函數에 關한 硏究

Abstract

時代의 變遷과 要請에 따라 敎育은 많은 개선을 必要로 하며 이에 따라 數學 敎育도 現代化 運動이 일기 始作하였고 再 評價하게 되었다. 凡 世界的으로 전개되는 數學 敎育 現代化 運動에 발 맞추어 우리나라에서도 敎育課程을 改定하였고, 敎科書를 改編하였다. 새로운 敎育 개혁 운동은 학문 중심의 교육과정으로 敎科의 講造化를 강조하고 능동적인 탐구와 발견 학습을 강조 하며 결과보다는 새로운 것을 창조할 수 있는 過程을 重視하는 것이다. 이에 호응하여 수학 교육과정도 구조를 강조하고 추상적인 학습내용의 조기 도입 논리성과 계통성을 중시하여 發見 學習을 강조하고 있다. 이 같은 觀點 下에서 수학교육의 가장 중요하고 근본되는 개념으로서 集合, 關係 函數가 아직 체계화되지 않고 별개의 것으로 생각 했든 것을 서로 관련지어 통합하고 구조화하여 考察해 나가고자 하는 것이며 특히 관계의 특수한 경우인 함수 개념을 체계화 하고자 하는 것이 本 論文의 主眼點이라 하겠다. 本 論文의 內容은 크게 나누어 관계와 함수로 大別하였으며 다음과 같은 문제들을 다루었다. 첫째, 관계에서는 有序雙 對應圖, 開文章(명제함수)등을 定義하여 두 集合 A, B에서 임의 유서쌍(a,b)에 대하여 p(a,b)가 참 또는 거짓이 되는 개문장 p(x,y)를 도입하여 R=(A,B, p(x,y))를 관계라 하여 A, B에서 p(x,y)란 관계를 관계 R이라 정의 하였고 또한 이때 p(x,y)가 참이 되는 R의 해집합이 A×B의 부분 집합이 되는 性質을 移用하여 관계 R을 그냥 A×B의 부분 집합이라 정의 하였다. 특히 관계의 종류 중에서 반사율 대칭율 추이율을 만족할 때 동치 관계라 하는데 여러 가지 모형을 제시 하여 이들 세 조건의 논리적 독립성과 집합 A에서 동치 관계 R은 A를 같은 동치류의 집합들로 분할 한다는 정리를 증명하였다. 둘째, 函數에서는 함수가 관계 R의 특수한 경우 즉 R을 A에서 B로의 관계라 할 때 (1) 집합 A의 모든 원소 a를 제 1원소로 하는 유서쌍(a,b)가 R에 속하고 (2) R의 원소 중에는 같은 제 1원소를 갖는 유서쌍이 존재하지 않을 때 함수라 정의 하였고 관계와 竝行하여 함수를 설명하였다. 특히 함성 함수에서의 중요한 定理와 축소 확대 함수의 정리를 각각 증명하여 體系化하였다.