Freudenthal의 수학화 이론에 기초한 수학 교과서 단원 도입의 유형 분석

Abstract

When we look into the history of mathematics, we can make sense that mathematics is existing in 'reality', even though it is highly abstracted learning. Korean education of mathematics has also been changing with global trends of education. Many mathematicians try to make others know practicality and usefulness of mathematics in everyday life and focus on 'problem solving skill' through their education which can help to solve their daily problems mathematically. In 2009 revised curriculum, it is believed that students should study mathematics through their own experiences and activities. Especially, experience of mathematical representation is clarified as a goal of mathematics education. It emphasizes importance that learners themselves ought to interpret and organize surroundings as well as social and natural phenomenons. These texts are associated with Freudenthal's mathematization theory. He said mathematics study should start on primordial reality from which mathematics occurred. Learners catch these essence of primordial reality and reorganize structure. It is called as mathematization. In this study, therefore, these following questions are set for classifying quest activity of unit introduction part of middle school mathematics 1 textbook in 2009 revised curriculum. 1. Classifying cases of context in fundamental concept part according to 2009 revised curriculum and comparing each textbook and unit based on Freudenthal's mathematization theory. 2. Analyzing that the introduction which suggests practical examples is organized or not, then comparing differences each textbook and unit. 3. In case of organized introduction, classifying forms of organization. Then comparing and analyzing characteristic of each textbook and unit. 13 kinds of middle school mathematics 1 textbooks reflected in 2009 revised curriculum were analyzed in order to solve questions. The result is below. First, there were more cases that daily-life situations derive more mathematical content than mathematical situations at introduction stage for mathematical conception or knowledge. When it was more segmentalized and classified as realistic context and formal context, realistic context is of greater importance in entire quest activity. However, when it was classified as unit, formal context set up artificially is of greater importance in unit 6, a plane figure and a solid figure, in order to get mathematical conception. Second, when quest activities which develop content with daily-life situations are classified as organized activity and former organized activity, most of the result is of greater importance except just two kinds of textbooks. Most textbooks suggest organized one when they institute new mathematical conception in order that learners can easily understand its meaning. Third, in organized activities, the types of organization have various different tendencies from textbook to textbook. These are influenced by the knowledge each unit has. Almost every textbook includes mixed type, but some of those show different types. The result is quite noteworthy that the difference is evident when the type of structure is classified by the type of unit. Unit1, Number and Operation, and unit 4, Statistics, show some types which can say that organization is achieved indirectly. In contrast, function section and letters and expression section which has the highest proportion in everyday life have already made ​​up the highest proportion for the types of mathematic organization. Some contents below are proposed on analyzed result. Teachers should restructure and reorganize quest activities which is included in unit introduction part of textbook and have to consider studying circumstances when they make plans of class. If they realize the importance of unit introduction on studying and make the best use, they can make way better plans for effective class. It can offer meaningful mathematical experience to students. Additionally, we ought to have additional studies to analyze what learners can get actually and what educational result is through reorganized quest activities.;수학교육이 지나온 역사를 살펴보면 수학은 고도의 추상화된 학문이지만 수학 교육은 우리의 ‘현실’에서 존재했음을 알 수 있다. 우리나라의 수학교육 역시 세계의 수학교육의 흐름을 반영하여 변화해왔다. 2009 개정 교육과정에서는 학습자의 현실에서 경험과 활동을 통해 수학 학습이 이루어져야 한다고 나타나 있으며 특히, 수학 과목의 목표에서 수학적‘표현’의 경험을 명시하고 있다. 이것은 생활 주변이나 사회 및 자연현상에 대해 학습자 스스로 해석하는 것과 조직하는 것에 대한 중요성을 더욱 부각시키는 것이다. 이러한 내용은 Freudenthal의 수학화 이론(mathematization theory)과 관련이 있다. 수학 학습은 수학이 발생된 근원적인 현실(primordial reality)에서부터 출발해야 하며 학습자는 이러한 근원적인 현실의 본질을 파악하여 재조직하고 구성하게 되는데, 이 과정을 ‘수학화’라 한다. 본 연구에서는 2009 개정 교육과정에 따른 중학교 수학1 교과서의 단원 도입부의 탐구 활동을 Freudenthal의 이론에 기초하여 분석하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 2009개정 교육과정에 따른 중학교 수학1 교과서의 소단원 개념 도입의 탐구 활동에서 실생활 상황의 비중이 교과서별, 단원별로 어떠한 차이를 보이는 지 분석하고 Freudenthal의 수학화 이론에 기초하여 실생활 상황의 유형을 분류한다. 2. 연구문제 1에서 실생활 상황을 제시한 도입 부분에 대해 내용의 조직화의 여부를 분석하고 교과서별, 단원별로 어떠한 차이를 보이는지 비교한다. 3. 연구문제 2에서 조직화가 이루어진 도입 부분의 경우 조직화의 형태를 분류하여 교과서별, 단원별로 보이는 특징을 비교·분석한다. 이러한 연구문제를 해결하기 위해 탐구 활동의 상황을 실생활 상황과 수학적 상황으로 구분하고, 실생활 상황에 대해 Freudenthal의 수학화 이론에 기초하여 현실 맥락과 형식적 맥락으로 세분화하였다. 또한 내용의 구성 방법을 기준으로 전-조직화 활동과 조직화된 활동으로 분류하였다. 분석 결과는 다음과 같다. 첫째, 수학적 개념 혹은 지식을 도입하는 단계에서 수학적 상황보다 실생활 상황에서 수학적 내용을 이끌어내는 경우가 더 많았다. 상황을 세분화하여 현실 맥락과 형식적 맥락으로 분류한 결과, 탐구활동 전체를 기준으로 보면 현실 맥락의 비중이 높았다. 그러나 단원별로 분류하였을 때 6.평면도형과 입체도형 단원에서는 수학적 개념 습득을 위해 인위적으로 설정한 형식적 맥락의 비중이 높은 것으로 나타났다. 이러한 결과는 교육과정의 전체 목표와 기하 영역에서의 학습 목표의 차이에서 비롯된 것으로 볼 수 있다. 둘째, 실생활 상황을 통해 도입을 전개한 탐구 활동들을 조직화된 활동과 전 조직화(조직화가 되기 전의, 조직화가 되지 않은) 활동으로 나누었을 때 두 종류의 교과서를 제외하고는 모두 조직화된 활동의 비중이 높게 나타났다. 대부분의 교과서에서 새로운 수학적 개념을 도입하는 데 있어 그 의미를 더 쉽게 파악할 수 있도록 조직된 상태로 제시하고 있었다. 셋째, 조직화(organization)된 탐구 활동에 대해 조직화의 형태를 4종류로 분류한 결과 교과서별로 그 경향성이 다양하게 나타났고, 각 단원의 지식이 가지는 특성이 조직화의 유형에 영향을 미치는 것으로 보인다. 대부분의 교과서에서 혼합형이 가장 많았으나 다른 유형이 많이 나타는 교과서도 있었다. 주목할 만한 결과는 단원별로 구조화의 유형을 분류하였을 때 차이가 뚜렷이 나타난다는 점이다. 1.수와 연산, 4.통계 단원은 간접적으로 조직화가 이루어지는 유형이 많이 나타났고, 반대로 실생활 상황의 비중이 가장 높았던 문자와 식 단원과 함수 단원은 수학적으로 조직화가 이미 이루어져 있는 유형의 비중이 가장 높았다. 본 연구의 분석 결과와 관련하여 다음과 같이 제언한다. 교사들은 수업을 계획할 때 학습 상황을 고려하여 교과서의 단원 도입에 제시된 탐구 활동을 재구성, 재조직 할 필요가 있다. 학습에 있어 단원 도입의 중요성을 인식하고 활용한다면 보다 효과적인 수업을 구성할 수 있으며 실제 학습자의 수준이나 학승 환경을 고려하여 교과서의 도입 내용을 적절히 재구성한다면 학생들에게 의미 있는 수학화의 경험을 제공해 줄 수 있을 것이다. 덧붙여 실제로 학습자가 이렇게 재구성된 탐구 활동을 통해 얻게 되는 실질적인 학습의 결과에 대한 추가적인 연구가 필요하다.