중학교 수학에서 이산 수학 지도 가능성 탐색

Abstract

물질적 세계가 연속 수학에 의해서 모델화 되는 반면, IT가 주류를 이루는 정보화 사회는 이산 수학의 사용을 요구하고 있다. 또한 21세기 정보화 사회에서 수학교육은 실생활의 여러 가지 문제를 합리적으로 해결하는 실용성을 강조하는 방향으로 흐르고 있다. 이러한 일련의 변화에 부응하여 제 7 차 교육과정에서는 수학의 기본적인 지식과 기능을 활용하여 실생활의 이산적인 상황의 문제를 수학적으로 사고하는 능력을 기르고, 합리적으로 의사를 결정하며, 창의적으로 문제를 해결할 수 있는 이산 수학을 도입하고 있다. 이산 수학은 학생들에게 수학에 대한 흥미와 호기심을 불러일으킬 뿐 아니라 이산 수학에는 실생활 문제를 위한 소재가 다양하고, 수학적 표현도구로써 사용될 수 있는 이론과 내용 또한 풍부하므로, 문제해결을 위한 다양한 전략을 사용할 수 있고, 방향을 제공해 주며 논리적 사고력과 수학적 추론 능력을 신장시켜주며 새 출발을 제공한다. 또한 전통수학의 주제를 보충해 주고 강화시켜 준다. 그러므로 이산수학은 문제해결, 수학적 의사소통, 수학적 추론, 수학적 연결성 등의 수학교육에서 요구하는 바에 가장 잘 부합되는 것이라 할 수 있다. 본 연구는 학생들이 이산 수학의 가치를 보다 잘 이해하고, 느낄 수 있게 해주는 자연스러운 방법으로 이산 수학이 수학에서 성공한 학생들뿐만 아니라 수학적 소양이 미진한 학생들을 위한 대안으로, 중학교 단계의 수학 교육과정에서 전통 교과 내용과 통합하여 가르쳐질 수 있다는 전제아래, 중학교 수학 교과과정에서 지도 가능한 이산 수학적 내용을 탐색하고자 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 첫째, 고등학교 이산 수학 의 내용 영역으로 제시된 선택과 배열, 그래프, 알고리즘, 의사결정의 최적화 를 바탕으로 살펴볼 때, 중학교 [7-가], [7-나] 단계에서 가르치고 있는 이산 수학적 내용은 어떤 것이 있는가? 둘째, 중학교 [7-가], [7-나] 단계에서 가르칠 수 있는, 그러나 교과서에 나타나 있지 않은 이산 수학적 내용은 어떤 것이 있는가? 연구 결과, 고등학교 이산 수학 의 내용 영역 중 많은 부분들이 7단계 집합의 표현(교집합, 합집합), 집합의 포함관계(부분집합), 집합의 연산(합집합의 원소의 개수), 이진법과 십진법 사이의 관계, 소수, 수의 일의 자리 수, 최대공약수와 최소공배수, 정수의 사칙연산, 정수의 거듭제곱, 일차식, 일차방정식, 함수의 값 구하기, 직선과 각의 개념, 다각형의 대각선의 수, 정다면체(오일러 공식), 도형의 넓이, 수형도 등 의 수학교과 내용과 통합하여 가르쳐 지고 있었다. 또한 순열, 수의 분할, 오일러 회로(한붓그리기)와 색칠문제(4색 문제), 피보나치 수열과 하노이 탑 등의 이산 수학적 내용들을 7단계에서 덧붙여 강조할 수 있다. 그리고 각각의 문항들은 응용력, 흥미, 문제해력력, 통합력과 같은 이산 수학적 특징 을 가지고 있음을 발견할 수 있다. 이러한 이산 수학의 활성화를 위한 조건으로 몇 가지 제언을 하고자 한다. 첫째, 교과 전용 교실-수학 실험실-을 운영해야 한다. 학습의 효과를 높이고 자료 중심의 개별화 학습이 이루어지기 위해서는 교사들이 자신의 교실을 갖게 되는 교과 교실 구조로의 전환이 이루어져야 할 것이다. 둘째, 학습 집단의 적정화가 이루어 져야 한다. 학습집단의 적정화 없이는 개별학습은 불가능하다. 따라서 학급당 학생수를 최소한 30명 내외로 줄이고, 다양한 학습자료의 구비 등을 통해 학습의 개별화를 실천함으로써 교육효과의 극대화를 달성해야 할 것이다. 셋째, 교수-학습 방법 면에서 대집단 및 소집단 학습, 개별학습 등 다양한 형태의 학습 집단을 편성하여 운영해야 한다. 넷째, 학습자의 창의성과 능력을 최대한 계발할 수 있도록 다양한 시청각 기자재와 첨단 학습자료 등 다양한 교수-학습 자료의 활용할 수 있어야 할 것이다. 이산 수학이 전통 교과 내용과 통합하여 중학교에서부터 단계적으로, 적극적인 반영이 이루어질 때, 학생들은 이산 수학의 내용과 개념들을 더 의미 있게 받아들이고, 이산 수학의 가치를 잘 이해할 수 있을 것이며, 학생들이 선택 교과의 본래 취지에 맞게 선택할 수 있을 것이며, 궁극적인 수학 교육의 목표인 수학적 지식을 여러 상황에 적절히 응용하는 능력을 길러주는데 기여할 수 있을 것이다.; Against the physical world is modeled by continuous mathematics, the information society where IT(Information Technology) plays the main role, requires the utilization of the discrete mathematics. Also mathematics education in the information society of the 21st century tends toward emphasizing the practicality in solving rationally everyday real-life problems. To catch up these changes, the 7th curriculum are introducing the discrete mathematics to develop mathematical thinking on discrete situations in real-life, rational ways of making decision, and creative ways of solving problems utilizing the basic knowledge and function of mathematics. Since the discrete mathematics not only stimulates the students interests and curiosities on mathematics but also enrich various materials for real-life problem and theory and content to use as mathematical representation s tool, to offer various strategies and direction for problem solving and to extend logical thinking and mathematical reasoning ability and to offer a new start of mathematics learning. And it also supplement and increase the traditional mathematics development. Therefore the discrete math is most suitable for problem solving, mathematical communication, mathematical reasoning, mathematical connection etc. which mathematics education is for. The purpose of this thesis find out the possible discrete mathematics materials in the middle school mathematics course as a natural way for the students understand as well as feel the value of discrete mathematics, as a alternative method for the students not only good but also bad at mathematics. This thesis question were as follows: 1. What are discrete mathematical contents that is teaching at [7-가], [7-나] level in the middle school on the basis of the choice and arrangement, graph, algorithm, decision making and optimization presented as the content of discrete mathematics in the high school? 2. What are the discrete mathematical contents that can be taught at [7-가], [7-나] level in the middle school but can not be found in the text book? According to the study, many discrete mathematical contents are teaching in the 7th level together with contents of the text books such as expression of set(intersection of set, union of set), inclusion relation(subset), operation of set(number of union sets element), relation between binary scale and decimal numeration, prime number, digit for the units, four operation of integer, power of integer, linear expression, quadratic equation, solving the function, definition of straight line and angle, the number of polygon s diagonal, regular polyhedron(Euler s formula), area of figure, tree etc. Also the discrete mathematical contents such as permutation partition of number, Euler circuit and coloring problem(four-color problem), Fibonacci sequence, Tower of Hanoi etc. can be taught more effectively in the 7th level. And every questions was found to have discrete mathematical characteristics feature such as application, interest, problem solving, unifying. When the discrete mathematics with traditional curricular contents is taught step by step from the middle school, students will understand contents and ideas of discrete mathematics more meaningfully, accept the value of it more fully, and choose it to the effect of an optional subject, and have the application ability of the mathematical knowledge to various situations properly of the essential goal of mathematics education.