GeoGebra를 활용한 고등학교 1학년 삼각함수 단원 교수학습 사례연구

Abstract

본 연구는 수학성적이 상수준인 고등학교 1학년 여학생 4명을 대상으로 삼각함수 단원에서 공학도구인 GeoGebra를 활용한 수업을 설계한 후 적용하여 공학도구를 사용하는 학생들의 교수학습을 관찰하여 인지적, 정의적 측면에서 분석하는 사례연구이다. 삼각함수는 기하적 측면과 해석적 측면을 동시에 지니고 있어 학생들은 삼각함수의 학습을 어려워한다. 삼각함수를 이해가 아닌 기계적으로 암기하는 학습에 의존하고 있다. 본 연구는 GeoGebra를 활용하여 학생들의 삼각함수에 대한 이해를 쉽게 돕고, 삼각함수 그래프를 탐구하는 사고과정을 의미 있게 구성해 보는 것을 목적으로 수업을 설계하고 적용하였다. 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. GeoGebra를 활용한 삼각함수 단원 수업에서 학생들의 인지적 영역의 특성은 어떠한가? 2. GeoGebra를 활용한 삼각함수 단원 수업에서 학생들의 정의적 영역의 특성은 어떠한가? 위의 연구문제를 해결하기 위하여 11종의 교과서와 선행연구를 분석하여, 삼각함수 단원 4차시의 수업을 설계하였다. 완성된 형태로의 공학도구나 교사의 상세한 지시가 있는 공학을 이용한 수업은 학생들이 수학적 지식을 스스로 발견하기 어렵기 때문에 활동지를 제작할 때, GeoGebra 이용의 상세한 지시를 제시하지 않고 교사의 도움을 최소한으로 하는 수업을 설계하였다. 4차시 수업은 비디오로 녹화되고 학생들의 GeoGebra 활동 자료는 파일형태로 제출하여, 학생담화와 활동자료들을 함께 인지적 영역 분석틀 <표 21>, <표 22> 정의적 영역 분석틀 <표 23>을 이용하여 분석하였다. 분석된 결과는 다음과 같다. 연구문제 1는 GeoGebra를 활용한 수업에서 학생들의 인지적 영역의 특성은 어떠한가? 인데 분석틀 <표 21> 을 이용하여 분석한 수업에서 나타나는 학생들의 인지적인 영역의 특성들이 수업의 형태에 따라 달라졌다. 본 연구에서 사용된 도구인 GeoGebra는 수학적 개념에 대한 시각화가 용이하고, 다양한 표상들을 한꺼번에 표시할 수 있다는 장점을 지녔다. 또 분석틀 <표 22>로 분석한 각 차시별 인지적 영역의 특성은 다음과 같다. 첫째 1차시 수업에서는 학생들이 GeoGebra를 이용하여 삼각함수 단원을 학습할 때 대수적 표상과 기하적 표상을 동시에 인식하여 관찰하고 있다. 관찰을 통해 규칙을 발견하고 이에 대해 귀납적 추론을 하고, 거기에 그치는 게 아니라 연역적 추론으로 이끌어 내고 있다. 둘째, 2차시 수업에서는 GeoGebra의 스프레드시트기능을 이용하여 좌표의 순서쌍으로 삼각함수 그래프를 도입하고 있는데 이때 학생들은 GeoGebra를 수학적 내용을 예상하고 추측한 내용에 대하여 확인하는 피드백의 도구로 사용하고 있으며, 귀납적 추론을 하고 있다. 셋째, 3차시 수업에서는 학생들이 직접 삼각함수 그래프를 관찰해 볼 수 있도록 단계를 구성하여 GeoGebra를 조작한다. 이때 학생들은 구성단위를 분석하는 활동을 많이 하고, 서로 발문하며 다음 필요한 단계를 구성해 거꾸로 분석해가는 사고과정을 하고 있음을 볼 수 있었다. 마지막으로 4차시 수업에서는 GeoGebra를 활용하여 대수적 표상과 기하적 표상을 동시에 관찰하고, 추측과 예상을 즉각적으로 확인하여 귀납적 정당화를 하고 있으며, 추측에 오류가 있더라도 GeoGebra의 동적조작을 이용해 바로 확인함으로써 오류를 수정하는 사고과정을 볼 수 있었다. 연구문제 2는 GeoGebra를 활용한 수업에서 학생들의 정의적 영역의 특성은 어떠한가? 인데 그 결과에 대한 답은 다음과 같다. 학생들은 GeoGebra를 활용한 수학수업에서 정의적 영역의 특성 중 정서영역에서 흥미와 호기심 구성요소와 신념부분의 가치인식에서 빈도수가 높게 나타났다. GeoGebra가 수학의 이해를 쉽게 도와주고, 재미있게 수업을 할 수 있고, GeoGebra가 수학수업에 유용하게 이용될 수 있다고 하였다. 또 GeoGebra로 새로운 수학적 정보를 발견하면서 흥미를 느꼈다. 앞에서 살펴본 결과에 대한 본 연구의 결론은 다음과 같다. 첫째, 상위권 학생들이 GeoGebra를 통해 수학적 사고를 하는 과정을 볼 수 있었다. 우선 GeoGebra로 만들어진 자료의 관찰이나 직접적인 조작을 통하여 예측한 수학지식을 GeoGebra를 이용해 확인하는 과정이 많았다. 이는 학생들이 교사의 도움 없이 GeoGebra를 통해 자기주도 학습을 할 수 있도록 도와줄 것이다. 또 GeoGebra의 이용은 즉각적인 피드백을 주고, 오류를 쉽게 파악할 수 있기 때문에 학생들은 예상한 내용에 대하여 귀납적 추론을 이용하여 예를 살펴봄으로써 정당화 하려는 경향을 보였다. 또, 자신들이 알고 있는 수학지식이나 전 시간에 했던 수업을 통해 이유를 정당화하려고 하였다. 이때, GeoGebra를 이용하여 직관적인 증명을 하거나 아니면 원인을 GeoGebra의 한 요소에서 찾는 것에서 끝나는 것이 아니라 형식적인 증명이나 그 이유에 대해 생각해보는 것을 알 수 있었다. 교사는 학생들의 사고의 흐름 중간에 발문을 통해 학생들이 추론을 할 수 있도록 도와주었다. 둘째, 본 연구에서 살펴 본 GeoGebra를 활용한 수업을 이용하여 기하적인 측면과 해석적 측면이 있는 삼각함수의 이해를 도울 수 있었는데 이는 GeoGebra가 대수적 표상과 기하적 표상을 함께 표현해주었기 때문이다. 교과서의 개별적인 표현과 달리 GeoGebra를 학생들은 대수적 표상과 기하적 표상을 동시에 한 화면에서 탐구할 수 있었고, 수학지식과의 연결이 자연스럽게 이루어 질 수 있었다. 셋째, GeoGebra를 활용한 수업은 인지적 측면에서 학생들에게 도움을 줄 뿐만 아니라 학생들에게 수학이 지루한 것이 아니라 흥미롭다고 생각하게 해주어 정의적 측면에서도 긍정적인 도움을 주었다. 이때, 학생들의 인지적 영역의 특성과 정의적 영역의 특성이 개별적으로 이루어지는 것이 아니라 GeoGebra를 통해 수학을 탐구함으로써 흥미를 느끼고 수학에 대한 가치를 인식하며 수학 자체에 대한즐거움을 느낄 수 있도록 해주었다. 넷째, 본 연구는 학생 스스로 자기주도 학습을 해가면서 공학도구를 다룰 수 있도록 활동 자료를 제작했다는 점에서 의미를 갖는다. 직접적인 조작버튼이나 지시사항을 알려주지 않고 단계적으로 학생들이 조작 할 수 있도록 한 활동지의 구성을 목적으로 하였다. 적용한 수업의 결과를 보면 학생들은 스스로 조작단계를 구성하고, 수학적 사고를 하는 것을 볼 수 있는 수업이어서 앞으로 공학도구를 이용한 수업을 개발할 때 학생이 직접 조작해 볼 수 있는 수업의 구성이 필요함을 알 수 있었다. 본 연구는 고등학교 1학년 여학생 4명을 대상으로 한 사례연구이고, 상위권 학생을 대상으로 단기간에 이루어진 4차시 수업이므로 수업결과에 대하여 일반화 하기는 어렵지만 공학도구를 이용한 수업을 설계하는 연구자나 교사에게 다음과 같은 도움을 줄 수 있다. 첫째, GeoGebra을 수업이나, 과제에 이용함으로써 학생들이 자기 주도적으로 수학적 사고를 하도록 도울 것이다. 둘째, GeoGebra를 이용한 수업은 대수적 표상과 기하적 표상이 동시에 학습할 수 있으므로, 삼각함수와 같이 대수와 기하적 측면을 필요로 하는 수업에 유용할 것이다. 또 마지막으로 GeoGebra를 이용한 수업은 학생들의 인지적 영역에서 수학학습의 이해를 도움으로써 수학에 대한 진정한 즐거움을 느끼는 수학 수업을 할 수 있을 것이다.;This study aims to analyze cognitive and affective aspects of four female high school students, who are the 1st graders and have high-level mathematical records, after observing teaching-learning designed to apply a technological instrument utilizing GeoGebra in the unit of trigonometric function. The students find it difficult since the trigonometric function has the aspects of geometry and analytic simultaneously. It often causes their dependency on mechanical memorization of the trigonometric function rather than its true understanding. This study is designed to help the students better understand the trigonometric function by utilizing GeoGebra and construct a thought process for a meaningful research of trigonometric function graphs. This study is to set up the following research issues. 1. How are the learner's cognitive domains characteristics in the class utilizing GeoGebra? 2. How are the learner's affective domains characteristics in the class utilizing GeoGebra? In order to solve above research issues, this study analyzed preceding researches and 11 types of textbooks, and then designed the 4th class on the unit of trigonometric function. As there are difficulties in students' finding mathematical knowledge by themselves in a class that applies a technological instrument of a complete form, or applies engineering with detailed directions from the teacher, this study designed a class which minimizes the aid of teachers and which does not offer detailed indications in using GeoGebra. The 4th class was recorded in a video, and GeoGebra activity data was submitted in files, and the following conclusions were induced by analyzing cognitive domains characteristics and affective domains characteristics on part of the learner regarding student discourses and activity datum. First, cognitive domains characteristics of students shown in class vary according to the type of the class. In the 1st class, the teacher progressed a lesson centering on observations, and characteristics of recognizing domains that explore and cognize concepts appeared significantly. However, the 3th class showed enlarged portions of deducing or applying domains, although the type of class was the same with the 1st class. Also, the 2nd class made mathematical devises by using GeoGebra functions, and characteristics of applying domains among cognitive domains appeared largely at that time. Finally, in the 4th class, where students were made to create their own datum and to freely conduct activities, it appeared that they used each domain of cognitive domains evenly while discovering new formula or proving existing ones. Second, one of the characteristics of the class using a technological instrument regarded in this study is that the activity datum were created so that the students could handle the instrument along with self-directed learning. Seen from the results of the applied class, students composed operating steps by themselves and showed mathematical thinking, by which the necessity for classes providing opportunities for direct operation by students could be known accordingly. Third, the study provided an observation into the process of mathematical thinking by students. Students analyzed why such result came out through the process of observing and discovering mathematical contents from the data made with GeoGebra, and also justified causes through previous classes or mathematical knowledge that they already had. At this time, it was shown that the students either applied intuitive verification, or found the cause from one factor of GeoGebra, and then thought about formal evidences or reasons afterwards. As GeoGebra's characteristic of dynamic visualization prepared the formerly static mathematical concept to be operable, following the students' flow of thoughts, students went on to explore thoughts while questioning continuously. Fourth, the class utilizing GeoGebra gave positive influences on not only cognitive domains, but also affective domains, by helping the students feel interest in mathematics, instead of regarding it as a boring subject. Since this study corresponds to a case study which places four female high school students in their 1st grade as the target, and the class regarded here was a 4th class for students in higher levels held for a short term, it is difficult to generalize the class results; however, it may aid researchers or teachers in the following ways, in designing classes which utilize a technological instrument. First, teachers must design classes so that students can directly operate and compose the instrument through various steps, rather than applying mathematical completions of applet forms when using a technological instrument. This will make mathematics to which students feel difficulties interesting, and help mathematical thinking by assisting their understanding. Second, when a teacher intends to get the desired cognitive domains characteristics, class types should be designed so as to be fit to this purpose. Constant researches and lesson preparations by teachers will develop classes to give positive aid to students' cognitive, affective domains. Third, lesson plans on the unit of designed trigonometric function and work sheets could be applied to small-group classes in forms which allow self-directed learning, or by suggesting them as assignment forms to students, GeoGebra can be used.