트리의 메쉬를 스타 그래프에 임베딩하는 알고리즘

Abstract

그래프 임베딩은 어떤 특정한 그래프를 다른 그래프에 사상(mapping)하는 것이다. 이러한 임베딩은 한 연결망에서 개발된 알고리즘을 다른 연결망에서 실행시키기 위해 많이 이용되므로 매우 중요한 의미를 갖는다. r-차원 트리의 메쉬(Mesh of Tree) MOT(N, N_(2) …, N)는 r-차원 메쉬에서 각 차원의 선형 배열이 단말 노드의 개수가 N인 이진 트리 형태로 연결된 것이며 본 논문에서 대상으로 하는 것은 2-차원 트리의 메쉬 MOT(2^(n), 2^(n))이다. 스타 그래프는 노드가 n개의 서로 다른 심볼의 순열로 표현될 때, 임의의 두 노드의 심볼이 첫 자리를 포함하여 정확히 두 자리에서 다를 경우에 이 두 노드 사이에 에지가 있는 그래프이다. 본 논문에서는 연결망에서 우수한 성질을 가지는 MOT와 스타 그래프의 계층적 구조를 이용해 MOT를 스타 그래프에 연장비율(dilation) 2와 3으로 각각 임베딩하는 순환 알고리즘을 제안하였다. 그 결과로서 n≤6인 n에 대해 MOT(2^(n), 2^(n))은 차수(degree)가 n+2인 스타 그래프에 연장비율은 2, 부하계수(load factor)는 2로 다-대-일 임베딩될 수 있음을 보였다. 또한, 임의의 n에 대하여 MOT(2^(n), 2^(n))은 차수가 4n인 스타 그래프에 연장비율은 2, 밀집도(congestion)는 1로 일-대-일 임베딩될 수 있으며, n>2인 n에 대해 MOT(2^(n), 2^(n))은 차수가 n+2인 스타 그래프에 연장비율 3으로 일-대-일 임베딩될 수 있음을 보였다.;The graph embedding is one-to-one mapping from the source graph to the target graph. This kind of embedding is important because an algorithm may have been designed for a specific interconnection network, and it may be necessary to adapt it to another network. A r-dimensional mesh of trees MOT(N, N, …, N) is a r-dimensional mesh whose linear arrays are connected in a binary tree pattern having N terminal nodes. In this thesis, the 2-dimensional mesh of trees MOT(2^(n),2^(n)) is considered. A star graph is a graph whose node is represented as a permutation of n distinct symbols, and whose edge is defined between two nodes only if each permutation has the same ordered symbols except that two positions including the first position are different. In this thesis, the recursive algorithms to embed MOT to star graphs with dilation 2 and 3 are studied. The results are as follows; (1) For n≤6, MOT(2^(n),2^(n)) can be embedded in the star graph of degree n+2 with dilation 2 and load factor 2, (2) for any n, MOT(2^(n),2^(n)) can be embedded in the star graph of degree 4n with dilation 2 and congestion 1, and (3) for n>2, MOT(2^(n),2^(n)) can be embedded in the star graph of degree n+2 with dilation 3.