'식의 계산' 단원에서 수학 학습부진아의 오류 분석과 교정에 관한 연구

Abstract

Algebra is based on all fields of mathematical learning. Also it makes us solve the most of mathematical problems. Specially, a letter expression in algebra is not only an indispensable element to learn maths but also forms the foundation of various realms. The purpose of this study gives a good reference to teachers who want to help students to improve their problem-solving competence as analyzing errors that underachivers in the first year of the high school during learning calculation of numerical formula and clearing up the process for solving problems. For this purpose, two research contents were set as follows;. 1. Analyzing the errors shown in underacheivers' process of problem-solving in the first year of the high school on calculation of numerical formula. 2. Clearing up the correcting process of the errors . To perform this research,53 maths underacheive-students in the Y high school who were classified with the distincting examination offered by Seoul Metropolitan Office of Education at the beginning of this year were selected. Then, they were assorted according the inspected errors in the paper and 3 out of the 53 students of study were selected to show the correcting-error process. The paper consists 10 questions with reference to the math text books now in use to examine problem-solving errors in calculation of numerical formula . The error types and causes were analyzed through the process for solving problems that students showed. The error types were divided into 4 categories; errors from misinterpreted theorem or definition, errors from description , errors from imperfection and errors from ambiguity. The results of this study are as following: First, among the error types and causes, errors from misinterpreted theorem or definition is the most frequent occurrence. The most students made errors in the questions which called for the least common multiple (L.C.M) and the greatest common measure (G.C.M.). According to interviews with the students, the result that a specific character of underacheivers in math is the outcome of committing to memory by repeated exposure and practicing mechanical drills without meaningful learning come to the front. Second, under the guidance of a teacher , students could approach a proper way by themselves in the process to correct students' errors in the paper. Therefore, they could correct errors and solve problems with a cognitive process and a good understanding fundamental notions. According to interviews with the observation on students, they were in difficulties for an application to the basic principles. Students who made errors from misinterpreted theorem or definition corrected their own errors with various examples and an application to the basic principles. Students who made errors from description corrected errors with expressing logical calculation. Students who made errors from imperfection checked over all of their own calculation and a teacher focused on a guide of meaningful learning. In consideration of a specific character of slow learners, it is for a teacher important to help them build self-confidence. Providing sufficient examples is also good way to make them understand the basic principles. If these efforts continue, the guidance for underachievers will be much effective.;대수는 모든 수학 학습의 기초가 되는 일종의 언어체계로 되어 있으며 대부분의 수학이 대수 언어를 통해 의사소통 된다. 특히 대수에서 문자식은 모든 수학의 언어로서 수학을 배우는데 없어서는 안 되는 기초가 될 뿐더러 수학을 이용하는 다른 여러 분야의 학습의 기초가 되는 내용이다. 본 연구의 목적은 고등학교 1학년 수학 학습 부진아가 ‘식의 계산’ 단원의 문제 해결 과정에서 보이는 오류를 분석하고 교정과정을 밝힘으로써 문제해결능력을 향상시키기 위한 교사의 수업에 참고가 되고자 하는데 있다. 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 두가지 연구내용을 설정하였다. 1. 고등학교 1학년 수학학습 부진아들의 ‘식의 계산’ 단원의 문 제 해결 과정에서 나타나는 오류의 유형을 분석한다. 2. 수학 학습 부진아들의 오류 교정 과정을 밝힌다. 본연구내용를 해결하기 위해 올해 3월 초에 서울특별시 교육청에서 제공한 학습 부진아 판별고사를 통해 선별된 서울 시내의 Y고등학교 53명의 수학 학습 부진아를 대상으로 오류검사지를 통해 오류 유형을 분류하고 대상학생 중 3명을 선정하여 오류의 교정과정을 밝혔다. 오류검사지는 ‘식의 계산’ 단원에 대한 문제 해결에서의 오류를 검사하기 위하여 현행 9-가 교과서와 고등학교 10-가 교과서를 참고로 고등학교 수학의 대수 부분을 배우는데 기초가 되는 문제를 유형별로 총 10문항을 선정한 것이다. 학생들이 제시한 문제풀이과정을 통해서 오류 유형과 원인을 분석하였다. 각 문항에 포함된 오류들은 문헌연구에서 살펴보았던 Hardar 와 Zaslavsky가 오류모델로 제시한 6가지 모델과 김옥경이 제시한 오류 유형을 기준으로, 4가지 오류의 유형으로 분류하였다. 오류 유형은 곡해된 정리나 정의에 의한 오류, 기술의 오류, 불완전성으로 인한 오류, 애매한 오류 이렇게 네가지로 나누었으며, 곡해된 정리나 정의에 의한 오류는 문제 해결에 필요한 기본 개념이나 원리를 모르거나 잘못 이해하여 표현을 잘못하는 경우등을 말하며, 기술의 오류는 계산상의 오류, 기초적인 대수를 다루는데 있어서의 오류 등을 포함한다. 그리고 불완전성으로 인한 오류는 풀이과정의 중간단계까지는 제대로 이루어 졌으나 문제의 해답에서 요구하는 것을 파악하지 못해서 풀이가 완전하게 이루어지지 않고 중단된 경우를 말하고, 애매한 오류는 학생들이 풀이한 과정에서 위의 세가지 오류에 분류하기 곤란하고 계산의 규칙에 일관성이 없거나 학생이 제시한 답만 보고 학생의 의도를 정확히 알 수 없는 경우를 말한다. 각각의 문항에 대해 나타나는 오류의 유형을 분류하고 정답율과 오류를 백분율로 나타내었다. 또한 오류 교정과정을 수행하기 위해 대상학생 중 오류검사지를 통해 대표적인 오류를 나타낸 학생 3명을 선정하여 학생들이 범한 오류를 바탕으로 순환 학습 모형과 개념 변화 학습 모형을 기초로 한 교정지를 구성하여 면담을 통해 교정지를 작성해 나가도록 하면서 교정을 실시하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 오류 중에서 곡해된 정리나 정의에 의한 오류가 가장 많이 나타났다. 그리고 문항별로는 식에서의 최대공약수와 최소공배수를 구하는 문제에서 가장 많은 오류가 발생 하였다. 또한 오류 교정과정에서 면담을 통한 교정지 작성을 통해 학습 부진아의 오류 특성은 개념이나 정리가 내포하고 있는 의미를 무시하고 단순히 계산 공식을 암기하고 기계적으로 풀이하는 과정에서 오류가 비슷한 패턴을 가지고 유지되는 것임을 알 수 있었다. 둘째, 교정지를 통한 오류 수정 과정에서 학생들은 교사의 안내를 받아가며 스스로 올바른 문제의 풀이 과정에 다가갔으며, 문제에 대한 개념 이해와 인지적 사고과정을 통해 오류를 교정하여 문제를 해결 해 나갈 수 있었다. 그리고 면담을 통해 학생들의 오류 교정과정을 살펴본 결과 학습자들은 문자식의 계산을 하는 데 있어서 수에서의 연산의 방법이나 원리를 문자에 적용시키지 못하고 별개의 것으로 생각하여 어려움을 느끼고 있었다. 곡해된 정의나 정리에 의한 오류를 보인 학생에 대해서는 수의 연산에 대한 예를 통해 스스로 문자식의 계산에 수의 연산의 원리를 적용하도록 함으로써 오류를 수정하게 하였고 기술의 오류를 보인 학생은 계산과정을 논리적으로 표현하도록 함으로써 오류를 수정하게 하였다. 불완전성으로 인한 오류를 보인 학생은 자신의 계산 과정을 검토하게 하고 어떠한 의미를 가지는지를 지도하는 것에 초점을 맞추었다. 그리고 학습 부진아의 특성을 고려해 볼 때, 스스로 할 수 있다는 자신감을 줄 수 있는 허용적 분위기를 조성하고 충분한 예를 통해 개념을 이해시키는 것이 중요했다. 이러한 노력이 지속적으로 이루어 질 때 부진아 지도가 효과적일 수 있을것이다.