하 관련 개념)을 어떠한 통계 적 추론을 거쳐 이해하고 있는가? 1-2. 표본평균의 분포와 관련 개념에 대하여 대학수학능력시험(이하 수능) 수학 B형 성적의 상위권 학생들과 하위권 학생들 사이에는 통계적 추론의 차이가 있는가? 1-3. 표본평균의 분포와 관련 개념에 대하여 남학생들과 여학생들 사이에는 통계적 추론의 차이가 있는가? 1-4. 통계적 추정 단원을 학습한 학생들의 통계에 대한 태도와 통계를 인식하는 방법은 어떠한가? 연구문제 1-1을 해결하기 위해 검사와 개별 인터뷰를 실시하였다. 표본평균의 분포와 관련 개념들을 묻는 검사를 제작하였고, 서울 시내 고등학교 3곳을 편의 표집하여 2, 3학년 학생들 190명을 대상으로 검사지의 각 문항에 대한 응답을 분석하였다. 190명의 학생들 중 응답의 특성에 따라 인터뷰 대상 학생 7명을 선정하여 반구조화 인터뷰를 실시하였다. 선행 연구를 바탕으로 인터뷰 대상 학생들의 통계적 추론 과정을 분석하기 위한 인터뷰 분석틀을 제작하였고, 이에 따라 인터뷰를 분석하였다. 인터뷰를 분석할 때에는 연구자의 질문과 학생의 응답을 짝지어 하나의 분석단위로 하였다. 연구문제 1-2를 위해 연구에 참여한 190명 중에서 2015학년도 수능 수학B형 점수가 파악된 A 고등학교 학생 51명의 수능점수의 사분위수를 구하였다. 이에 따라 상위권 학생 10명과 하위권 학생 12명을 선정하여 이들의 검사지 각 문항의 응답의 차이가 있는지 다변량분산분석(MANOVA)를 통해 분석하였다. 연구문제 1-3을 해결하기 위해, 성별을 제외한 다른 조건을 통제하고자 3개의 고등학교 중 남녀공학 고등학교였던 B 고등학교 학생들의 검사지 결과를 분석하였다. 남학생 28명과 여학생 36명을 선정하여 검사지의 각 문항의 응답의 차이가 있는지 t-검정을 실시하여 분석하였다. 연구문제 1-4를 해결하고자 선행연구를 바탕으로 통계에 대한 태도와 통계를 인식하는 방법을 분석하는 인터뷰 분석틀을 제작하였고, 이에 따라 인터뷰 대상 학생 7명의 인터뷰 내용을 분석하였다. 인터뷰 분석 단위는 연구자의 질문과 학생의 응답을 짝을 지어 이것을 하나의 분석단위로 하였다. 연구문제 1-1에 대한 결과는 다음과 같다. 표본추출법을 묻는 두 문항의 정답률은 33.7%, 65.3%였다. 즉, 연구에 참여한 학생들 중 약 66%의 학생들은 임의추출의 의미와 필요성에 대하여 잘 이해하지 못하고 있었다. 또한 표본의 대표성을 묻는 문항에서는 23.7%의 정답률을 보였는데, 인터뷰 결과, 두 명의 학생들이 표본을 모집단을 대표할 수 있는 부분집합으로 이해하기보다 단순한 부분집합으로 이해하고 있었다. 검사지의 표본평균의 평균과 표준편차를 묻는 5개의 문항 중 2개의 문항은 10종의 적분과 통계 교과서의 표본평균의 분포 단원 문항의 34%를 차지하는 형태의 문항이었다. 그런데 이 두 문항의 정답률이 각각 약 53.7%, 48.9% 로, 다른 문항들에 비해 높은 정답률을 보였으며, 인터뷰 대상 학생 7명 모두 이 두 문항을 정확하게 맞혔다. 그러나 표본평균의 평균과 표준편차의 개념만을 묻는 세 문항은 각각 35.8%, 34.2%, 16.3%의 정답률을 보였다. 개념이해를 묻는 문항을 틀린 학생들 중 절반이 개념이해와 계산 절차의 숙지가 필요한 문항을 맞혔다. 학생들은 개념 이해와 계산 절차의 숙지가 필요한 문항에서 개념 이해보다는 계산 절차에 중점을 두고 해결하였을 가능성이 있다. 확률변수 에 대하여 묻는 문항은 44.7%의 학생들이 정답을 맞혔고, 이들 중 절반은 확률변수의 의미에 대하여 피상적으로 이해하고 있다고 할 수 있었다. 학생들이 가장 어려워한 문항은 표본의 분포와 표본평균의 분포를 묻는 문항이었다. 이 문항을 해결하는 과정에서 학생들은 표본의 분포와 표본평균의 분포를 구별하는 것, 중심극한정리를 적용하는 것, 표본의 크기가 클수록 변이성이 작아진다는 사실을 적용하는 것을 어려워하는 것을 알 수 있었다. 연구문제 1-2의 결과, 수능성적과 검사지 성적 간의 상관관계는 통계적으로 낮은 양적 상관관계를 보였다. 따라서 수학의 학업 성취도가 높다고 해서 통계적 추론 능력이 높은 경향성은 있으나 그 경향이 매우 약하다고 할 수 있다. 그런데 상위권 학생들의 정답률이 유독 높은 문항들 중 7번, 8번 문항이 있었는데, 두 문항은 10종의 적분과 통계 교과서의 표본평균의 분포 단원에서 34%를 차지했던 형태의 문항들이었다. 즉, 수학 학업 성취도가 뛰어난 학생들이 두 문항에 대한 학습 기회에 많이 노출되었을 것이라고 추측할 수 있었다. 연구문제 1-3의 결과, 남학생과 여학생 간의 검사지 결과에 대한 유의미한 차이는 발견되지 않았으며, 따라서 성별에 따른 통계적 추론 능력의 차이가 없다고 할 수 있다. 그러나 본 연구에서는 남학생 28명과 여학생 36명의 검사지 결과를 분석하였는데 대상 학생 수가 많지 않으며, 성별 간의 인원수 차이가 크다는 제한점이 있다. 연구문제 1-4의 결과, 인터뷰에 참여한 7명의 학생들 중 6명의 학생들이 통계를 데이터나 의미가 아닌, 기술(skill)에 초점을 맞추어 인식하고 있었다. 또한, 통계를 어렵다고 한 학생은 6명이었으며, 나머지 1명의 학생은 별로 어렵지 않다고 하였다. 그런데 통계를 어렵다고 했던 6명의 학생 중 3명은 통계에 대하여 긍정적인 감정을 보였고, 1명의 학생은 통계가 어렵기 때문에 많은 노력을 기울였다고 하였다. 이처럼 통계를 어려워하는 학생들에게서 통계에 대한 긍정적인 태도가 발견되기도 하였다. 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 결론 및 시사점을 얻었다. 첫째, 표본과 분포개념의 이해도를 높이기 위하여 이들을 유기적으로 연결하여 가르칠 수 있는 교육과정이나 교수법 개발이 필요하다. 연구에 참여한 대부분의 학생들은 표본평균의 분포의 이해에 어려움을 겪고 있었다. 이를 이해하기 위해서는 표본과 같은 하위 개념에 관한 기초 지식이 유기적으로 연결이 되어야 한다. 그런데 연구에 참여한 학생들 중에는 표본 개념에 관한 각각의 기초지식을 이해하는 것, 또는 표본평균의 분포의 하위개념에 관한 기초 지식들을 유기적으로 이해하는 것을 어려워하는 경우가 있었다. 둘째, 통계적 개념들을 깊이 이해하고 있는지, 또 각 개념들을 유기적으로 연결하여 이해하는지를 확인할 수 있는 다양한 형태의 문항이 개발되어야 한다. 적분과 통계 교과서 10종에서 34%를 차지하고 있던 표본평균의 분포 단원의 문항은 학생들의 개념 이해와 계산 절차 숙지를 확인할 수 있는 문항이다. 그러나 학생들의 응답 특성을 분석한 결과, 계산 절차에만 중점을 두고 문제를 푸는 경향이 있었다. 즉, 교과서에 많이 제시된 형태의 문항이 통계적 개념의 이해와 등의 통계적 추론 과정을 묻는 것에 부족함이 있을 수 있다. 셋째, 통계는 새로운 사고를 확장시켜줌으로써 수학적 사고와는 다른, 새로운 방식의 사고를 개발할 수 있는 학문이므로 그 영역에 대한 연구가 필요하다. 본 연구 결과, 통계적 추론 능력이 수학 학업 성취도와 낮은 양적 상관관계를 가지며, 성별에 따라 차이가 나는 수학 학업성취도와 달리 통계적 추론에서는 성차가 발견되지 않았다. 따라서 통계는 수학과는 다른 방식의 사고가 요구된다고 할 수 있으며, 통계를 통해 아직 발견되지 않은 학생들의 잠재력을 개발할 수 있을 것이라고 추측할 수 있다. 넷째, 계산 중심의 통계 교육이 아닌 통계의 본질을 경험할 수 있는 통계 교육이 이루어진다면 학생들의 통계에 대한 인식이 바뀔 수 있을 것이다. 인터뷰 결과, 학생들은 기술이나 계산에 치우친 통계 교육을 받고 있으며, 통계의 본질을 경험하지 못하였다. 이것이 학생들이 통계를 기술에 초점을 맞추어 인식하는 원인이 될 수 있으며, 따라서 계산 중심의 통계 교육에서 벗어나 학생들에게 통계의 본질을 경험하는 기회를 제공해야 한다.;Nowadays we live in knowledge & information society in which statistics is regarded to be important (Korea Institute of Curriculum & Evaluation, 2009). According to Min Jin-won (2010), statistics in contemporary meaning refers to inductive statistics, and statistical estimation that is being taught at high schools in Korea corresponds to it. But according to the results of Lee Eun-seop & Lee Seung-su (2004)’s research conducted for 591 high school students, about 67% of the students answered that they found statistics was difficult. Also, Woo Jeong-ho (2007) pointed out that students lacked insight about correlation between statistics and real life based on a statistical sense. Therefore, it is important to set up a right direction for statistics education afterwards. For it, first of all, we have to understand the current status of statistics education in high schools; thus, it is needed to conduct research to analyze the statistical reasoning of students who have learned high school statistics, their attitude towards statistics, and how they recognize statistics. In particular, many researchers have reported that it is essential to know sampling distribution in order to understand statistical estimation correctly (ex. Lee Yeong-ha & Lee Eun-ho (2010), Go Eun-seong & Lee Gyeong-hwa (2011)). Here in this study, to analyze high school students’ characteristics of statistical inference, research questions have been formulated as follows: Research question 1. What are the characteristics of statistical reasoning found in the process of understanding sampling distribution of mean by students who have learned the unit of statistical estimation? 1-1. Through what statistical reasoning procedure do students who have learned the unit of statistical estimation understand sampling distribution of mean-related concepts - sampling, representativeness of sample, sample size and variability, the mean of the sample means and the standard deviation of the sample means, random variable , sample distribution, and sampling distribution of mean (hereinafter referred to as related concepts)? 1-2. As to sampling distribution of mean and related concepts, is there any difference of statistical reasoning between higher-group and lower-group students in terms of B-type math scores in the National College Entrance Exam (hereinafter referred to as NCEE)? 1-3. As to sampling distribution of mean and related concepts, is there any difference of statistical inference between male and female students? 1-4. What attitude do students having learned the unit of statistical estimation have towards statistics and how do they recognize statistics? To solve research question 1-1, a test and an individual interview were conducted. A test was prepared to ask about sampling distribution of mean and related concepts. Convenient sampling was employed to select three high schools located in Seoul. The test was given to 190 second and third graders, and their answers about each of the questions on the test sheet were analyzed. Based on the characteristics of answers of those 190 students, seven students were chosen for the interview, and they were asked to answer the semi-structured interview. Grounded on previous research, an interview analysis frame was devised to analyze the interviewees’ statistical inference procedure, and it was used to analyze the interview. When analyzing the interview, the researcher regarded a student’s one answer about a question as a unit of analysis. With this, it was possible to gain the result for study question 1-1. To solve research question 1-2, a quartile was gained about the NCEE scores of 51 A High School students whose B-type math score of 2015 NCEE was known among the 190 participants. Accordingly, 10 higher-group and 10 lower-group students were selected, and it was analyzed whether there was any difference in their answers for each of the questions on the test sheet through MANOVA. In solving research question 1-3, to control the other conditions except for gender, among the three high schools, a coeducational high school, B High School’s students’ test sheet results were analyzed. 20 male and 36 female students were selected, and the t-test was employed to analyze whether there was any difference in their answers to each of the questions on the test sheet. To solve research question 1-4, based on previous research, an interview analysis frame was devised to analyze their attitude to statistics and recognition on statistics. With this, the seven interviewees’ answers were analyzed. When analyzing the interview, the researcher regarded a student’s one answer to a question as a unit of analysis. The results of research question 1-1 are as follows: two questions about sampling showed a percentage of correct answers as 33.7% and 65.3%. This means that about 66% of the students participating in the study did not understand the meaning or necessity of random sampling properly. Also, the question about representativeness of sample indicated a percentage of correct answers as 23.7%. According to the result of the interview, two students understood a sample just as a simple subset rather than a subset that could represent the population. On the test sheet, there were five questions asking about the mean of the sample means and the standard deviation of the sample means. According to the result of analyzing 10 kinds of high school textbooks for integral calculus and statistics, among the questions in the unit of sample average distribution in the textbooks, 34% were the ones about the mean of the sample means and the standard deviation of the sample means, and the questions were all of a similar type. By referring to it, two questions were developed for the test sheet, and the two questions could be solved when they understood the concept of the mean of the sample means and the standard deviation of the sample means and were aware of the probability calculation procedure using standard normal deviate. But the two questions’ percentage of correct answers was approximately 61.6% and 56.8% each, so it was quite higher than that of other questions’. All the seven interviewees gave correct answers to these two questions. However, three questions only asking about the concept of sample average’s average and standard deviation indicated a percentage of correct answers as 35.8%, 34.2%, and 16.3%. Half the students who got wrong in the questions requiring understanding of the concept gave right answers to the questions requiring understanding of the concept and acquisition of the calculation procedure. The students might have focus more on the calculation procedure rather than understanding the concept in the questions requiring understanding of the concept and acquisition of the calculation procedure. About the questions asking about random variables, 44.7% of the students gave right answers, and half the students said they understood the meaning of random variables superficially. The questions that the students found to be the most difficult were the ones asking about sample distribution and sampling distribution of mean. In the process of solving those questions, the students had difficulty in distinguishing sample distribution from sampling distribution of mean, applying the central limit theorem, and applying the point that the larger the sample size gets, the smaller its variability becomes. According to the result of research question 1-2, there was statistically low positive correlation between the NCEE score and test sheet score. Therefore, it can be concluded that high academic achievement in math does not guarantee high statistical reasoning. But there were three questions, no. 6(1), 7, and 8, which had great explanatory power about the difference of the NCEE score. Among them, two questions, no. 7 and 8, were the ones of the type forming 34% in the unit of sample average distribution in 10 kinds of textbooks for integral calculus and statistics. With this, we can assume that students showing high academic achievement in math may have been more often exposed to opportunities for learning those two questions. According to the result of research question 1-3, there was no significant difference found in the results of the test sheet between male and female students; thus, we can conclude that there is no difference in statistical reasoning by gender. But as mentioned earlier, this study analyzed the test results of 28 male and 36 female students, which is quite limited because the subjects are not many and there is big difference in the numbers of male and female students. According to the result of research question 1-4, six out of seven interviewees recognize statistics not with data or meaning but with the focus on skills. Also, six students said statistics was difficult, but the rest did not. Three out of six students who said statistics was difficult showed positive emotion about statistics, and the rest said they had made a lot of effort because statistics was difficult. Though they found statistics was difficult, there was no one that actually hated it; therefore, even those having a hard time learning statistics indicated positive attitudes about statistics. Based on the results of this study, the researcher can provide its conclusions and implications as follows: first, it is needed to develop a curriculum or teaching method to teach the concepts of samples and distribution organically in order to enhance their understanding. Most of the study participants were having difficulty in understanding sample distribution and sampling distribution. For better understanding, it is necessary to help them connect their basic knowledge with subordinate concepts such as samples organically. But in fact, some of the participants did not even have basic knowledge about the concepts of samples such as sampling, random sampling, and sample representability. Therefore, it is needed to develop a curriculum or teaching method that can enhance their basic understanding about the concepts of samples or superordinate concepts like distribution by connecting them organically. Second, it is necessary to develop various types of questions to see if they understand statistical concepts deeply or understand concepts by connecting them organically. The questions in the unit of sampling dstribution forming 34% in 10 kinds of textbooks for integral calculus and statistics are the ones with which we can see students’ understanding of concepts and mastery of the calculation procedure. But according to the result of analyzing the characteristics of their answers, they may have solved the questions focusing on the calculation procedure more than understanding of the concepts. These types of questions may have resulted in their lack of understanding the statistical concepts. Therefore, it is needed to develop various types of questions that can allow students to understand statistical concepts more profoundly and organically by associating them. Third, because statistics is a science that can extend students’ new ways of thinking different from mathematical thinking and also develop their potentials, it is need to study the area. This study has found that statistical reasoning has low positive correlation with academic achievement in math, and there is no gender difference found in statistical reasoning unlike academic achievement in math which is different by gender. Therefore, statistics demands a way of thinking that is distinctive from the one needed by math, and those showing low achievement in math or female students can also attain a high level of statistical reasoning. This means that statistics can discover students’ potentials that have not been developed yet, and it is needed to perform research on this area afterwards. Fourth, if statistics education that is not calculation-centered but allows students to experience the essence of statistics is provided, their recognition on statistics will change. According to the result of the interview, students are receiving statistics education focusing on so much to skills or calculation, so they have not been able to experience statistics as a tool needed for the entire process that they collect, analyze, and interpret data in person. This can be the reason why students recognize statistics as the focus on skills; therefore, if statistics education that does not emphasize calculation too much but gives students chances to experience the essence of it is provided, their attitude for statistics and the say of recognizing statistics will change significantly.