그래픽 계산기를 활용한 함수교수학습활동에서의 함수 개념과 그래프 인식 조사

Abstract

In the current knowledge and information society where creative knowledge and technology is combined, this study is to understand the students’ changes in mathematical conceptions while applying technology to mathematical learning, and verify the specific effects of technology. Therefore, this study is to investigate how the existing conception of function changes when the teaching-learning activity of function using graphic calculator is applied to 3rd grade middle school students, and how they understand the relationship between functional formula and graph. Through this, this study can be used in developing teaching-learning activity of function using graphic calculator in mathematical education and finding out its effects. Therefore, the problem that this study is to propose are as follows. 1. How does the students’ conception of function change through the teaching-learning activity of function using graphic calculators? 2. How do the students understand the relationship between functional formula and graph through the teaching-learning activity of function using graphic calculators? To solve such problems, a 6-session teaching-learning activity of function using graphic calculator was conducted on 6 female students in 3rd grade of S middle school located in Seoul was. Also, through preliminary/post-activity tests, students were instructed to decide whether different expressions of functional situations presented to them were functions or not and provide the basis for their decisions. Therefore, this study analyzed each subject on how the student’s conception of function changes using the analysis tool, which was reconstructed based on the conception of function presented by Vinner(1989), Selden & Selden(1992), and Hee Hyun Byun・Mi Kyung Joo (2012), and drew results on how the students’ concept of function changed based on these individual results. In addition, to find out how the students understand the relationship between functional formula and graph in the teaching-learning activity of function using graphic calculator, the contents of group conversations in 6 sessions of teaching-learning activity for function were analyzed according to Freudenthal’s (1983) graph approach method. As a result of detailed examination on the process of teaching-learning activity of function and activity sheets, the graph displayed a significant change in the process where students solved the activity related to functional formula and graph. The results analyzed from such processes can be summarized as follows. First, the results analyzed by cases displayed that the students’ conception for function became more precise, and showed a tendency to understand more various concepts of functions. In the preliminary test, all students tended to think that only proportions, inverse proportions, or the ones with fixed difference were functions. On the other hand, in the post-activity test after conducting teaching-learning activity of function using graphic calculator, cases where they limitedly judged rarely appeared, which seems that their understanding on the regularity of the conception for function was expanded. Additionally, whereas the students merely tended to judge functions based on ‘correspondence’ in the pre-activity test, the post-activity displayed that their tendencies to judge with ‘correspondence’ increased, and whereas they did not clearly understand the monodromy of correspondence, such tendency decreased post-activity. Other than that, most students were able to form a linear or quadratic function on , but they could not decide if the formula was function or not if they could not decide which one to use as the variable or they couldn’t form a formula. In the post-activity test, such tendency still remained, so their concept of function regarding ‘functional formula’ did not show a clear change. Second, it was confirmed that students’ understanding on the relationship between functional formula and graph was enhanced through teaching-learning activity of function. The activity was held in 6 sessions to 2 groups of 3 students in each group. In the 1st session, they had the understanding on the linear function and the incline in the graph by measuring the data, obtaining the graph, and analyzing the inclination of the graph through the experiment using CBR and graphic calculator, and in the 4th session, students’ understanding on the general form and standard form of quadratic functions deepened by observing the change of graph using graphic calculator app. While obtaining a functional formula with the photo of actual bridge structure, which is in the form of quadratic function graph, students first thought they couldn’t obtain a functional formula because were not presented in the 6th session, they were able to freely move and transform the functional graph using the graph function on graphic calculator and obtain a functional formula. Also, by using the method to calculate the maximum value of quadratic functional graph to estimate the actual height of the bridge, they realized the necessity of quadratic function in the actual life. Based on above results, the teaching-learning activity function using graphic calculator helped in making the students’ conception of function more precise and understanding the relationship between functional formula and graph. Such result was obtained because the graphic calculator was used, as opposed to the existing paper-and-pencil environment. This is because the students can translate a single functional situation into different expressions including functional formula, chart, graph, situational‧verbal expressions using graphic calculators and express different functional situations in everyday life visually and dynamically, which make their conception of function more precise. Also, whereas the graphs are used as a method to express the relationship expressed in a formula in the paper-and-pencil environment, using the graphic calculator better expresses the dynamics of the graphs, and it would help the students understand the overall change of functions and their relationship with functional formula through observation and research. According to such results, the teaching-learning activity of function in this study has the value as the teaching-learning activity of the functions. Also, existing prior studies on graphic calculators could not deviate from the framework of textbooks in terms of their contents or only utilized the graph or calculation functions of graphic calculators. Therefore, this study has more extended significance in the sense that it suggested different activities about various real-life situations that students did not encounter in the textbooks according to the middle school level functions. This study is a case study and its result can’t be generalized, so it should be applied to many students in the actual classroom lessons. However, it is significant enough in figuring out the instructional direction that students needed because it displays the difficulties that students face in the section on functions. Also, since they learn more abstract concept of function in high school, the teaching-learning activity using technology should be more actively developed. Lastly, various changes and effects of teaching-learning activity using graphic calculator should be examined through long-term studies. If such studies continue, they will become a good instructional guideline for the students having difficulties in the section of function, and in mathematics in broader perspective to understand the usefulness of mathematics and feel the pleasure of mathematics.;본 연구는 창의적인 지식과 기술이 융합된 지식정보화사회라는 시대적 흐름에 따라 수학 학습에 테크놀로지를 활용하여, 이 때 나타나는 학생들의 수학적 개념의 변화를 이해하고, 테크놀로지의 구체적인 효과를 확인하는 데에 그 목적이 있다. 따라서 중학교 3학년 학생들에게 테크놀로지인 그래픽계산기를 활용한 함수교수학습활동을 적용하였을 때, 함수교수학습활동 전의 함수 개념이 어떻게 변화하는지 알아보고, 함수식과 그래프의 관계를 어떻게 이해하는지를 확인하고자 한다. 이를 통해 수학교육에 테크놀로지를 활용하는 함수교수학습활동 개발 및 그에 따른 효과를 알아보는데 본 연구가 사용될 수 있기를 기대하는 바이다. 따라서 본 연구가 발의하고자 하는 연구문제는 다음과 같다. 1. 그래픽계산기를 활용한 함수교수학습활동을 통해 학생들의 함수 개념이 어떻게 변화하는가? 2. 그래픽계산기를 활용한 함수교수학습활동을 통해 학생들이 함수식과 그래프의 관계를 어떻게 이해하는가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 본 연구에서는 서울시 소재 S중학교 3학년 여학생 6명을 대상으로 그래픽계산기를 활용한 함수교수학습활동을 총 6차시에 걸쳐 진행하였다. 또한 함수교수학습활동 전과 활동 후에는 함수 개념에 관한 사전․사후검사를 통해 다양한 표현의 함수적 상황을 제시하였을 때 이러한 상황이 함수인지 아닌지 판단하고, 그렇게 생각하는 근거를 적도록 하였다. 이를 통해 본 연구에서는 Vinner(1989), Selden & Selden(1992), 그리고 변희현・주미경(2012)이 제시한 함수 개념을 바탕으로 재구성한 분석틀로 학생들의 함수 개념이 어떻게 변화하는지 대상자 개별로 분석하였고, 이러한 개별 결과를 종합하여 학생들의 함수 개념이 어떻게 변화하는지를 도출하였다. 또한 그래픽계산기를 활용한 함수교수학습활동에서 학생들이 함수식과 그래프의 관계를 어떻게 이해하는지 알아보기 위하여 총 6차시 함수교수학습활동에서 나타난 모둠별 담화 내용을 Freudenthal(1983)의 그래프 접근 방법에 따라 분석하였다. 이를 바탕으로 함수교수학습활동 과정과 활동지를 자세히 살펴본 결과, 그래프를 전체적 접근에 따라 학습하게 하였을 때, 학생들이 함수식과 그래프 관련 활동을 해결하는 과정에서 의미 있는 변화를 나타내는 것을 볼 수 있었다. 이와 같은 과정을 거쳐 분석한 결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 사례별로 분석한 결과를 종합하면, 함수교수학습활동을 받기 전보다 학생들의 함수 개념이 더 엄밀하게 형성되었고, 다양한 함수 개념을 이해하는 모습이 나타났다고 볼 수 있다. 사전검사에서 모든 학생들이 비례와 반비례, 또는 일정한 차이를 가지는 것만 함수라고 판단하였는데, 그래픽계산기를 활용한 함수교수학습활동 이후에 실시한 사후검사에서는 위와 같이 제한적으로 판단하는 경우가 거의 나타나지 않아 함수 개념의 ‘규칙성’에 대한 이해가 확장되었다고 판단할 수 있다. 또한 사전검사에서 ‘대응’으로 함수 여부를 판단하는 경우가 나타나긴 했으나 대응의 일가성을 명확하게 이해하지 못하는 경향을 보였다. 반면에 사후검사에서 ‘대응’으로 판단하는 경우가 증가하였고, 일가성에 대하여 이해함으로써 대응의 함수 개념이 엄밀해졌다고 볼 수 있다. 이외에 사전검사에서 대부분의 학생들은 에 관한 일차함수나 이차함수의 형태에서는 식을 바르게 세웠으나, 중 어떤 것을 변수로 나타내야 할지 알 수 없거나 식을 세울 수 없는 경우에는 함수라고 판단하지 못하였다. 사후검사에서도 이러한 경우가 대부분 나타남에 따라 ‘함수식’에 관한 함수 개념에는 뚜렷한 변화가 나타나지 않았다. 둘째, 함수교수학습활동에 그래픽계산기를 활용함으로써 함수식과 그래프의 관계에 대한 이해가 높아진 것을 알 수 있었다. 함수교수학습활동은 총 6차시로, 3명씩 두 모둠으로 진행하였다. 1차시에서는 CBR과 그래픽계산기를 활용한 실험을 통해 직접 데이터를 측정하여 그래프를 구하고, 그래프의 기울기를 해석함으로써 일차함수 식과 그래프에서의 기울기에 대한 이해가 나타나는 것을 확인할 수 있었고, 4차시에서는 그래픽계산기 app을 활용하여 그래프의 변화를 관찰함으로써 이차함수식의 일반형과 표준형에 관한 이해가 깊어지고, 두 식의 차이를 인지하는 것을 확인할 수 있었다. 6차시에는 이차함수 그래프 형태인 실제 다리 건축물 사진으로 함수식을 구하면서, 학생들이 처음에는 가 제시되지 않아 함수식을 구할 수 없다고 생각하였지만, 그래픽계산기의 그래프 기능을 활용하여 함수 그래프를 자유자재로 이동시키고, 변화시켜 함수식을 구하는 모습들을 볼 수 있었다. 또한 이차함수 그래프의 최댓값을 구하는 방법을 활용하여 실제 다리의 높이를 예측함으로써 실생활에서의 이차함수의 필요성을 느낀 것 또한 확인할 수 있었다. 위의 결과를 종합해 볼 때, 그래픽계산기를 활용한 함수교수학습활동이 학생들의 함수 개념을 보다 엄밀하게 하고, 함수식과 그래프의 관계에 대한 이해를 돕는 데 효과가 있음을 알 수 있다. 이러한 결과는 기존의 지필환경에서의 학습과는 달리, 그래픽계산기를 활용하였기 때문에 나타나는 것으로 볼 수 있다. 왜냐하면 학생들이 그래픽계산기로 하나의 함수 상황을 여러 가지 표현, 즉 함수식, 표, 그래프, 상황‧언어적 표현 등으로 쉽게 번역할 수 있고, 실제 주변에서 경험할 수 있는 다양한 함수 상황을 시각적·역동적으로 나타내면서 탐구할 수 있어 이를 통해 함수 개념이 점점 엄밀해지기 때문이다. 또한 지필환경에서는 그래프가 식으로 표현된 관계를 나타내는 수단으로 다루어지는 경우가 많은데, 그래픽계산기를 활용하게 되면 그래프의 역동성이 잘 나타나기 때문에 암기를 통해서가 아니라 관찰과 탐구를 통해 함수의 전체적인 변화 및 함수식과의 관계를 직관적으로 이해하는 데 도움이 될 수 있는 것이다. 다음의 결과를 통해 본 연구에서 이루어진 함수교수학습활동이 함수의 교수학습방법으로 가치를 가질 수 있을 것이다. 또한 그래픽계산기에 관한 대부분의 선행연구는 내용적인 측면에서 교과서의 틀을 벗어나지 못하거나 그래픽계산기의 그래프나 식의 계산 기능만을 활용하는 모습을 보이고 있다. 따라서 본 연구는 중학교 함수 수준에 맞게 다양한 실세계 상황에 관한 활동과 교과서에서 접하지 못한 차별성 있는 활동을 제시하였다는 점에서 이전 연구보다 좀 더 확장된 의미를 갖는다고 볼 수 있다. 다만 본 연구는 사례연구로서 다음의 결과를 일반화하기에는 어려움이 있어 실제 학교수업에서 다수의 학생들에게 적용해볼 필요가 있다. 하지만 학생들이 함수 단원에서 겪는 어려움이 잘 나타나고 있어 학생들에게 필요한 지도방향을 알아보는데 충분한 의미가 있으리라 생각한다. 또한 고등학교에서는 중학교보다 더 추상적인 함수 개념을 학습하므로 테크놀로지를 활용한 교수학습활동이 좀 더 적극적으로 개발되어야 할 것이다. 마지막으로, 그래픽계산기를 활용한 교수학습활동을 장기적으로 적용한 연구를 통해 본 연구에서 발견하지 못한 다양한 변화와 효과를 살펴볼 필요가 있다. 이러한 연구가 지속적으로 이루어진다면 함수 단원, 넓게는 수학 교과에서 어려움을 겪는 많은 학생들에게 수학의 유용성을 이해하고, 수학의 즐거움을 느낄 수 있는 좋은 교수적 지침이 되리라 기대해본다.