학생들의 문제해결 과정의 변화를 통한 루브릭 쓰기의 효과 분석

Abstract

오늘날 우리는 많은 정보를 쉽게 얻고 습득할 수 있다. 이 중 쓰기는 많은 정보를 표현하는 한 가지 방법이다. 쓰기는 문자를 있는 그대로 나타내는 것뿐만 아니라 이를 이용하여 자신의 생각을 표현하고, 새로운 결과물을 만들어 내는 것을 말한다(김동일, 홍성두, 구연정, 2008; 이성은, 윤연희, 2004). 쓰기는 아주 오래전부터 중요한 의사소통 수단이었으며 현재에도 매우 중요하게 다루어지고 있다. 이 때문에 쓰기는 학교 교육에서도 매우 강조되고 있으며, 수학 교육에서도 매우 중요하게 다루어지고 있다(김용익, 1999). 수학에서 쓰기는 교수・학습 방법에서도 사용되며, 특히 문제해결에서 많이 사용한다. 교사는 학생들이 쓴 내용을 통해 학생들이 이해한 것은 무엇인지 알 수 있으며, 오개념을 수정할 수도 있다. 학생은 자신이 쓴 내용을 바탕으로 수학적 개념을 확실히 이해할 수 있다. 또한 자신의 문제해결 과정을 통해 자신의 수학적 지식을 확장하고, 반성할 수 있는 기회를 얻을 수 있다(이종희, 김선희, 1998; Burns, 2004; Craig, 2011; 김효선, 오영열, 2014). 쓰기를 통한 다양한 장점들 때문에 평가에서도 쓰기를 강조하고 있다. 학생들의 문제해결 과정을 살펴볼 수 있는 서술형・논술형 평가가 확대 시행하고 있다(경기도교육청, 2013; 서울특별시교육청, 2012a; 서울특별시교육청, 2012b). 하지만 서술형・논술형 평가에 대한 부정적인 인식을 가지고 있는 학생들도 있는 것으로 나타났다. 많은 학생들은 자신의 풀이과정을 논리적으로 서술하는 것에 두려움을 느끼고(박배훈 외, 2003; 김남준, 배종수, 2006), 수학적 표현들을 나타내는데 어려워하는 것으로 나타났다(김영국, 2008; 박석순, 김구연, 2013). 학생들은 이러한 어려움을 가지고 있지만, 학교에서는 구체적인 방법을 통해 학생들을 돕지 못하고 있다. 따라서 본 연구에서는 학생들의 수학적 쓰기에 대한 두려움을 극복할 수 있는 한 가지 방안으로 루브릭을 제시하고자 한다. 루브릭(RUBRIC)은 Mason, Stacey & Burton(2012)이 제안한 문제해결을 위한 도구로서 자신의 문제해결 과정 및 경험을 조직하고 기록하는 것을 말한다. 하지만 이들은 구체적인 루브릭 쓰기 방법에 대해 제시하지 않았다. 이에 본 연구에서는 구체적인 루브릭 쓰기 틀을 제시하고 이에 따라 문제를 해결하였을 때 학생들의 문제해결 과정에 어떤 변화가 나타나는지 살펴보고자 한다. 본 연구의 연구 문제는 다음과 같다. 1. 루브릭 쓰기 틀을 사용하였을 때 학생들의 수학적 표현에 어떤 차이가 있는가? 1-1. 문항 번역 과정에서 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들과 그렇지 않은 학생들의 수학적 표현에는 어떤 차이가 있는가? 1-2. 문제해결 과정에서 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들과 그렇지 않은 학생들의 수학적 표현에는 어떤 차이가 있는가? 2. 루브릭 쓰기 틀을 사용하여 문제를 해결하였을 때 학생들의 문제해결전략에는 어떤 차이가 있는가? 3. 루브릭 쓰기 틀을 사용하여 문제를 해결하였을 때 학생들의 수학적 사고에는 어떤 차이가 있는가? 본 연구는 질적 연구방법을 바탕으로 연구를 진행하였다. 본 연구는 예비 연구 1회를 실시한 후 진행하였다. 본 연구에 참여한 연구 대상자는 고등학교 1학년 학생 23명이었다. 본 연구는 사전 검사, 연구 처치, 사후 검사 순으로 실시하였다. 사전 검사에서는 기하, 확률, 함수, 문자와 식 영역에서 4 문항의 논술형 문항을 제시하였다. 사전 검사를 실시한 후에는 루브릭 쓰기 틀을 사용하는 학생들과 그렇지 않은 학생들을 무작위로 나누었다. 10명의 학생이 루브릭 쓰기 틀을 사용하여 문제를 해결하였고, 13명의 학생은 루브릭 쓰기 틀을 사용하지 않고 문제를 해결하였다. 사전 검사 결과를 바탕으로 두 집단의 동질성 여부를 판단한 결과, 두 집단 사이에 수학적 표현, 문제해결전략, 그리고 수학적 사고에는 차이가 없는 것으로 나타났다. 연구처치에서는 총 10회에 걸쳐 18 문항의 문제를 해결하였다. 이 문항은 Mason, Stacey & Burton(2012)이 제시한 문항을 재구성하여 제시하였다. 이 후 사후 검사에서는 사전 검사와 동형인 문항을 제시하였다. 이를 통해, 학생들의 문제해결 과정을 수학적 표현, 문제해결전략, 수학적 사고에 대한 분석틀을 기준으로 분석하였다. 본 연구의 연구 결과는 아래와 같다. 첫째, 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들과 그렇지 않은 학생들의 수학적 표현에는 차이가 있는 것으로 나타났다. 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 문항 번역 과정과 문제해결 과정에서 더 많은 수학적 표현을 사용하는 것으로 나타났다. 특히, 문항 번역 과정에서 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 기호적 표현을 많이 사용하는 것으로 나타났다. 그리고 문제해결과정에서 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 시각적 표현과 기호적 표현을 정확하게 사용하는 것으로 나타났다. 둘째, 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들이 그렇지 않은 학생들보다 더 많은 문제해결전략을 사용하는 것으로 나타났다. 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 문제해결전략 중 ‘거꾸로 하기’, ‘간단한 유사 문제를 해결하기’, ‘지능형 추측과 테스트’, 그리고 ‘논리적 추론’ 을 주로 사용하였음을 알 수 있었다. 특히, 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 증명을 해야 하는 문항에서 귀납적 추론과 연역적 추론을 많이 사용하는 것으로 나타났다. 셋째, 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 ‘귀납적 사고와 일반화’, ‘귀납적 사고와 연역적 사고’, 그리고 ‘발전적 사고’를 문제해결 과정에서 많이 사용하는 것으로 나타났다. 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 관찰과 귀납적 사고를 거친 후, 일반화와 연역적 사고를 문제를 해결하는 것으로 나타났다. 또한, ‘체크’와 ‘확장’ 단계에서 발전적 사고가 과정이 나타남을 알 수 있었다. 위의 연구 결과를 종합하면, 루브릭 쓰기 틀이 학생들의 문제해결 과정에 긍정적인 영향을 끼친다는 것을 예상할 수 있다. 루브릭 쓰기 틀을 사용하여 문제를 해결하면, 문항의 내용을 다양한 수학적 표현으로 번역하여 나타내는데 도움을 주기 때문에 수학 개념을 이해하고 통합하는데 긍정적인 영향을 줄 수 있을 것이다(장혜원, 1997). 또한, 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들이 기호적 표현을 많이 사용하였고, 시각적 표현과 기호적 표현을 정확하게 나타내어 문제를 해결하는 것으로 나타났다. 이는 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들이 그렇지 않은 학생들보다 정답률이 높게 나타내는 이유 중 하나일 것으로 추측할 수 있다(Lesh et al., 1983). 또한, 루브릭 쓰기는 학생들의 문제해결전략 중 논리적 추론의 사용에 큰 영향을 주는 것으로 나타났다. 이는 학생들의 연역적 사고와 일반화에도 영향을 주었을 것으로 예상할 수 있다. 루브릭 쓰기 틀을 사용한 학생들은 관찰, 귀납, 유추로부터 발견된 구체적인 사실들을 연역과 일반화를 통해 확인하는 교대작용을 반복하는 것으로 나타났다. 이는 루브릭 쓰기가 학생들의 수학적 사고를 확장하는데 도움이 될 것으로 예상된다(Stacey, 2006; 우정호, 2007). 본 연구를 통해, 루브릭 쓰기는 학생들의 자기 주도 학습과 새로운 평가 체제 구축을 위한 한 가지 방안으로 제시할 수 있을 것이다. 따라서 루브릭 쓰기가 학생들의 자기 주도 학습에 어떤 영향을 미치는지에 대한 후속 연구가 필요할 것이다. 그리고 새로운 평가 방법의 대안으로 루브릭 쓰기를 통한 평가 체제를 구축할 수 있는 후속 연구가 필요할 것이다.; Living in the information age, people can easily obtain and learn lots of information. Writing is one of the methods representing information which not only represent the letters as it is but uses the letters to express one’s own ideas and create new outcomes (Dong Il Kim, Seong Doo Hong, et all 2008; Seong Eun Lee and Yoon Yeon Hee, 2004). Writing has served as an important communication mean for long time. This is why writing has been emphasized in the current school education especially in mathematical education great importance as well (Yong Ik Kim, 1999). Writing is used in the teaching and learning of mathematics, especially in problem solving. Through writings, educators can know what their students learned and can also make corrections to misconceptions. Students can clearly understand mathematical concepts based on the contents of their writings. Also, students can expand their mathematical knowledge and get chance to reflect themselves through the process of solving their problems (Jong Hee Lee, Seon Hee Kim, 1998; Burns, 2004; Craig, 2011; Hyo Seon Kim, Young Yeol Oh, 2014). Due to diverse advantages of mathematical education through writing, evaluations emphasize writings. Numerous schools are expanding the use of descriptive assessments and essay assessments to examine the student’s problem solving process (Office of Education in Gyunggido, 2013a; Office of Education in Seoul, 2012a and 2012b). However, it was found that most students have difficulties in logically explaining their problem solving processes and in using mathematical drawing or symbols (Bae Hoon Park et al. 2003; Nam Joon Kim, 2006; Young Gook Kim, 2008; Seok Soon Park, Goo Yeon Kim, 2013). Although students are suffering such problems, current schools failed to help students through detailed methods. Therefore, this study suggests a RUBRIC as a means of overcoming student’s fear about mathematical writings. RUBRIC is a tool for problem solving suggested by Mason, Stacey & Burton (2012). It refers to the act of organizing and recording the personal problem solving processes and experiences. However, these researchers did not provide detailed method of RUBRIC writing. Hence, this study suggested detailed RUBRIC writing framework and examines what changes occurred to the problem solving process experience when students used RUBRIC. The following research problems were addressed in this study. 1. How do student’s mathematical representations differ when students used RUBRIC writing framework? 1-1. How do student’s mathematical representations differ in the problem interpretation process when students used RUBRIC writing framework? 1-2. How do student’s mathematical representations differ in the problem solving process when students used RUBRIC writing framework? 2. How do student’s problem solving strategies differ when students use RUBRIC writing framework to solve the problem? 3. How does student’s mathematical thinking differ when students used RUBRIC writing framework to solve the problem? Based on qualitative research method, this study conducted 1 pilot research in advance. The subjects of this study are 23 high school first year students. The process of the study consisted of pre-test, research handling, and post-test. Pre-test consisted of four essay typed questions in four areas: geometry, probability, function, and equations with letters. After the pre-test was conducted, all students were randomly assigned to group using RUBRIC writing framework and group not using the RUBRIC. 10 students used RUBRIC writing framework to solve the problems whereas 13 students did not use RUBRIC writing framework. Based on the result of pre-test, the homogeneity of students were tested and the result showed that there is no significant difference in the mathematical representation, problem solving strategies, and mathematical thinking among two groups. 18 questions were presented over a total of 10 rounds during the research handling process. These questions were obtained by reconstructing the questions suggested by Mason, Stacey & Burton (2012). Afterwards, post-test presented questions that have same type with pre-test. Through this process, this study analyzed student’s problem solving process on the basis of mathematical representation, problem solving strategies, and mathematical thinking. The results of the study are as follow. First, there was significant difference in the mathematical representation of students who used RUBRIC writing framework and those who did not use. Students who used RUBRIC writing framework turned out to use more mathematical representations in the question interpretation and problem solving process. Especially, these students used symbolic representation very much in the question interpretation process. Moreover, these students turned out to use visual and symbolic representations in a more accurate manner as well. Second, the students who used RUBRIC writing framework turned out to use more problem solving strategies compared to those who did not use the framework. These students mainly used ‘working backwards’, ‘solving a simpler analogous problems’, ‘intelligent guessing and testing’, and ‘logical reasoning’ among all problem solving strategies. Especially these students turned out to use more inductive thinking and deductive thinking in the problems where they are asked to prove. Lastly, students who used RUBRIC writing framework showed more frequent use of ‘inductive thinking and generalization’, ‘inductive and deductive thinking’, and ‘developmental thinking’ in the problem solving process. The process of problem solving is: first, these students go through observation and inductive thinking, and then they solve the problem through generalization and deductive thinking. Also, developmental thinking process was shown in the ‘check’ and ‘extend’ stages. When the above results are synthesized, RUBRIC writing framework is expected to have positive influence on the student’s problem solving process. Using RUBRIC writing framework has positive influence in understanding and integrating mathematical concept since it helps students in interpreting the contents of the question with various mathematical representations (Hye Won Jang, 1997). Also, students who used RUBRIC writing framework used symbolic representations more frequently and made more accurate use of visual & symbolic representations to solve the problems. This can be a possible explanation of the reasons why students who used RUBRIC writing framework have higher percentage of correct answers (Lesh et al., 1983). Also, the results suggested that RUBRIC writing has great influence on the use of logical reasoning among problem solving strategies. This leads to an expectation that such writing must have influenced the deductive thinking and generalization. Students who used RUBRIC writing framework turned out to repeat doing replacing effect which is a process of checking the detailed facts found from observation, induction, and analogies through deductive thinking and generalization. Therefore, the RUBRIC writing is expected to help students to expand their mathematical thinking (Stacey, 2006; Jeong Ho Woo, 2007). This study suggested that RUBRIC writing is one method for self-directed learning and construction of new evaluation system. Therefore, futures studies on the effect of RUBRIC writing on student’s self-directed learning must be conducted. Furthermore, clear evaluation system utilizing RUBRIC writing must be constructed as an alternative to new evaluation methods.