A Reduction of Discrete Logarithm Problem to Pairing Inversion Problem

Abstract

Since Joux [9] proposed one round tripartite Diffie-Hellman protocol by using bilinearity of pairings, pairing-based cryptosystems have been one of the most active research fields in cryptography. The security of these pairing-based cryptosystems depends on the diffculty of the Pairing Inversion(PI) problems. As an attempt to guarantee the hardness of the PI, we observe the followings: Maurer [13] showed that the Discrete Logarithm Problem(DLP) reduces to the Computational Diffie-Hellman Problem(CDHP) under the assumption of the existence of a smooth number, and Galbraith et al. [5] showed that the CDHP in pairing groups reduces to the PI. Morales [16] concluded that the DLP in pairing groups reduces to the PI indirectly via the CDHP oracle. In this thesis, we show how to solve the DLP using the PI oracles directly, i.e, a direct reduction of the DLP to the PI, a process described first as a direct polynomial-time reduction. Furthermore, under the assumption of the existence of an elliptic curve which is a cyclic group having smooth order, we count the complexities for reducing the DLP in pairing groups to the PI, namely O(B (log_2 r)^3/log2 B) group operations, calls to PI oracles, and pairing computations where r is a prime order of pairing groups and B = O(poly(log2 r)) is the smooth bound.;Pairing을 기반으로 하는 암호 시스템의 안전성은 Pairing Inversion 문제의 어려움에 의해 보장될 수 있다. 이 논문에서는 이러한 Pairing Inversion 문제의 어려움을 밝히기 위해서 이미 어려움이 잘 알려진 문제인 이산대수문제(Discrete Logarithm Problem)와의 관계를 비교한다. Cyclic group이 되는 타원곡선이 smooth order를 가질 때, 이산대수문제가 Pairing Inversion 문제로 reduce 된다. 즉, Pairing Inversion 문제를 푸는 oracle이 주어졌을 때, 이 oracle을 이용하여 pairing group에서의 implicit representation을 계산하는 알고리즘을 구성하고 이를 이용해 pairing group에서 다항식 시간 안에 이산대수문제를 효율적으로 풀 수 있음을 보인다. 이는 처음으로 보이는 이산대수문제의 Pairing Inversion 문제로의 직접적인 reduction이다. 또한 이 논문에서는 reduction에 필요한 자세한 complexity를 제시함으로써 이 reduction의 효율성을 보인다.