예비교사의 극한 개념 이해의 변화

Abstract

극한 개념은 현대 수학을 대표하는 핵심적인 개념 중 하나로써 이에 대한 형식적 정의의 학습은 대학교에서 처음 배우게 된다. 극한 개념은 오랜 세월의 연구 끝에 식의 형식적인 정의가 완성이 되었으며 이는 학교수학에서 배우는 극한의 정의와는 다르다. 고등학교에서의 극한은 직관적인 방식으로 정의하고, 대학교 이상의 수학에서는 형식적인 방식으로 좀 더 엄밀하게 정의하고 있다. 대부분의 극한 개념에 관련한 연구들은 고등학교 학생들을 중심으로 그들이 가지고 있는 극한 개념에 관련된 오개념 및 오류에 대하여 연구하였다. 그러나 직관적 정의로써 극한 개념을 이해하는 학생이 형식적 정의로써 극한 개념을 학습하면서의 사고 과정에 관련한 연구는 그리 많지 않다. 더구나 본 연구는 해석학 수업에서 극한 개념의 형식적 정의를 처음 학습하는 예비교사(대학교 2학년)을 대상으로 극한 개념에서 형식적 정의를 학습하면서 나타나는 사고과정을 살펴본다는 측면에서 상당히 유의미한 연구라 할 수 있겠다. 그리고 예비교사들이 형식적 정의를 학습하면서의 사고과정에 대한 비교의 기준은 손시영(2011)의 연구로 하고 있다. 본 연구에서의 결론은 개략적으로 다음과 같다. 첫째, 극한의 형식적 정의는 손시영(2011)의 연구결과에 비해 명확히 서술을 하였고, 식의 정의를 사용하여 극한 관련 문제를 해결하는 학생들도 상대적으로 증가하였다. 둘째, 그러나 인터뷰 검사에서 학생들이 작성한 답안에 대하여 인터뷰를 한 결과 극한 개념의 형식적 정의에 관한 오개념이 발견되는 학생들이 있었는데, 이들 대부분은 극한의 형식적 정의에 대한 전반적인 부분을 모른다기 보다는 정의 일부의 이해가 적절히 이루어지지 않아 오개념이 발생하였다. 따라서 손시영(2011)의 연구결과에 비해 극한 개념의 형식적 정의에 대하여 명확히 인지한 학생들은 상대적으로 증가하였으나, 극한 개념의 형식적 정의에 대한 오개념를 일부 학생들이 가지고 있었고, 이 오개념으로 인한 오류도 발견되었다. 연구시기가 해석학을 배우는 초기 단계이므로 형식적이고 정적인 극한 개념에 대한 어려움을 갖는 것은 당연한 일일 것이다. 본 연구는 구체적으로 어떤 어려움을 가지고 있는지 극한의 형식적 정의를 배우기 이전과 어떻게 변화하였는지를 알아보고자 한다. ; The limit of a sequence is a fundamental concept in Mathematics, whose formal definition is taught in University Calculus and Analysis classes. It took a long time and several attempts to develop the formal definition of a sequnece using argument, and this definition has some noticeable difference with the statements used in high school Mathematics classes. The limit of a sequences is stated in an intuitive way in high school Mathematics classes, but this concept is defined rigorously in Calculus and Analysis classes. Many researches related to the concept of limit are concentrated on misunderstandings and mistakes of limit concept based on high school students. But it is rare to find researches studying development of students' understanding of the limit concept from an intuitive statement to a mathematically rigorous definition. In this research, we focused on how sophomore students, who for the first time learned the formal definition of the limit of a sequence in Mathematical Analysis class, accept the definition. We compared our results to Son(2011) who surveyed similar questions to the same students when they were freshmen. Results of our research are as follows : First, comparing to the result of Son's research (2011), formal definition of the limit is more accurately stated, and number of students who used the definition to solve limit related questions is increased. Second, when we interviewed five selected students, there were some misunderstanding of the formal definition of limit. We analyze that this misunderstanding is not from denial of the formal definition but from the fact that the definition is not easy to figure out at the beginning. Conclusively, comparing to Son's research (2011), number of students who understand and accept the formal definition of the limit is increased, but still there are a few cases of misunderstanding and mistakes. One reason may be that the survey was conducted in the middle of the first semester of Mathematical Analysis class so that there was not enough time to absorb the mathematically rigorous concept.