A Multidimensional Continued Fraction Using the Algebraic Jacobi-Perron Algorithm

Abstract

It is known that a normal continued fraction expansion of a real number is periodic if and only if the number is a quadratic irrational. So there have been many attempts to make other irrationals to have periodic properties. In effort of doing so, Jun-Ichi Tamura and Shin-Ichi Yasutomi have come up with a new algorithm for making multidimen- sional continued fraction (Algebraic Jacobi-Perron algorithm) that in- volves cubic irrationals, and found out periodicity in some cubic number fields, such as Q(√3 m3 + 1) where m ∈ Z, and Q(δm) where δm is a root ofx3−mx+1=0, m∈Z, m≥3withthealgorithm. In this thesis, we study some other types of number fields that can be expressed as periodic continued fractions using Algebraic Jacobi-Perron algorithm. While Tamura proves for Q(√3 m3 + 1), I generalize the base √l l field to be Q( m + 1) for any positive integer l. Furthermore, we find that a family of cubic equations, such as x3 + 3ax2 +bx+ab−2a3 +1 = 0, b ≤ 3a2 −3, a, b ∈ Z, have roots that become periodic when expanded as multidimensional continued fractions.;일반적인 번분수 표기로 순환이 되는 실수가 이차 무리수라는 것은 이미 널리 알려져있는 사실이다. 그래서 지금까지 다른 무리수들도 순환적 성질을 가지게 하 기 위한 많은 시도들이 있었다. 그 과정에서, Jun-Ichi Tamura와 Shin-Ichi Yasutomi 는 대수적 자코비-페론 알고리즘이라는 3차원 수체 상의 번분수를 생성하는 알고 리즘을 만들어냈고, 그 알고리즘을 사용해서 m이 정수일 때 Q(√3 m3 + 1)와 δm이 x3−mx+1=0, m∈Z, m≥3의근일때Q(δm)와같은특정3차원수체에서의 어떠한 원소들이 순환적이라는 것을 밝혀냈다. 이 논문에서 우리는 고차원 수체 상에서 적용되는 대수적 자코비-페론 알고 리즘을 형성했고, 또한 그 알고리즘을 이용했을 때 m이 2보다 크거나 같을 경우 √l l 3 2 Q( m +1)의 순환적인 원소의 존재성을 증명했다. 더불어, 우리는 x +3ax + bx + ab − 2a3 + 1 = 0, b ≤ 3a2 − 3, a, b ∈ Z의 근을 품는 3차원 수체를 이용해 순환적 3차 번분수를 만들 때에는 그 함수의 간단하게 변환된 형태를 보고 만들 수 있다는 것을 증명했다.