중학교 수학 교과서를 통해 본 문제해결에서의 가추적 사고

Abstract

Since 1990s, problem solving capability is persistently underscored in math education and abductive reasoning is gaining growing attention in problem solving. Under this background, this study aims to figure out how much emphasis is placed on abductive reasoning in math education on the ground. First, this study will suggest 'classification for abductive reasoning' designed on the basis of the classification of abduction introduced by Eco (1983) and Pedemonte & Reid (2011) and analyze the contents of current math textbooks. The 'classification for abductive reasoning' is a new type of classification that adopted positive aspects of previously introduced classification of abduction researched by both Eco (1983) and Pedemonte & Reid (2011) and amended it to be more suitable for analysis of actual textbook contents. It also includes pertinent examples per each type of abduction. This newly complemented and revised 'classification for abductive reasoning' is consisted of five classes of abduction sorted by following criteria : utilizing preacquired knowledge or inventing a new theorem to solve a given question ; numbers of conceivable theorems for a given question. The five classes are overcoded-selective abduction, undercoded-selective abduction, overcoaded-creative abduction, undercoded-creative abduction, and undercoded-mixed abduction. The analysis of current textbook contents based on this new classification of abduction was conducted by three researchers targeting a chapter titled 'similarity of diagrams' in the second grade math curriculum of middle schools and a chapter titled 'characters and equations' in the third grade math curriculum of middle schools included in randomly chosen three middle school textbooks. The three researchers sorted all the items written down in the targeted contents and investigated their features. The vast majority of the total 403 items were either overcoded-selective abduction type or undercoded-selective abduction type. In the comparison of textbooks, second graders' textbook contained more overcoded-creative abduction type items than third graders'. Chapter-based analysis showed that creative abduction type items appeared frequently in 'utilization of similarity' chapter and scarcely in 'factorization' chapter. Undercoded-mixed abduction type items were found rarely in all chapters. Our analysis on features of targeted items in current textbooks classified by five classes of abductive reasoning showed that most overcoded-selective abduction type items were merely asked students to adopt previously introduced theorems without any tweak. So they were thought to be more beneficial items for training to correctly adopt pre-educated theorems. Undercoded-selective abduction type items majorly demanded students to select a proper theorem for the given item among theorems they learned beforehand. Thus, when nurturing students' capability to solve a math question by choosing suitable theorems for the given situation from their pre-acquired knowledge about various theorems, these undercoded-selectie abduction type items seemed to be more helpful. In the case of overcoded-creative abduction type items, in most cases students were required to modify given diagrams or find rules of the provided item on their own. Consequently, these items were analyzed to be productive when students partook in a creative study that would help them to modify given situation, find rules by themselves, and direct those rules to pre-learned theorems. Undercoded-creative abduction type items suggested cases where several solutions were available by modifying diagrams and finding rules of the given item unaided. Therefore, deeper and more creative learning than that of overcoded-selective abduction type items can be provided to students by undercoded-creative abduction type items because students are called for considering diverse new theorems using previously learned ones. Lastly, undercoded-mixed abduction type items, albeit their rare presence, had various types such as a case where creative abduction came before selective abduction, or a case where either creative or selective abduction was required. With this type of items, students who have in-depth understanding in basic knowledge and are capable of creative problem solving will be able to enjoy the top level of problem solving study. On the basis of the argument so far, I would like to make propositions as follows. Firstly, more diverse types of items should be prepared for textbooks to cover all five categories of abduction considering that overcoded-selective abduction type items consist the lion's share of items in current textbooks. Secondly, overcoded-selective abduction type items must not be overused than their necessity because although they help students to have clear understanding in basic theories and knowledge in an early stage, they minimize the chance for students' abduction to engage. Thirdly, establishing more robust basic knowledge and improving knowledge utilization ability through undercoded-selective abduction type items is required in a stage where students are equipped with enough basic knowledge. Fourthly, we should provide our students with an educational experience of creative problem solving by sequentially introducing items of overcoded-creative abduction type, undercoded-creative abduction type, and undercoded-mixed type. More diverse items of these three types are to be developed. Lastly, the efficacy of 'the five types of abductive reasoning' on problem solving process should be thoroughly researched through subsequent studies.;본 연구는 1990년대 이후 문제해결력이 수학교육에서 계속적으로 강조되고 있고 가추적 사고가 문제해결에 중요한 역할을 하는 것으로 주목되고 있는데, 현재 수학교육 현장에서는 가추적 사고가 중요시되고 있는지 살펴보고자 한다. 본 연구는 먼저 Eco(1983)와 Pedemonte & Reid(2011)의 가추 분류를 바탕으로 현행 교과서의 분석틀로 사용할 ‘가추적 사고의 분류’를 제안하고, 제안한 분석틀을 기준으로 현행 수학 교과서의 문항을 분석하려 한다. ‘가추적 사고의 분류’는 Eco(1983)와 Pedemonte & Reid(2011)의 연구에서 제시한 가추 유형 분류의 장점을 반영하고, 실제 문항 분류에 적용하기 적합하지 않은 부분은 보완하여 새롭게 분류한 것이며, 현행 교과서 문항 중 가추의 각 유형에 해당하는 예를 제시하였다. 보완, 수정하여 새롭게 제안한 ‘가추적 사고의 분류’는 문제 해결을 위해 알고 있는 지식을 사용하는지, 새로운 원리를 생각해야 하는지, 생각할 수 있는 원리의 가짓수는 얼마나 되는지에 따라 확정적-선택형 가추, 가변적-선택형 가추, 확정적-창작형 가추, 가변적-창작형 가추, 가변적-혼합형 가추의 다섯 가지로 이루어진다. 새롭게 제안한 ‘가추적 사고의 분류’를 분석틀로 한 현행 교과서의 문항 분석은 3명의 판단자가 현행 중학교 교과서 중 3종을 임의로 선택하여 중학교 2학년 ‘도형의 닮음’ 단원과 중학교 3학년 ‘문자와 식’ 단원의 모든 문항을 분류한 후, 연구자가 그 특징을 분석하였다. 연구 대상이 된 전체 403문항 중 대부분이 확정적-선택형 가추 문항과 가변적-선택형 가추 문항이었고, 교과서별로 비교했을 때 확정적-창작형 가추 문항은 2학년 교과서가 3학년 교과서에 비해 많이 나타났다. 또한 단원별로 분석했을 때, ‘닮음의 활용’ 단원에서는 창작형 가추 문항이 많이 나타났고, ‘인수분해’ 단원에서는 창작형 가추 문항이 거의 나타나지 않았으며, 가변적-혼합형 가추 문항은 모든 단원에서 미미한 비율로 나타났다. 현행 교과서 문항 중 가추적 사고의 다섯 가지 유형으로 분류된 문항의 유형별 특징을 살펴보면, 확정적-선택형 가추 문항은 대개 앞서 소개한 원리를 그대로 적용하는 형태로 제시되어, 소개한 원리의 바른 적용을 훈련시키는 목적으로 사용되면 효과적일 유형으로 분석되었다. 가변적-선택형 가추 문항은 대개 이미 소개된 여러 원리 중 문제 상황에 맞는 원리를 선택하여 적용하는 형태로 제시되어, 많은 원리를 소개한 뒤 원리들 사이의 관계를 알고 문제 상황에 적합한 원리들을 스스로 선택하여 해결하는 능력을 기르고자 할 때 가변적-선택형 가추 문항을 활용하면 효과적일 것으로 분석되었다. 확정적-창작형 가추 문항은 제시된 도형을 변형하거나 문제의 규칙을 스스로 발견하여 해결하는 경우가 대부분이었다. 그러므로 기초 지식을 충분히 숙지한 후, 주어진 문제 상황을 변형하고 스스로 규칙을 찾아 이미 알고 있는 원리로 연결할 수 있는 창의적인 학습을 할 때, 확정적-창작형 문항이 효과적일 것으로 분석되었다. 가변적-창작형 가추 문항은 주어진 문제의 도형을 변형하거나 문제의 규칙을 스스로 발견하여 해결하는 방법이 여러 가지인 경우였다. 그러므로 기초지식이 숙지된 후 가변적-창작형 가추 문항을 제시하면 알고 있는 원리를 이용하여 새로운 원리를 다양하게 생각해야하므로 확정적-창작형 가추 문항보다 더 심화된 창의적인 학습이 가능할 것이다. 다섯째, 가변적-혼합형 가추 문항은 창작형 가추를 한 뒤 선택형 가추를 하는 경우, 창작형 가추만으로 또는 선택형 가추만으로 문제를 해결하는 방법이 동시에 존재하는 경우 등 수적으로는 적지만 다양한 경우가 나타났다. 기초지식을 숙지하고 창의적인 문제해결도 가능할 경우 가변적-혼합형 가추 문항을 제시하여 최고난도 문제해결 학습을 할 수 있을 것이다. 이상의 논의를 바탕으로 제언하고자 한다. 첫째, 현행 교과서에는 확정적-선택형 가추 문항이 대부분을 이루는데, 가추의 다섯 가지 유형을 사용할 수 있도록 다양한 문항을 제작해야 할 것이다. 둘째, 기초 지식을 확립하는 단계에서는 확정적-선택형 가추를 사용할 수 있는 문항을 활용하여 이론과 지식을 명확히 할 수 있도록 도와야 할 것이나 확정적-선택형 가추는 가추를 최소한으로 사용하게 하므로 확정적-선택형 가추 문항은 필요이상으로 활용하지 않아야 할 것이다. 셋째, 여러 기초 지식이 확립된 단계에서는 가변적-선택형 가추를 사용할 수 있는 문항을 활용하여 기초지식을 더 확실히 하고 지식활용능력을 향상시켜야 할 것이다. 넷째, 기초지식이 숙지되어 지식을 활용할 수 있는 단계에서는 확정적-창작형 가추, 가변적-창작형 가추, 가변적-혼합형 가추를 사용하여 해결하는 문항을 순차적으로 적용하여 창의적으로 문제를 해결하는 경험을 제공해야 할 것이며, 이 세 유형의 가추 문항이 다양하게 개발되어야 할 것이다. 다섯째, 문제해결과정에서 ‘가추적 사고의 다섯 가지 유형’이 미치는 효과를 후속연구를 통해 면밀히 검토해야 할 것이다.