탐구형 소프트웨어(Cabri Geometry II)를 활용한 학습환경이 증명의 이해에 미치는 영향

Abstract

Mathematical reasoning, problem solving and proofs are critical elements in order to practice and understand mathematics. Their importance should be emphasized in every level of mathematical education, although, the strictness of their emphasis may differ for each level. Currently, however, middle school geometry classes teach proofs deductively and formally. The discovery and investigational part of the curriculum is ignored in addition, most students and teachers have a refusing attitude toward proofs. Beyond teaching geometrical proofs in the customary method, inductional reasoning should be emphasized in middle school geometry proof courses to enhance investigational skills. Today without modern technology, it is difficult to draw, infer and investigate. However dynamic computer geometry software could be the tools to resolve these difficulties. Many worldwide researches were performed by utilizing calculators and geometry computer software to better understand geometry and its proofs. Although these past researches proposed ways to instruct proofs emphasizing their theorem discovery and reinvention, there were no concrete verifications for their effectiveness. These were proposed for practical use, and their content composed accordingly. Along with the above-mentioned information, current research is also studied based on the following conditions: Among other strong geometry computer software, Cabri Geometry II was used to find out how helpful it would be for the students mathematical abilities and their understanding of proofs. Importantly, van Hieles s levels was used as a bench marker to measure the effectiveness. Thus, this research demands inquiry of deeper understanding of the instructional method for proofs and computer software application. Also, this research is based on models of second year students in middle school. The purpose of this study is focused on the impact of geometry software on the students understanding of proof concept. The following are questions regarding this study: First, how does the Exploratory Geometry software affect the students understanding and acceptance of proof? Second, how does the software affect the students ability to prove theorem? How would van Hieles s levels apply to measure the students abilities? Third, how do the students respond from the transition process of inductive reasoning to deductive reasoning? For the first question, a group of second-year intermediate students were interviewed twice, and both results were analyzed to see if there were any effects on their understanding and preference to the inductive method or the deductive method. For the second question, prior to the two interviews, all participating students were tested with van Hieles level test. Based on this, two interviews were performed, and the results were analyzed and studied. For the last question, the students response from the second interview about their preference to the inductive or deductive method was studied. As a result, the proof drills with the Exploratory software application showed experimental evidence that students didn t favor between the inductive and the deductive methods when they had to justify the hypotheses. On the other hand, from the observations of the students behavior and comments, Exploratory software application provided good foundations for students to learn deductive proof because it helped students to make hypotheses and provide its confirmation. Also, it helped students to understand the necessity that conclusions should be made by deductive proof. Furthermore, it helps students to understand the significance that once a proof has been proven as a mathematical proposition, it cannot be objected. Such facts reveal that the geometry environment involving active investigation plays an important role for students who were inferior to van Hieles level to move their understandings ahead from the non-formality to formality method. These facts represent not only students reactions changing from inductive to deductive, but more importantly support the fact that students spontaneously make hypotheses, propositions and conclude with proofs. These facts are noticed during the 2nd interview from the students who were inferior to van Hieles level During the 2nd interview, the inferior students showed that they had developed precise prediction and even attempted to show proof. ; 수학적 추론과 증명은 문제해결과 더불어 수학을 알고 행하는 데 중요한 요소로, 그 정도는 다르겠지만 학교수학의 모든 수준에서 강조되어야 한다. 그러나 현재의 중등 기하에서의 증명 지도는 탐구와 발견의 과정을 생략한 연역적이고 형식적인 방법으로 제시되고 있어 대부분의 학생과 교사들이 증명단원을 어려워하는 경향이 있다. 형식적인 증명은 물론 정리를 발견 또는 재발명하는 귀납 추론이 중등학교에서의 증명지도에서 강조되어야 하는 한편, 지필 환경에서는 작도하고 탐구하며 추측하는 활동을 하는데 어려움이 있다. 따라서 동적인 기하소프트웨어가 이러한 문제를 해결할 수 있는 도구가 될 수 있다. 이러한 배경에서 국외는 물론 국내에서도 그래픽 계산기 및 기하 소프트웨어를 이용한 기하 와 증명 학습에 관한 연구들이 최근 많이 등장하고 있다. 그러나 이러한 이전 연구들은 정리의 발견과 재발명을 강조한 증명 수업 방법을 제안하고는 있지만 그 효과에 관한 구체적인 검증은 없었으며 활용 가능한 단원 제시 및 내용을 구성하는데 그 목적을 두었다. 본 연구에서는 근래에 강력한 도구로 제시되고 있는 탐구형 소프트웨어, 그 중에서도 Cabri Ⅱ를 이용한 증명 수업이 학생들의 수행 능력 또는 증명에 대한 이해에 어떤 영향을 끼치는지, 특히 van Hiele의 기하 학습 수준 이론에 비추어 어떻게 작용하는 지를 연구하였다. 이러한 연구의 수행은 증명 교수 방법 및 소프트웨어의 작용을 고찰할 구체적인 사례연구가 요구되는 필요성에 의한 것이다. 본 연구의 목적은 학생들의 증명에 대한 이해에 탐구형 소프트웨어를 활용한 학습 환경이 미치는 영향에 관심을 가진 것이다. 따라서 연구문제는 구체적으로 다음과 같다. 첫째, 컴퓨터 소프트웨어를 활용한 자발적인 탐구적 증명 학습 활동이 학생들이 증명을 받아들이는데 어떻게 영향을 주는가? 둘째, 컴퓨터 소프트웨어를 활용한 자발적인 탐구적 증명 학습 활동이 학생들의 증명 수행능력에 어떠한 영향을 미치는가? 셋째, 탐구 및 추측의 귀납적 ? 비형식적 증명에서 연역적 ? 형식적 증명사이의 전이과정에서 학생들의 반응은 어떠한가? 이와 같은 연구문제의 해결을 위하여 사례연구방법을 택하였고, 서울의 한 중학교 2학년 학생 11명을 대상으로 하였다. 연구초기에는 탐구활동 전의 학생들의 기하적 사고의 수준을 측정하기 위하여 van Hieles 수준 검사와 증명의 이해정도를 측정하기 위한 지필 검사를 실시하였고, 학생들의 증명에 대한 이해 양상을 관찰하고 분석하기 위하여 약 3주에 걸쳐 5회의 Cabri Ⅱ를 활용한 탐구적 증명 학습 활동을 실행하도록 하였다. 학생들의 탐구적 증명 학습 활동을 전후로 하여 두 차례의 면담이 실시되었고, 그들의 반응은 연구자에 의해 관찰되고 비디오로 기록되었다. 1차 면담은 질의응답형식으로 2차 면담은 컴퓨터 앞에서 과제를 해결하는 형식으로 실시되었다. 첫 번째 연구 문제는 특히 학생들의 귀납적 방법과 연역적 방법에 대한 선호나 수용에 컴퓨터를 활용한 환경이 영향을 주었는가 하는 문제와 관련하여 1차 면담조사와 2차 면담조사의 결과를 비교하여 분석하여 하였다. 두 번째 연구문제는 연구 초기에 실시한 van Hieles 수준 검사의 결과에 비추어 2차 면담시 학생들이 증명을 하는 방식을 분석함으로써 조사하였다. 마지막 연구문제는 학생들이 2차 면담에서 보여준 반응을 살펴봄으로써 학생들의 귀납적이고 경험적인 증거로부터 연역적인 증명으로 이어가는 과정을 조사하였다. 그 결과, 우선 Cabri Ⅱ등을 활용한 증명학습에서의 경험적 증거가, 학생들이 수학적 가설을 정당화하는 데에 있어서 귀납적 방법과 연역적 방법 중 어느 것을 더 선호하는 가에는 아무런 영향을 주지 않고 있음이 나타났다. 학생들은 1차 면담조사에서 기존의 수업시간에 다루어 왔던 연역적 방법의 증명을 선호했다. 이러한 성향은 탐구적 증명활동 학습을 시행한 이후에도 변함없이 2차 면담에서도 드러났다. 둘째, 오히려 학생들의 행동을 관찰한 결과나 그들의 답변에 비추어 볼 때, 이러한 탐구적 경험들은 학생들이 가설을 세우고 이를 확인할 수 있게 하여 줌으로써 연역적 증명으로 이르는 유용한 출발점으로 작용하였다. 1차 면담에서 많은 학생들은 귀납적 추론을 증명으로 보았다. 이러한 현상은 학생들이 ‘수학적 증명’의 개념을 생활에서의 증명의 의미와 혼동하고 있었으며 “예 들기” 라는 귀납적 추론의 대표적 방법에 대한 이해가 부족했기 때문이었다. 그러나 1차 면담조사 때에는 추론 방법 구분과 증명의 이해 자체 못하던 학생들이 2차 면담조사시 제공된 증명 과제를 컴퓨터를 활용하여 능숙하게 해결함은 물론, 귀납적 방법으로 끝나지 않고 연역적 증명에 대한 필요성을 느끼고 이를 시도하였다. 즉, 연역적 증명에 의한 결론의 필요성과 증명된 명제는 반례가 존재하지 않는다는 수학적 증명의 의미를 이해하는 데에도 도움이 된 것으로 보인다. 이러한 결과는 학생들의 증명 수행 능력에 동적 기하 프로그램을 활용하는 환경이 중요한 역할을 함을 시사하는 것이다. 셋째, 2차 면담 조사의 문항으로 제공된 탐구활동을 학생들이 수행하는 과정을 관찰한 결과 귀납에서 연역으로의 전이 과정에서 학생들은 단순하게 반응한 것이 아니라, 직접 가설을 세우고 명제를 만들어 이를 증명하는데 Cabri Ⅱ를 적절하게 사용하였다. 그들은 자신이 추정한 사설이 맞는지를 끌기나 측정 등의 다양한 기능을 이용하여 확인하고 이를 연역적으로 입증하기 위하여 노력하였다. 이러한 학생들의 행동은 Cabri Ⅱ와 같은 탐구적이고 동적인 소프트웨어가 학생들의 비형식적 수준에서 형식적 수준에 이르기까지의 능동적인 활동을 지지해주는 역할을 한다는 결론을 이끌어 준다. 결국, 연구의 초기의 관심이었던 과연 동적인 기하 환경, 즉 다양하고 광범위한 측정이 가능하고 손쉽게 도형의 형태를 변화시킬 수 있는 기능들이 학생들이 연역적 증명을 인식하고 전개하는데 또 그 필요성을 인식하는데 방해가 되지는 않을 가하던 우려는 기우이고 오히려 지금과 같이 탐구와 발견의 과정을 생략한 연역적이고 형식적인 방법으로 제시되고 논증기하를 학습하기보다는 Cabri Ⅱ와 같은 동적인 탐구형 소프트웨어를 활용한 수업이 긍정적인 효과를 줄 것으로 기대할 수 있겠다 하겠다.