모델링 활동 사례분석 연구

Abstract

수학교육에서, 학생들에게 수학의 논리적 구조와 내용 체계를 지도하는 것 뿐 아니라 실세계 맥락에서 탐구하고 추측하고 시험하고 반성하는 과정에서 수학을 구성하도록 돕는 것은 중요하다. 최근에, 학생들이 학습한 수학적 내용을 충분히 이해하여 이를 실세계 맥락의 문제를 해결하는데 활용할 수 있을 뿐 아니라 수학이 추상적이고 형식적인 교과가 아니라 실생활과 관련이 된다는 점을 인식할 수 있게 하는 것에 관심을 갖게 되었다. 그러나 학생들이 실세계 맥락의 문제를 해결하는 능력이 부족하다는 점과 수학을 일상생활과 유리된 추상적인 교과라고 인식하여 학습 동기와 흥미도가 낮다는 문제점이 제기되어 왔다. 이미 학습한 개념이나 절차를 단순히 기계적으로 적용하면 해결될 수 있는 단편적인 응용문제에 익숙해 온 점이 그 이유가 될 수 있다. 실세계 맥락을 탐구하면서 비형식적인 개념을 형식화하는 과정에서 새로운 수학적 개념이나 원리가 도입되어야 하는 필요성을 이해하고, 그 후에 점진적으로 새로운 수학적 개념, 원리, 법칙을 학습하고, 그 상호연관성을 파악하여 이를 다양한 실세계 맥락의 문제를 해결하는데 적용하는 과정에서 학습자는 실세계 맥락의 문제를 해결하는 능력을 향상시킬 수 있다. 이 과정은 진정한 의미에서 수학을 응용하는 학습과정이며, 모델링 활동에서 진정한 의미에서 수학을 응용하는 학습이 가능하다. 모델링 활동에는 실세계 맥락을 탐구하면서 수학적 구조와 관계를 추상화하여 비형식적인 상황모델을 형식적인 수학모델로 개발하는 과정이 포함된다. 이러한 추상화 과정은 탈맥락화된 추상화 과정이 아니라 실세계의 상황적 · 실제적 의미를 보존한 채로 추상화하는 상황적 · 실제적 추상화 과정이다. 또한 모델링 활동에서 학습자는 실세계 맥락에 내재된 다양한 데이터를 수집하기 위하여 도구를 활용한 지각적 활동을 하고, 지각적 활동을 기반으로 하여 모델을 개발하는 인지적 활동을 하게 된다. 그 밖에도, 모델링 활동에서 학습자는 모델을 개발하는데 필요한 수학적 지식에 대해 사고하고, 비판적으로 판단하여 선택하고, 그 활용 과정을 제어하면서 모델을 개발하게 된다. 결과적으로, 모델링 활동에서 수학의 응용 학습, 상황적 · 실제적 추상화 학습, 도구를 활용한 탐구 학습, 메타인지적 사고 학습을 할 수 있다고 본다. 수학 학습에서 모델링 활동의 역할로서 이 네 가지 학습의 중요성이 선행연구들에서 주장되어 왔다. 그러나 모델링 활동에서 이들 네 가지 학습이 구체적으로 어떤 과정으로 진행되는지는 밝혀지지 않았다. 이들 학습 과정이 밝혀지면 이를 기반으로 하여 바람직한 모델링 수업을 설계하기 위한 논의를 할 수 있다고 본다. 이러한 문제의식에 따라, 본 연구는 모델링 활동에서 이들 학습이 진행되는 과정을 밝히는 것을 연구의 주된 목적으로 삼았다. 연구목적에 따라 다음과 같은 네 가지 연구문제를 설정하였다. 첫째, 모델링 활동에서 수학의 응용 학습은 어떤 과정을 거치면서 진행되는가? 둘째, 모델링 활동에서 상황적 · 실제적 추상화는 어떤 과정을 통하여 학습되는가? 셋째, 모델링 활동에서 도구를 활용한 지각적 활동과 모델을 개발하는 인지적 활동은 어떤 상호작용 과정을 거치는가? 넷째, 모델링 활동에서 어떤 메타인지적 사고를 학습할 수 있으며 이 메타인지적 사고는 모델을 개발하는 과정에 어떻게 영향을 미치는가? 이상의 연구문제를 가지고 연구방향을 설정한 후에 먼저, 본 연구의 이론적 배경이 될 수 있는 모델링 활동에 관한 이론적 고찰을 하였다. 그 후, 질적 사례연구 방법으로 학생들의 모델링 활동을 조사하고, 이에 기반을 두고 연구문제를 심도 있게 분석하였다. 첫째, 학생들이 수학을 응용하는 학습 과정은 다음과 같다. 학생들은 실세계 맥락에서 자신의 경험과 활동을 조직화하고, 맥락을 단순화하고, 실세계 맥락을 재조직하는 재맥락화 과정을 거쳤다. 다음에는, 재구성적 일반화 과정과 상황적 추상화 과정을 거치면서 새로운 수학적 개념이나 원리가 도입되는 필요성을 암묵적으로 이해하였다. 그 후, 점진적 형식화 과정에서 새로운 수학 개념, 원리, 법칙을 학습하였다. 마지막으로, 맥락화 과정과 확장적 일반화 과정에서 수학 개념, 원리, 법칙의 상호 연관성을 파악하고, 이를 실세계 맥락에 적용함으로써 학습한 내용을 심화하고 확장할 수 있었다. 하나의 모델을 개발한 후에는 이전 과정에서 개발한 모델에 비춰보아 합리적인지를 판단하는 타당화 과정이 수반되면서 모델을 수정하고 정교화하여 더 발달된 모델을 개발하였다. 따라서 모델링 활동에서 수학을 응용하는 학습 과정은 나선형 과정으로 진행된다고 할 수 있다. 둘째, 모델링 활동에서 상황적 · 실제적 추상화를 학습하는 과정은 실세계 맥락의 상황적 · 실제적 의미가 보존된 다양한 모델들이 서로 연결되고 통합되면서 추상을 향하여 구체의 근방이 점점 더 확장되어 가는 영역에 위치하게 되는 모델로 발달되어 가는 나선형 과정이라고 할 수 있다. 따라서 모델링 활동으로 상황적·실제적 추상화를 학습할 때 실세계 맥락의 상황적 · 실제적 의미가 나선을 통하여 보존되면서 다양한 모델들이 재귀적으로 발생된다고 볼 수 있다. 셋째, 모델링 활동에서 모델을 개발하는 과정과 도구를 조작하는 활동 과정의 상호작용 과정을 밝혔다. 학생들은 물리적인 도구를 활용한 지각적 활동에 기반을 두어 비형식적인 상황모델을 개발하였다. 물리적인 수단으로서 기능을 하는 도구에서 인지적 활동을 돕는 도구로 변형되는 과정에서 모델에 내재한 수학 구조가 학생들에게 가시적으로 드러나면서 수학모델이 개발되었다. 또한 학생들은 도구를 조작하는 활동을 내면화함으로써 도구의 중재가 없는 상황에서도 일반화 가능한 모델을 개발하였다. 넷째, 모델링 활동에서 학습되는 메타인지적 사고를 분석하고, 이 메타인지적 사고가 모델을 개발하는 과정에 미치는 영향을 밝혔다. 학생들은 자신의 경험적 지식, 지각적 활동에서 구성한 구체적 지식, 수학적 지식을 사고의 대상으로 하는 인지적 지식을 활성화함으로써 모델을 개발하고 수정하고 정교화하였다. 또한 자신의 수학적 지식을 활용하여 수학모델을 정교화 하여 일반화 가능한 모델을 개발할 수 없을 때 자신의 수학적 지식을 모니터하고 평가하고 새로운 수학적 지식의 필요성을 인식하게 되었다. 이상의 네 가지 연구결과에 기반 하여 모델링 수업 지도방안과 수업모형을 개발하였고, 이를 기초로 모델링 활동으로 탄젠트함수의 그래프를 학습-지도하기 위한 수업 지도안을 개발하였다.;What is important in mathematics education is not only to teach students the knowledge of systematic structures and overall contents of mathematics but also to help students to construct mathematical knowledge through the process of exploring, inferring, testing and reflecting in the realistic context. Recently, what is emphasized in mathematics education is that students should not only understand mathematical concepts enough to be able to apply these to mathematical problems in the realistic context but also realize the fact that mathematics is not an abstract and formulated subject, but an important subject with great relevance to everyday life. However, there have been on-going concerns about the current mathematics education, which is that firstly, students tend to lack in the capacity of applying their mathematical knowledge in solving problems in the realistic context, secondly, they seem to lack in their motivation and interest in learning mathematics partly due to their bias of viewing mathematics as an abstract subject detached from everyday life. A part of the reasons for these problems may be that in the current mathematics education, students are often taught to practice solving routine problems, which requires only mechanical application of mathematical concepts or problem solving procedures that they learned. What seems to be required for the current problems is that students should understand the necessity of learning new mathematical concepts and principles in the process of gradually formulating the non-formulated concepts through exploring mathematical problems in the realistic context. And then, gradually, they should learn new mathematical concepts, principles and rules, and understand the correlations among them, which will equip them to apply what they learned to various problems in the realistic context. Through these processes, students can improve the ability to solve problems in the realistic context with their mathematical knowledge. This approach is, in a true sense, a learning process of applying mathematics, and this learning process can be accomplished in a modeling activity. A modeling activity includes a process of developing a non-formulated model of situation into a formulated mathematical model through the process of abstracting mathematical structure and relation from exploring realistic context. This abstraction process should be understood not as a process of creating abstract concepts detached from the realistic context, but as a process of situated and realized abstraction in which realistic context is abstracted into the mathematical world without losing their contextual and realistic meaning. Also, in a modeling activity, students will be engaged in the activity of perception by the use of various instruments to collect various sets of data in the realistic context and will be engaged in the activity of recognition in which they develop a model based on the collected data. In addition, during the process of model-development, students will think about and select critically their mathematical knowledge required for modeling, and control the process of using mathematical knowledge selected. Consequently, through a modeling activity, students will be engaged in the learning of applying mathematics to the realistic context, the learning of situated-realized abstraction, the learning of the exploring with instruments and the learning of metacognitive thinking. Through these learning, students will develop capacity to solve mathematical problems in the realistic context. In previous studies on a modeling activity, the importance of these four learning has been mostly emphasized. However, it has not been clear about the detailed mechanism of how these four learning progress in a modeling activity. Motivated by the questions regarding the detailed mechanisms of the progression of these learning, this research focused on elucidating the detailed mechanisms of these four learning. Once the detailed mechanisms are elucidated, a desirable modeling class can be designed in a better way by reflecting the detailed mechanisms. According to the purpose of this research, the following four research questions were proposed. First, through what mechanisms does the learning of applying mathematics progress in modeling activities? Second, through what process can the learning of situated-realized abstraction be accomplished in modeling activities? Third, what kind of mutual interactions are there between the activity of perception manipulating instruments and the activity of recognition for developing a model in modeling activities? Fourth, what kind of metacognitive thinking can be implemented and what effect does metacognitive thinking have upon the process of model-development? With the above questions in a mind, the direction of this research was established. First of all, as a theoretical background for the research, various theories of the modeling activity were investigated. And then, the actual modeling activities of students were monitored as a qualitative case study, and based on the case study, the research questions were analyzed in depth. First, the mechanisms of applying mathematics to the realistic context have been investigated. Students could organize their everyday experience and various activities, and simplify and reorganize the realistic context through the processes of re-contextualization. Next, through the processes of reconstructive generalization, expansive generalization and situated abstraction, students could understand the necessity of learning new mathematical concepts and principles. And then, through the process of gradual formalization, students studied new mathematical concepts, principles and rules. Lastly, in the processes of contextualization and expansive generalization, students could broaden and deepen their understanding upon what they have already learned, through understanding the correlation among mathematical concepts, principles and rules and applying them to the realistic context. Once a new model was developed, a validation process was carried out to check whether the model was reasonable compared with the models developed in previous processes, and then more refined model was developed. Thus, the learning process of applying mathematics in a modeling activity progresses through a spiral process. Second, this research has elucidated the process of situated-realized abstraction. The learning process of situated-realized abstraction is a spiral process in which various models are connected and integrated while preserving their contextual and realistic meaning, and the models are developed into the models located in the domain where the neighborhood of the real world is extended to the abstract world. Thus, the various models were developed recursively while preserving their contextual and realistic meaning of the realistic context through a spiral process. Third, the interactions between the process of model-development and the process of manipulating instruments have been investigated. Students developed a non-formulated model of situation based on the activity of perception with the use of physical instruments. A mathematical model was developed when a mathematical structure inherent in a model of situation emerges out in students' mind through the process of turning instruments defined as their physical functions into instruments defined as a means of helping students' activity of recognition. Also, students could internalize the activities of manipulating instruments, which enabled them to develop a generalizable model even without a support of instruments. When the knowledge about instruments and the knowledge about mathematics were integrated in the activity of recognition and the various functions and limitation of instruments were recognized, it speeded up the process of model-development. Fourth, the metacognitive thinking learned in modeling activities were analyzed and the effect of the metacognitive thinking upon the process of model-development was investigated. Students developed cognitive knowledge in a process during which their experiential knowledge, the concrete knowledge constituted in the activity of their perception and mathematical knowledge became objects of their thinking, which enabled them to develop, correct and refine their models. In addition, when they could not develop a generalizable model through refining a mathematical model by the use of their mathematical knowledge, they monitored and evaluated their mathematical knowledge, which made them realize the necessity of learning new mathematical knowledge. Based on the analyses upon these four research questions described above, a teaching guideline and a teaching model for a modeling class were developed. Based on these, a teaching plan for teaching and learning a tangent function graph in a modeling activity was developed.